数列求和方法归纳

1、数列求和、直接求和法（或公式法）掌握一些常见的数列的前n项和：1 2 3+n= n(n 1)2，1+3+5+(2n-1)- n12 22 32 +n 2=n(n1)(2n61) ,13 2：3 33+n 二n(n21)2 等.例 1 求 12 22 32 425262III9921002 .解：原式(2212) (4232)(6252)III(1002992)37 11Ill199.由等差数列求和公式，得原式50 (3199)5050 .2变式练习：已知log 3 x -1求x x23 Xn X的前n项和.log 2 31解：1 2n二、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于

2、利用与首末两项等距离的两项 相加有公因式可提取，以便化简后求和例2求三匚12 1022222 923232 82III-4的和.102 12两式相加，得1102 222282III10210212922V3282VIII121022SIII10, S5.三、裂项相消法常见的拆项公式有:1n(nk)(2n 1)(2n 1)1(2n 12n 1），等.例3已知12 22川n21；n(n 1)(2 n 1)，6求空丄72_1212 2212 22 32解: ：annIII 貯 1 2n 1 n(n 1)(2 n 1) 6Ill(n N )的和. n6n(n 1)，小结：如果数列an的通项公式很容易表

3、示成另一个数列的相邻两项的差，即anbn 1 bn，则有bn 1 b .这种方法就称为裂项相消求和法变式练习：求数列丄1 31n(n2），的前n项和S.1 1 11Sn=2 (1 3) (21)(丄n1= 2(1311)=4 2n 2 2n 4四、错位相减法源于等比数列前n项和公式的推导,对于形如anbn的数列，其中an为等差数列，bn为等比数列，均可用此法.例 4 求 x 3x2 5x3 川（2n 1）xn 的和.解：当x 1时，Sn1 x2x2(1 xn 1) (2n 1)xn 1(1 x)21 x 当x 1时，Sn小结：错位相减法的步骤是:在等式两边同时乘以等比数列bn的公比；将两个等式

4、相减；利用等比数列的前n项和公式求和.变式练习：求数列a,2c2,3a3,4a4,- ,nan,（a为常数）的前n项和。解：(1)若 a=0,则 Sn=0(2)若 a=1,则 Sn=1+2+3+ +n= 心 耳2(3)若 a0且 a 1则 Sn=a+2a2+3a3+4a4+ + nan二(1-a) Sn=a+ a + a3+an- narn+1Sn=Sn =五、分组求和法若数列的通项是n 1a a(1 a)2n 1a a(1 a)2n 1na /(a 1 an 1na /(a1 a.aSn=na a1 a1)当a=0时,234,n+1a +2 a +3 a + +nan 1na此式也成立。1）

5、若干项的代数和，可将其分成几部分来求111 1例5求数列2-，-,丄，|,2n 点, 的前n项和Sn.4 8 16 I2n111 1 1 1Sn(2 4 6 川 2n)尹23歹HI 盯n(n 1) 2莎变式练习：求数列If1丄,4丄，的前n项和392781 川1数列求和基础训练1.等比数列an的前n项和Sn = 21,则af af a3n24an =2 .设 Sn13 5 7 ( 1)n(2n1)，则 S.二(1)n n 二3.4 7 HI1(3n 2) (3n 1)n3n 14.12?413?514?6(n 1)(n 3)2 25. 数列1,(1 2),(1 2 22),卅,(1 222|

6、2n 1),卅的通项公式可2n 1，前n项和Sn2n 1222 232n;的前n项和为Sn2n 32n数列求和提高训练1 .数列an满足：a1= 1,且对任意的m, n N*都有：am +n = am+ an+ mn,则 丄丄丄“4016A.-2009c2008B.2009小 2007C.-1004D.2008解：.am+ n = am+ an+ mn,an+1= an+ a1 + n =an+ 1 + n,a2008a1 a2 a3利用叠加法得到：n(n 1)1an，2an22(1), n 1n(n2(1)n1 1 11 “ 1 1 2(1 -a20082 2111 ) 2(1 1 )401

7、6a1a?a3320082009)2200920092.数列an、bn都是公差为1的等差数列，若其首项满足a1 + b1 = 5, a1b1,且a1,bi N*，贝擞列 abn前10项的和等于A. 100B. 85C. 70D. 55解：T an= a1+ n 1, bn= b1 + n 1- a = a1 + bn 1 = a1 + (b1 + n 1) 1 = a1 + b1 + n 2 = 5413+ n 2 = n+ 3则数列也是等差数列，并且前 10项和等于：1085答案:B.3. 设 m=1X 2+2X 3+3X4+(n-1)n,则 m 等于A.哎 B.- n(n+4)C.1 n(

8、n+5)3223 .解：因为a n = n2 - n.，则依据分组集合即得. 答案;A.4. 若 Sn=1-2+3-4+(-1)n-1 -n,则 S17+S33+ S 50等于A.1B.-1C.01D. n(n+7)解：对前n项和要分奇偶分别解决，即:Sn=5 .设an为等比数列,bn为等差数列，且 的前10项和为A.978B.557C.467D.2(n为奇)2答案：A(n为偶)2b1=0,Cn=an+bn,若数列 Cn是1,1,2,，则cn (D.979q2d 2解由题意可得a1=1,设公比为q,公差为d,则 2q q2-2q=0, / qz 0,. q=2,二 an=2n-1 ,bn=(n

9、-1)(-1)=1-n, a cn=2n-1+1-n, a Sn=978.答案：Aan =6. 若数列an的通项公式是 an= ( 1)n(3n 2),则 a1+ a2+-+ a1o=(A. 15B.12C. 12D. 15a1 + a2解析A 设bn = 3n2,则数列bn是以1为首项，3为公差的等差数列，所以+ + a9+ a10= ( b”+ b2 + + ( b9)+ b10 = (b2 b1)+ (b4 b3)+ + (b10 b9)= 5X 3= 15.7. 一个有2001项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 解： 设此数列an,其中间项为a1001,贝U S 奇

10、=a1+a3+a5+ + a2001=1OO1 - a1001,S 偶=a2+a4+a6+a2000=1OOOa1001.答案:100110008.若 12+22+(n-1)2=an3+bn2+cin,则 a=,b=,C=解:原式=(n 1)n?(2n1)62n3 3n2 n6答案：i；知9.已知等差数列an的首项a1= 1,公差d0,且其第二项、第五项、第十四项分别 是等比数列bn的第二、三、四项.(1)求数列an与bn的通项公式；an 1成立.bn(2)设数列Cn对任意自然数n均有 乞 2D b2b3求 C1 + C2 + C3+ + C2014 的值.当n= i时，ci= 3;an ia

11、n，得 Cn= 2 3n 1,2).故 Ci + C2 + C3+C20i4 = 3+ 2X 3 + 2X 32+ 2 X 32002 = 320i5.10.设数列an为等差数列,Sn为数列an的前n项和，已知S = 7, $5= 75, Tn为数列勺的前n项和，求Tn.n解析设等差数列an的首项为ai,公差为d,贝U Sn= nai+ *n(n i)d.0= 7, Si5= 75,i) 7ai + 21d= 7,ai+ 3d = i,i5ai+ i05d = 75,ai + 7d = 5,ai = 2,解得d= 1.Snii= ai + (n i)d = 2 + ?(n Sn+Snn + i n2数列Sn是首项为2,公差为2的等差数列.Tn=4n 2 9 n.44ii.已知数列an的首项ai2=3,2an1(1)证明：数列 Ji是等比数列；(2)求数列an的前n项和S. an解析(1) / an+1=上咒,an + 11an+111= =+an+12a n2 2anJ1 =丄丄i，又ai2 anan+ i丄一1 = 2工0,.1 1工0,.ai 2anan丄1a12，.数列an丄-ianii是以2为首项，i为公比的等比数ii(2)由(i)知