Mathematica-教程03mathematica基本符号运算

1、8/5/2021 MathematicaMathematica基本符号运算基本符号运算 n化简化简 n因式分解因式分解 n解方程解方程 n解不等式解不等式 8/5/2021 化简化简 n化简计算结果化简计算结果 n在在Mathematica中，符号运算的结果经常是没有化简的，中，符号运算的结果经常是没有化简的， 与人工计算的答案不同。但是与人工计算的答案不同。但是Mathematica提供了很强的提供了很强的 化简功能，能自动或在人工参与下将结果化简，最终得到化简功能，能自动或在人工参与下将结果化简，最终得到 形式满意的答案。形式满意的答案。 n常用的化简函数有两个常用的化简函数有两个: nS

2、implifyexpr 使用变换化简表达式。使用变换化简表达式。 nFullSimplifyexpr使用更广泛的变换化简表达式。使用更广泛的变换化简表达式。 n如果使用前一个函数不满意，再使用后一个函数。如果使用前一个函数不满意，再使用后一个函数。 8/5/2021 例例 nSimplifyCosx2+Sinx2 nSimplifyCosx2+2SinxCosx+Sinx2 nFullSimplifyCosx2+2SinxCosx+Sinx2 nSimplify nSimplify ,a0 说明说明:从例中可以看到这两个函数的差异，后一个功能更强。从例中可以看到这两个函数的差异，后一个功能更强

3、。 从从Out 4看到根式没有化简，因看到根式没有化简，因Mathematics不知道不知道a是什是什 么类型的数，不化简反倒是正确的。从么类型的数，不化简反倒是正确的。从In 5中可以看出，中可以看出， 这两个函数允许加上含有条件的第二个可选参数，使化简这两个函数允许加上含有条件的第二个可选参数，使化简 得以进行。得以进行。 2 a 2 a 8/5/2021 带有条件的化简带有条件的化简 n化简函数允许带有条件，条件可以是等式或不等式，还可以使 用下面的表达式指明数的取值范围。 nxdom 或Elementx,dom ndom 只能取下列集合之一 nIntegers 整数集合。 nRatio

4、nals 有理数集合。 nReals 实数集合。 nComplexes 复数集合 nPrimes 素数集合。 nAlgebraics 代数数集合。 nBooleans True或False . 注意注意:以上集合都按常规的定义，以上集合都按常规的定义， 但是也有例外如小数不算作有理但是也有例外如小数不算作有理 数数. 8/5/2021 测试实例测试实例: : 8/5/2021 带条件的化简带条件的化简 n化简特殊函数化简特殊函数 8/5/2021 常用的因式分解函数常用的因式分解函数 n因式分解因式分解 nFactorexpr 用于和式的因式分解，也可以分解分式用于和式的因式分解，也可以分解分

5、式 的分子、分母还可以先通分再分解的分子、分母还可以先通分再分解)。 8/5/2021 合并同类项合并同类项 n合并同类项的函数是合并同类项的函数是Collect nCollectexpr, x 将表达式将表达式expr中的中的x的同次幂合并。的同次幂合并。 nCollectexpr,x,y,. v将表达式将表达式expr按按x,y,的同次幕的同次幕 合并。合并。 注意注意:上例中表明，当第上例中表明，当第2个参数有多个变量时，答案个参数有多个变量时，答案 与第与第2个参数中变量的次序有关。个参数中变量的次序有关。 8/5/2021 表达式的展开表达式的展开 n将表达式展开的函数有将表达式展开

6、的函数有: nExpandexpr nExpandAllexpr n这两个函数都可用于乘积的展开，也可以展开分式。后这两个函数都可用于乘积的展开，也可以展开分式。后 者展开得更为彻底，前者展开分式时只展开分子，而后者展开得更为彻底，前者展开分式时只展开分子，而后 者将分子、分母都进行展开。者将分子、分母都进行展开。 还有两个特殊的展开函数还有两个特殊的展开函数: ExpandNumeratorexpr 只展开分式的分子。只展开分式的分子。 ExpandDenominatorexpr 只展开分式的分母只展开分式的分母 8/5/2021 8/5/2021 分式的化简与展开分式的化简与展开 n下列函

7、数分别用于有理式的合并、化简与展开下列函数分别用于有理式的合并、化简与展开: nTogetherexpr 用于通分，把所有的项放在同一个分用于通分，把所有的项放在同一个分 母上并化简母上并化简 nCancelexpr 用于约去分子、分母的公因式。用于约去分子、分母的公因式。 nApartexpr 将有理式分解为最简分式的和。将有理式分解为最简分式的和。 说明说明:由上例可以看出，这由上例可以看出，这 三个函数对于同一个分式的三个函数对于同一个分式的 作用效果不同。函数作用效果不同。函数Apart 通常用于求有理式的积分，通常用于求有理式的积分， 它的第二个可选参数表明谁它的第二个可选参数表明谁

8、 是变量，在上例是变量，在上例In 5中的中的a， b则作为常数。则作为常数。 8/5/2021 输出的缩减形式输出的缩减形式 n 有时输出结果很长，并不需要了解其中的细节，只需知道它有时输出结果很长，并不需要了解其中的细节，只需知道它 的结构，这时可以使用函数的结构，这时可以使用函数Short简化结果的输出形式简化结果的输出形式; nShortexpr 将输出结果缩略成一行显示。将输出结果缩略成一行显示。 nShortexpr,n 将输出结果缩略成将输出结果缩略成n行显示。行显示。 说明说明:Out1/Short中中表示省略了表示省略了41项。指定项。指定 行数行数n后，有时实际显示会少于后

9、，有时实际显示会少于n行。上例第行。上例第3句的函句的函 数数Length用于求表达式的项数。用于求表达式的项数。 8/5/2021 三角函数式的化简三角函数式的化简 n三角函数专用的分解、展开、化简函数三角函数专用的分解、展开、化简函数 nTrigExpandexpr 将三角函数式展开。将三角函数式展开。 nTrigFactorexpr 将三角函数式因式分解。将三角函数式因式分解。 nTrigReduceexpr 用倍角化简三角函数式。用倍角化简三角函数式。 nTrigToExpexpr 将三角函数式转换成指数形。将三角函数式转换成指数形。 nExpToTrigexpr 前一个函数的逆变换。

10、前一个函数的逆变换。 8/5/2021 n注意注意:从实际常用的倍角公式知道，从实际常用的倍角公式知道，In1的答案应该有的答案应该有 3种、但种、但Out1只能给出一种，因此使用机器化简远不只能给出一种，因此使用机器化简远不 如人灵活，有时还需要人机结合。如人灵活，有时还需要人机结合。 8/5/2021 nMathematica在求不定积分时，答案常出现双曲函数，在求不定积分时，答案常出现双曲函数， 不符合人工解题习惯，可以使用不符合人工解题习惯，可以使用TrigToExp转换转换 8/5/2021 多项式的运算多项式的运算 n两个多项式的四则运算使用通常的两个多项式的四则运算使用通常的+，

11、-，*, / 运算符，其运算符，其 中乘号可以用空格代替中乘号可以用空格代替 注意注意:可以看到，乘法和除法其实什么也没做，需可以看到，乘法和除法其实什么也没做，需 要用前面介绍的化简函数将结果再化简要用前面介绍的化简函数将结果再化简。 8/5/2021 n介绍四个常用函数介绍四个常用函数: nPolynomialQuotientpl, p2,x 求求x的多项式的多项式p1被被p2除的商。除的商。 nPolynomialRemainderpl, p2,x 求求x的多项式的多项式p1被被p2除的余。除的余。 nPolynomialGCDp1,p2, 求多个多项式的最大公因式。求多个多项式的最大公

12、因式。 nPolynomialLCMpl,p2, 求多个多项式的最小公倍式。求多个多项式的最小公倍式。 p1x43 x3x24 x3; p23 x310 x22 x3; PolynomialQuotient p1, p2, x PolynomialGCD p1, p2 PolynomialLCM p1, p2 8/5/2021 解方程解方程 n解符号方程解符号方程(组组) n在在Mathematica中中“=”号用于给变量赋值，而方程中的等号使号用于给变量赋值，而方程中的等号使 用符号用符号“=”(即两个等号即两个等号)表示。方程组用花括号括起来，各表示。方程组用花括号括起来，各 个方程用逗号

13、分隔。所有未知量也用花括号括起来，未知量之个方程用逗号分隔。所有未知量也用花括号括起来，未知量之 间用逗号分隔。单个方程和未知量不必使用花括号。以下用间用逗号分隔。单个方程和未知量不必使用花括号。以下用 eqns表示方程组，用表示方程组，用vars表示未知量组。表示未知量组。 n下列函数用于解符号方程下列函数用于解符号方程(组组): nSolveeqns,vars 对系数按常规约定求出方程对系数按常规约定求出方程(组组)的全部解。的全部解。 nReduceeqns,vars 讨论系数出现的各种可能情况，分别求解。讨论系数出现的各种可能情况，分别求解。 8/5/2021 8/5/2021 n说明

14、说明:上例首先用这两个解方程的函数解同一个方程，上例首先用这两个解方程的函数解同一个方程， Solve不考虑，不考虑，a=0的情况，而的情况，而Reduce则进行讨论。则进行讨论。 n然后再用它们解同一个方程组，然后再用它们解同一个方程组，Solve给出的答案遵循通给出的答案遵循通 常的常的“系数行列式不等于系数行列式不等于0”的约定，而的约定，而Reduce给出的答给出的答 案就令人厌烦了，因此解符号方程案就令人厌烦了，因此解符号方程(组组)时主要使用时主要使用Solve. n应当指出它们不仅能解一般的代数方程，还可以解一些应当指出它们不仅能解一般的代数方程，还可以解一些 无理方程、三角函数

15、方程和含有指数、对数的方程等无理方程、三角函数方程和含有指数、对数的方程等(但但 是在解超越方程时，是在解超越方程时，Mathematics有时会提示答案不是有时会提示答案不是 全部解全部解)。 n如果在方程的系数中使用小数，则改为求近似解。如果在方程的系数中使用小数，则改为求近似解。 8/5/2021 说明说明:其中例其中例2无解，则输出一个空括号。无解，则输出一个空括号。Mathematica 的解集输出优于的解集输出优于MATLAB的同类函数的输出，有几个的同类函数的输出，有几个 解、各个未知量的值都一目了然。解、各个未知量的值都一目了然。 8/5/2021 解集的再处理解集的再处理 n

16、解集的表达式也有不方便之处，如何提取解的值供后解集的表达式也有不方便之处，如何提取解的值供后 面引用呢面引用呢?下例给出一种实用的方法下例给出一种实用的方法: 提示提示:用以上方法可以将全部解的值存入一个表，后面用以上方法可以将全部解的值存入一个表，后面 需要时可以用提取表的元素的方法随意引用。需要时可以用提取表的元素的方法随意引用。 8/5/2021 n下例是解集输出的另一个不便之处及其解决办法下例是解集输出的另一个不便之处及其解决办法: 用键入用键入“: ”得到得到。下划线下划线 说明说明:这里复数解的标准输出不符合习惯，按照上例中的方这里复数解的标准输出不符合习惯，按照上例中的方 法使用

17、复数展开函数就可以解决法使用复数展开函数就可以解决 求近似解求近似解 很多方程是根本不能求出准确解的，前面介绍的那些函数很多方程是根本不能求出准确解的，前面介绍的那些函数 也无能为力。下列函数专门用于求方程也无能为力。下列函数专门用于求方程(组组)的数值解，其的数值解，其 调用格式如下调用格式如下: 8/5/2021 nNSolveeqns,vars 求代数方程求代数方程(组组)的全部数值解。的全部数值解。 nFindRooteqns,x,x0,y,y0, 从从(x0，y0,，)出发找出发找 方程方程(组组)的一个解。的一个解。 注意注意:上例中上例中In1说明，如果方程中出现小数，则说明，如

18、果方程中出现小数，则Solve 也求近似解也求近似解. 还有求多项式根的函数还有求多项式根的函数Roots，通常可用，通常可用 Solve代替，这里就不介绍了。代替，这里就不介绍了。 8/5/2021 消去某些变量消去某些变量 nEliminateeqns,elims 从一组等式中消去变量从一组等式中消去变量(组组)elims. 注意注意:上例中上例中In3表明，表明，Solveeqns,Vars，elims的功能是消的功能是消 去去y,z，求出，求出x的值。同样，函数的值。同样，函数Reduce也有此功能也有此功能. 8/5/2021 解不等式解不等式 nMathematica没有解不等式的

19、内部函数，但是它自带的外部没有解不等式的内部函数，但是它自带的外部 函数有此功能，必须将含有此函数的程序文件调入后才能函数有此功能，必须将含有此函数的程序文件调入后才能 使用，文件位于使用，文件位于Mathematica的标准扩展程序包集中。的标准扩展程序包集中。 n 标准扩展程序包集是标准扩展程序包集是Mathematica的一个子目录的一个子目录 StandardPackages.它的子目录本书称为程序包子集。程序它的子目录本书称为程序包子集。程序 包子集按数学学科分类，如包子集按数学学科分类，如Algebra,Calculus等。每个程序等。每个程序 包子集中有多个文件，文件扩展名为包子集中有多个文件，文件扩展名为m。每个文件中有一。每个文件中有一 个或多个外部函数，将这类文件称为程序包个或多个外部函数，将这类文件称为程序包(文件文件)。 8/5/2021 调入方法是键入调入方法是键入: : n程序包子集名程序包子集名文件名文件名(文件名不必带扩展名文件名不必带