数列基础知识

1、数列基础知识一、数列 1数列、项的概念：按一定 次序 排列的一列数，叫做 数列 ，其中的每一个数叫做数列的项 2数列的项的性质： 有序性 ； 确定性 ； 可重复性 3数列的表示：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，（），简记作 an 其中an是该数列的第 n 项，列表法、 图象法、 符号法、 列举法、 解析法、 公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法 4数列的一般性质：单调性 ；周期性 5数列的分类：按项的数量分： 有穷数列 、 无穷数列 ；按相邻项的大小关系分：递增数列 、递减数列 、常数列、摆动

2、数列 、其他；按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他；按项的变化范围分：有界数列、无界数列 6数列的通项公式：如果数列an的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式a=f（n）（nn+或其有限子集1，2，3，n） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 通项公式 数列的项是指数列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值由通项公式可知数列的图象是 散点图 ，点的横坐标是 项的序号值 ，纵坐标是 各项的值 不是所有的数列都有通项公式，数列的通项公式在形式上未必唯一 7数列的递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项a

3、n-1，an-2，）间关系可以用一个公式 an=f（a）（n=2，3，） （或 an=f（a,a）(n=3，4，5，)，）来表示，那么这个公式叫做这个数列的 递推公式 8数列的求和公式：设sn表示数列an和前n项和，即sn=a1+a2+an，如果sn与项数n之间的函数关系可以用一个公式 sn= f（n）（n=1，2，3，） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的 求和公式 9通项公式与求和公式的关系：通项公式an与求和公式sn的关系可表示为： 二、等差数列 1等差数列、公差的概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列（又叫算术数列），这个常

4、数叫做等差数列的公差根据公差的范围可把等差数列分为以下三种类型：公差范围d 0d 0d = 0类 型递增数列递减数列常数列 2等差数列的性质：定义公式：an an-1（n2）= an+1 an = d 通项公式：an=a1+（n1）d=ak+（nk）d 注：a是关于n的一次型代数式，即可写成an= an+b ，其中n的系数为公差公差公式：公差是等差数列的图象的斜率中项公式：a、b、c成等差数列ba=cb2b=a+cb= b是a与c的等差中项； an 为等差数列2an=an-1+an+1（n2）（存在性与唯一性）换和公式：m、n、p、qn， m+n=p+qam+an=ap+aq（可推广）求和公式

5、：sn= （a1+an）n=na1+ n（n1）d=an（n为奇数）注：sn是关于n的 二次型 代数式，且无 常数项 ，即可写成sn= an2+bn ，其中n2的系数为 公差的一半 经验公式：ap=q，aq=p (pq) a= 0 ；（方程、函数、数形结合等思想） sp=q，sq=p (pq)s= (p+q) ； sp=sq (pq)s= 0 3子数列：若an,bn是等差数列，公差分别为d1、d2，则以下数列为an的子数列：子数列akn+bsn+k-1-sn-1skn-sk(n-1)pan+qbn公 差kd1kd1kd1d1/2p d+qd首 项assap a+qb（k、b、p、q为常数，k、

6、bz，且k2+b20，s0=0）4奇数项的和与偶数项的和：在有穷等差数列an中，设s奇 表示所有奇数项的和，s偶表示所有偶数项的和：若项数为2k1（kn），s奇s偶=a，s奇:s偶= （k1）:k ；若项数为2k（kn），s偶s奇= kd ，s奇:s偶=ak:ak+15s的最值：若sn=an2+bn，则当n为最接近 的正整数时，sn最大(a0）在等差数列an中，若ak0ak+1，则n= k 时，sn最大；若ak-1ak=0ak+1，则n= k或k1 时，sn最大；若an0，则n= 1 时，sn最大在等差数列an中，若ak0ak+1，则n= k 时，s最小；若ak-1ak=0ak-1， 则n=

7、k或k1 时，sn最小；若an0，则n= 1 时，sn最小6|an|的前n项的和：若等差数列an的前n项和为sn，用tn表示|an|的前n项和，则：当ak0ak+1时，；当an0时，tn= sn 当ak0ak+1时，；当an0时，tn=sn 7两个等差数列和的比与项的比之间的关系：若等差数列an、bn的前n项和分别为an、bn ，则三、等比数列 1等比数列，公比的概念：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列（又叫几何数列），这个常数叫做等比数列的公比（在等比数列中，各项与公比都不为0）根据公比和首项的范围可把等比数列分为以下四种类型：类

8、型 公比 首项 q00q1q=1q1a0摆动数列递减数列常数列递增数列a0摆动数列递增数列常数列递减数列 2等比数列的性质：定义公式：（n2）= q 通项公式：a=a1 qn-1 = ak qn-k 注：an是关于n的指数式与非零常数的乘积，即可写成an=abn（ab0），其中指数式的底数为 数列的公比 中项公式：a、b、c成等比数列b是a与c的等比中项b2=ac；（存在性与唯一性）an为等比数列 =an+1an-1a= 换积公式：m、n、p、qn，m+n=p+qaman=apaq（可推广） 求和公式： 注：公比不为1时，sn是关于n的指数式与与非零常数的乘积，再减去该常数，即可写成sn= a

9、bna （ab0），指数的底数为 数列的公比 skn-sk(n-1)sn+k-1-sn-1 3子数列：若an,bn是等比数列，公比分别为q1、q2，则以下数列为an的子数列：子数列ank|an|panbn公 比q1q1q1q1q1q2首 项assapab（k、b、p为常数，p，k、bz，k2+b2，s0=0，有时要规定q或q）四、等差数列与等比数列的关系 1非零常数列既是等差数列又是等比数列 2若an是首项为a1，公差为d的等差数列，则（b为常数，且b0）为等比数列，其首项为 ，公比为 b 3若an是首项为a，公比为q的等比数列，且各项均为正数，则（b为常数，且b0，b1）为等差数列，其首项为

10、 ，公差为 五、数列问题的常用处理方法 （“降龙十八掌”）1观察归纳法：由特殊到一般 2迭代递求法：已知递推公式和初始条件，求an3逐差叠加法：若anan-1=f（n）（n2），a1=a，求an 4逐商叠乘法：若=f（n）（n2），a1=a，求an5基本参量法：an和sn公式的正用和逆用求基本量用基本量求目标量6对称设项法：已知三个或四个数成等差数列或等比数列7倒序相加法：若an是等差数列，求a1c+a2c+a3c+anc等8通项分组法：若an=（an+b）+pcn+rtn，求sn（“差”“比”和数列）9错位相减法：若an=（an+b）cn，求sn（“差”“比”积数列）10拆项消去法：若a1=

11、a，an=f（n）f（n+k）（k为正整数常数），求sn11讨论奇偶法：若an=（1）nf（n）或，求snanan-1= an+b，anan-1= pcn（隔项数列）男女相间、逐和、逐积12构造数列法：倒数构造、平方构造、开方构造、添数（加常数、乘指数式）构造、逐差构造、指对数构造13同构相减法：已知sn或sn与an的关系求an （注意首项）14相除消元法：已知等比数列sm和sn求an 15整体求解法：换和、换积等 （滑位和、步位和） 子数列问题16待定系数法：先设目标形式，再确定系数17公式求和法：，（可用高次方差、二项式定理推导）18数学归纳法：高阶等差数列：数列中，令，若是公差不为零的等差数列，则称为二阶等差数列；若是公差不为零的等差数列，则称为三阶等差数列；（用递归法可定义各阶等差数列）阶等差数列的通项公式是关于的次多项式，反之亦然。通项公式与递推公式是从不同角度采用不同形式表示数列的两种不同方法，但都属于公式法。只不过通项公式是通过数列的项与序号之间的内在的函数关系反映该数列的排列规律的一种直接方法；而递推公式则是通过数列的相邻几项的相互关系反映该数列的排列规律的间接方法。前者给出了数列函数解析式，后者给出了数列函数的变换公式。常见拆