双曲线及其标准方程教案

1、双曲线及其标准方程（教案） 汨罗市三中 许艳军 【教学目标】:1.知识与技能掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.2.过程与方法教材通过具体实例类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,通过类比推导出双曲线的标准方程.3.情感、态度与价值观通过本节课的学习,可以培养我们类比推理的能力,激发我们的学习兴趣,培养学生思考问题、分析问题、解决问题的能力.【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用【教学难点】: 双曲线标准方程的推导【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时 【教 具】：多媒体、实物投影仪【教学过程】:一、问题引入：（5分钟） 1、多媒体展示GPS全球卫星定位导

2、航系统的图片2、问题1：椭圆是如何定义的？平面内与两个定点距离的和为非零常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹3、问题2：平面内与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？4、设计数学实验：实验工具：一条长拉链，两颗图钉，一支铅笔，一块小黑板实验步骤：（1）、取一条长拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上，一条边选择其端点，另一条边选择中间一点，分别固定到F1，F2上（2）、 把笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或者合拢，笔尖就画出一条曲线.（3）、将一条边的端点固定在F2，另一条边选择中间一点（与1中的中间一点为同一点）固定在F1，同样的操作可以画出另一条曲线。（动画演示拉链画双曲线）5、思考：这条

3、曲线是满足什么条件的点的集合？P=M | |MF1|-|MF2|=2a上面 两条曲线合起来叫做双曲线。每一条叫做双曲线的一支揭示课题：双曲线及其标准方程二、 概念形成：（18分钟）1、思考：你能类比椭圆的定义得到双曲线的定义吗？（2分钟）定义：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线 即这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距强调概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于”2、概念的理解：（分组讨论）（3分钟）（1）平面内与两定点的距离的差等于常数2a（2a| F1F2| ）的轨迹是什么？不存在介绍数学家阿波罗尼斯（约公元前262年约公元

4、前190年）古希腊最著名的几何学家，代表作有圆锥曲线论等。他是人类历史上第一个给出双曲线名称的数学家。 （让学生感受到数学文化的熏陶）3、标准方程的推导：（讨论交流探究）（9分钟）现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）（1）建系取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。(2) 设点设M（x,y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c0），则F1（c，0）、F2（c，0），又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a2c）

5、.（3）列式由定义可知,双曲线上点的集合是P=M|MF1|MF2|=2a. 即:（4）化简方程由一位学生板演，教师巡视。化简，整理得：移项两边平方得 两边再平方后整理得由双曲线定义知这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）。思考1：你能在x轴上找一点A，使得OA=a吗？思考2：你能在y轴上找一点B，使得OB=b吗？讨论：焦点在y轴上的双曲线标准方程是什么?4、标准方程的类型：（2分钟）定义图象方程焦点a,b,c的关系焦点在二次项系数为正的坐标轴上(1)双曲线的标准方程的特点： 双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种： 焦点在轴

6、上时双曲线的标准方程为：(,)； 焦点在轴上时双曲线的标准方程为：(,)有关系式成立，且其中a与b的大小关系:可以为(2).焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母、项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即项的系数是正的，那么焦点在轴上；项的系数是正的，那么焦点在轴上5、双曲线与椭圆之间的区别与联系（2分钟）相同点1、焦点坐标相同，焦距相等2、a,b,c大小满足勾股定理不同点1、椭圆中a最大，双曲线中c最大2、椭圆方程中“+”，双曲线中“-”3、判断焦点位置方法不同：椭圆看分母大小，双曲线看二次

7、项系数的正负三、概念巩固：（15分钟）一层练习：（各显身手）（2分钟）（1）已知双曲线方程为，则a=2，b=焦点坐标为（0，,3），（0，-3）。（2）=4，=3，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为。（3）满足条件a=2，一个焦点为（4,0）的双曲线的标准方程为（ A ） ABCD小结：1、判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在二次项系数为正的那条轴上。2、求双曲线标准方程要正确选择方程的两种类型3、求双曲线标准方程要找准a,b,c的值,b2=c2-a2二层练习：（展示自我）（10分钟）1、已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的

8、差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解：因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为(,) 所求双曲线标准方程为小结：待定系数法求双曲线的标准方程：定型、定量2、已知A、B两地相距800m,声速为340m/s,一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上？(2) 求炮弹爆炸点的轨迹方程。分析：解应用题的关键是建立数学模型根据本题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处晚2s,这里声速取同一个值 解：(1)由声速及A、B两处听到爆炸声的时间差，可知A、B两处与爆炸点的距离的差，因此爆炸点应位于以A、B为焦点的双曲线上因为爆炸点离A处比离B处更远，所

9、以爆炸点应在靠近B处的一支上(2)如图，建立直角坐标系，使A、B两点在轴上，并且点O与线段AB的中点重合设爆炸点P的坐标为，则 |PA|PB|=3402=680，即 2680，340又|AB|=800， 2c=800，c=400，44400 |PA|PB|6800， 0所求双曲线的方程为 （0）小结：定义法求标准方程：先判断曲线类型，再用待定系数法求方程思考：怎样才能确定爆炸点的准确位置呢？答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.GPS（全球定位系统）就是根

10、据这个原理发明的。（通过电脑动画，形象的展示爆炸点的准确位置）（与开头首尾呼应）四、 概念深化：三层练习：（谁是英雄）（3分钟）设动点M(x,y)满足方程 ，则动点M的轨迹是（ D ）A 直线 B 椭圆 C双曲线 D双曲线一支五、当堂检测：（5分钟）1、已知两定点的坐标分别为F1（2，0）F2（-2，0），动点M到F1F2的距离为0，则M的轨迹为（ D ）A椭圆 B双曲线 C双曲线的一支 D线段F1F2的中垂线2、双曲线 的焦距是10，则实数m的值为（ C ）A -16 B 4 C 16 D 813、（2010安徽高考）双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点坐标为（ C ） 4、焦点为(0,-6),(0,6),过点(2,-5)的双曲线的标准方程是 六、课堂小结（2分钟） 双曲线的定义：P=M | |MF1-MF2|=2a (2a|F1F2|) 1、知识 双曲线的方程：标准方程： 焦点在X轴上 焦点在Y轴上 (a0,b0, a2+b2=c2 ) 2、主要思想方法：（1）、数形结合 （2）、类比 （3）、分类讨论3、本节课，你有什么疑惑？七、作业：教材 P61 习题2.3 T2 P55 T1T2T3课后探究：如图，设，的坐标分别为，直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求的轨迹方程，并与教材41页例