微分几何-§3-曲面的第二基本形式PPT优秀课件

1、1 3 曲面的第二基本形式曲面的第二基本形式 3.1 曲面的第二基本形式 前面研究了曲面的内蕴几何，而与的曲面的形式 无关，本节研究外在形式-曲面的弯曲性 曲面在一点的弯曲性，自然地用曲面偏离此点的 切平面来描述 r=r(u,v)u=u(s),v=v(s) p n Q P T C M 2 2 0000 0 2 00 22 00 1 ()()()()()lim0 2! 1 ( ()()() ) 2! 111 ()()()()( 2!2!2! s PQr ssr sr ssr ss QPs nMQnPQn r ssr ss n r ssn r ssnr ds （）， 由 作点的切平面点M,一定时,

2、|pM|大则曲面弯曲厉害. 记 =（） （）（ 2 222 ) 2()2 , uuuvvv uuuvvv nr dsnr dur ndudvnr dv LnrMr n Nnr 令有定义 3 定义：称 为曲面的第二基本 形式，其中L，M，N为曲面的弯曲系数。 22 2IILduMdudvNdv 2222 (, )(, )(, ) , | uvuvuuuvuvuvvvuv uv rrrrrr rrr rrr r nLMN rr EGFEGFEGFEGF 2 00ndrdndrnd r 几何意义：曲面的第二基本形式近似地等于P的 切平面中距离的两倍 计算公式1 计算公式2：因为 所以 可得IIdnd

3、r , u uuvv v Ln r Mr n Nn r 4 cos cos ,cos sin ,sin rRRR 2222 222 coscos ,cos sin ,sin (, )(, )(, ) , cos sincoscos0 sincossinsincos cos0 coscos , uvuuuvuvuvvvuv n rrrr rrr rrr r LM EGFEGFEGFEGF RR rRRR ERFrGr rR n r， ， r r，r， cos sin ,sin coscoscos sin0 sinsinsincos coscoscos sinsin RR rRR rRRR r，

4、，0 ，- 第二 解： 所以第二 222 (cos)IIRdRd 5 ),(,yxzyxr , 1 , 1 , 1 22 22 22 qp t nN qp s nM qp r nL r r r yy xy xx , y z q x z p , 2 22 x z r yx z s 2 2 y z t 对于曲面 有有 其中： 注1 第二基本形式不是正定型： 2、参数变换下最多差有一个符号： 6 kn 22 22 2 2 GdvFdudvEdu NdvMdudvLdu 3.2 曲面上曲线的曲率 只要在p点及与C相切的曲线，这个值不变，这就是曲面 在P点沿C方向的法曲率 r=r(u,v) u=u(s)

5、,v=v(s) 2222 , ()()cos ()() cos rrknnn rn dskn dskdsdsI k I ， 共面,设 ， 夹角则 II= II P是C上一点 定义定义3.4.2 设点P是曲面上曲线C上一点, k是C在点p 的曲率,. 则称 为C在点p的曲率向量曲率向量, 称 为在 曲面S上的点P处沿曲线C的切方向的法曲率法曲率.记为 k k n n 7 曲面法曲率是曲面上点P和方向 的函数 同一点只要方向相同，则法曲率相同 )(d ( ,) n du kf p dv 对法曲率，是否存在一条曲线使得这条曲线的曲率就 是法曲率呢？只要 即可，这就是法截线 cos1 S上点p的切方向

6、d和曲面的法向确定的平面称为曲面 上一点处沿切方向的法截面 ，法截面 和曲面的交线 就是P点处沿切方向的法截线 n 8 c0 梅尼埃定理：曲面上曲线 在给定点p处的曲率中 心C就是与曲线具有相同切线的法截线 在同一 点p的曲线中心 在曲线C的密切平面上的投影。 例例 在球面上验证梅尼埃定理: 把梅尼埃定理中的取 为一个球面上的小圆, 取为与该小圆相切于点的大 圆. 则梅尼埃定理显然成立. 0 0 9 12 22 NyMxyLx 3.3 杜邦指标线杜邦指标线 曲面在一点处的杜邦指标线方程为 v dur dv u dr=r ( ,) n du kf p dv 1 | n PN k 法曲率是曲面上点

7、P和方向 的函数 在P点沿方向dr取线段PN使得 的点N的轨迹曲面在P点处的杜邦指标线 11 | uv uv v nnu drr dur dv PNxryr kkdrr dur dv 两边平方得 N 10 曲面上点的分类曲面上点的分类 平点平点 由曲面在一点处的杜邦指标线方程知是以P为中 心的有心二次曲线 2 0LNM 2 0LNM 2 0LNM 0LMN 椭圆点椭圆点 双曲点双曲点 抛物点抛物点 11 :Crr s rr svs 2 , , ,0,. ,0,0, s vss sv svvv sv rsvssvk rsrk vvkkvk rrvk rkrn vk rr LvkMN 2 0LNM

8、 例:求证曲线的切线曲面上的点都是抛物点。 证：设曲线 其切线曲面的方程为 由于 ，所以曲面上的点都是抛物点。 12 曲线上的曲线,如果它上面每一点的切方向都是渐近 方向,则称为渐近曲线.渐近曲线的方程是 3.4 曲面的渐近方向和共轭方向 定义:如果P点是曲面的双曲点,则它的杜邦指标线有 一对渐近线,我们把沿渐近线的方向 称为曲面在P点的渐近方向.由解析几何中二次曲线 的理论可知,这两个渐近方向满足方程 分别表示 在P点的值. ( ):ddu dv 22 000 20L duM dudvN dv 000 L、M 、N L、M、N 22 20L duM dudvN dv 13 命题命题1 如果曲

9、面上有直线，则它一定是曲面上的渐如果曲面上有直线，则它一定是曲面上的渐 进曲线。进曲线。 证明证明:因为直线的曲率因为直线的曲率 ,所以沿直线方向的所以沿直线方向的 法曲率法曲率 ,即即 因而直线是曲面的渐近曲线因而直线是曲面的渐近曲线. 0k cos0 n kk 22 20L duM dudvN dv 14 命题命题2 曲面在渐进线上一点的切平面一定是渐进曲曲面在渐进线上一点的切平面一定是渐进曲 线的密切平面线的密切平面 当当 时时, 渐近曲线是直线渐近曲线是直线,这时曲面的切平面这时曲面的切平面 过它过它,因此切平面又是密切平面因此切平面又是密切平面. 当当 曲面的法向量垂直于渐近曲曲面的

10、法向量垂直于渐近曲 线的线的 主法向量主法向量,因此曲面的切平面除通过渐近曲线的切线外因此曲面的切平面除通过渐近曲线的切线外 还通过主法向量还通过主法向量,所以它又是渐近曲线的密切平面所以它又是渐近曲线的密切平面. cos0 n kk 0cos0.k或 0,cos0k 时， 0k 证明证明:沿渐近曲线有沿渐近曲线有 得到得到 如果曲面上的点都是双曲点如果曲面上的点都是双曲点,则曲面上存在两族渐近则曲面上存在两族渐近 曲线曲线,这两族渐近曲线、称为曲面上的渐近网这两族渐近曲线、称为曲面上的渐近网. 15 命题命题3 3 曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件 是 证明证明: :渐近网的方程是 曲

11、纹坐标网的方程是 即 若 代入渐近网方程可得 即 反之,若 代入渐近网方程可知 0.LN 22 20,LduM dudv N dv 0dudv 00.dudv或 0,L N 0,Mdudv 00.dudv或 00,dudv或 0.LN 16 设曲面上P点处的两个方向为 和 如果包含这两个方向的直线是P点 的杜邦指标线的共轭直径,则方向 称为曲 面的共轭方向共轭方向. ( ):,ddu dv ( )( )d和 ( ):uv )( 00vdvvduuduML 0 0 vdvN 12 22 NyMxyLx 由解析几何二次曲线理论 17 )(vdvvduMuLdu 0 vNdv 0 bdvAdu 0 u BA NMML vuv 由方程组有非零解