概率统计及随机过程：7-1基本概念

1、 对随机现象进行观测、试验， 以取得有代表性的观测值 对已取得的观测值进行整理、 分析,作出推断、决策,从而 找出所研究的对象的规律性 第七章第七章 数理统计的基本概念数理统计的基本概念 数数 理理 统统 计计 的的 分分 类类 描述统计学描述统计学 推断统计学推断统计学 数参估计 假设检验 回归分析 方差分析 推断统计学推断统计学 总体总体 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标 的全体,它是一个随机变量(或多维随机变量). 若为一个随机变量,可记为X . 例如, 某钢铁厂生产的钢锭的强度. X 的分布函数和数字特征称为总体的 分布函数和数字特征. 总体和样本总体和

2、样本 7.1 基本概念基本概念 样本样本 从总体中抽取的部分个体. 称 为总体 X 的一个容量为n 的 样本观测值,或称样本的一个实现. ),( 21n xxx 抽样抽样 做随机试验并记录其结果 ),( 21n XXX用 表示样本， n 为样本容量. 样本空间样本空间 样本所有可能取值的集合. 个体个体 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可以看作随机 变量 X 的某个取值.用 表示. i X 设 是来自总体 X 的一个 样本,它满足: ),( 21n XXX 一般地,对有限总体,采用放回抽样所得到的 样本为简单随机样本,但使用不方便,常用不 放回抽样代替.当总体中个体的数目N 与样本

3、 容量 n 之比N / n 10时,可将不放回抽样 近似地看作放回抽样. n XXX, 21 (1) 与X 有相同的分布 n XXX, 21 (2) 独立性: 相互独立 ),( 21n XXX则称 为简单随机样本. 简单随机样本简单随机样本 设总体 X 的分布函数为F (x), 为总体 X 的简单随机样本, ),( 21n XXX n i in xFxxxF 1 21 )(),( 总 若总体X 的概率密度函数为f( x) , 则 n i in xfxxxf 1 21 )(),( 总 ),( 21n XXX 的联合概率密度函数为 ),( 21n XXX则 的联合分布函数为 设 是取自总体X 的一

4、个样本, ),( 21n XXX ),( 21n rrrg ),( 21n xxxg 为一实值连续函数,且不含有未知参数, ),( 21n XXXg则称随机变量为统计量统计量. ),( 21n xxx若是一个样本值, 称 ),( 21n XXXg的一个样本值为统计量 定义定义 统计量统计量 例例 是未知参数, 22 , ),(NX 但 n i i X 1 2 2 1 不是统计量.若 , 已知,则为统计量 是一样本,),( 21n XXX n i i n i i XX n S X n X 1 2 2 1 1 1 1 是统计量, 其中),( 2 NX i 则 常用的统计量常用的统计量 n i i

5、X n X 1 1 ) 1 (为样本均值样本均值 n i i XX n S 1 2 2 1 1 )2(为样本方差样本方差 n i i XX n S 1 2 1 1 为样本标准差样本标准差 ),( 21n XXX设 是来自总体 X 的容量 为 n 的样本,称统计量 n i k ik X n A 1 1 ) 3 (为样本的k 阶原点矩原点矩 n i k ik XX n B 1 1 ) 4( 为样本的k 阶中心矩中心矩 例如 2 1 2 2 2 1 11 n n i i SXX n S n n B XA (5) 顺序统计量与极差顺序统计量与极差 设),( 21n XXX为样本, ),( 21n xx

6、x为样本值,且 * 2 * 1n xxx 当),( 21n XXX取值为),( 21n xxx 时, 定义随机变量nkxX kk , 2 , 1, * )( 则称统计量 )()2()1( , n XXX为顺序统计量顺序统计量. 其中, max,min 1 )( 1 )1(k nk nk nk XXXX 称 )1()( XXD nn 为极差极差 注注 样本方差样本方差 与样本二阶中心矩与样本二阶中心矩 的不同的不同 2 n S 2 S n i n i i n i i XXXX 1 2 11 2 2 22 1 2 2XnXnX n i i 2 1 2 XnX n i i )( 2 2 XAn 故

7、2 2 2 2 1 )( 1 n S n n XA n n S 2 22 XAB n i ii n i i XXXXXX 1 2 2 1 2 )2()( 推导推导 关系式关系式 22 1 n S n n S 1） 推导推导 设 2 )(,)(XDXE则 n i i X n EXE 1 1 2 1 n XD 2） 22 1 )( n n SE n 22 )(SE 2 2 2 )(XEEASE n XEXDX n E n i i 2 1 2 1 2222 1 n 2 1 n n 22 1 )( n S n n ESE 22 1 n ES n n 例例1 1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件,

8、测得其重量为(单位: 公斤): 210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199 求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与 二阶中心矩. 解解 ),( 1021 xxx 令 ), ,( 199200235196228 215240185243210 43.433)( 9 1 10 1 22 i i xxs 10 1 2 2 5 .47522 10 1 i i xA 0 .390)( 10 1 10 9 10 1 22 2 i i xxsB 19.217 )199200235196228 215240185243230( 10 1 x 则 中,随机地

9、抽取一个容量例例2 2 在总体 为36的样本,求样本均值 落在50.8到53.8之间 的概率 )3 . 6,52( 2 N X 解解) . ,(NX 36 36 52 2 故 6 3 . 6 528 .50 6 3 . 6 528 .53 ) 8 .538 .50( XP) 8 .50() 8 .53( XX FF 8239. 0 )1429. 1()7143. 1 ( 例例3 3 设总体X 的概率密度函数为 10 1 )( x xx xf 为总体的样本,求),( 5021 XXX (1)(1) X 的数学期望与方差(2) )( 2 SE (3) )02. 0(XP 解解(1)0d)()( 1 1 xxxXEXE 100 1 d2 50 1 )( 50