概率统计及随机过程：4-2方差

1、引例引例 甲、乙两射手各打了10发子弹，每发子弹 击中的环数分别为： 甲 10, 6, 7, 10, 8, 9, 9, 10, 5, 10 乙 8, 7, 9, 10, 9, 8, 7, 9, 8, 9 问哪一个射手的技术较好？ 解解 首先比较平均环数 甲 = 8.4,乙 = 8.4 4.2 方差方差 有 六 个 不 同 数 据 仅 有 四 个 不 同 数 据 再比较稳定程度 4 .30 )4 . 85()4 . 86()4 . 87( )4 . 88()4 . 89(2)4 . 810(4 222 222 甲： 乙： 44. 6 )4 . 87(2)4 . 88(3 )4 . 89(4)4

2、. 810( 22 22 乙比甲技术稳定 进一步比较平均偏离平均值的程度 甲 )4 . 85()4 . 86()4 . 87( )4 . 88()4 . 89(2)4 . 810(4 10 1 222 222 乙 )4 . 87(2)4 . 88(3 )4 . 89(4)4 . 810( 10 1 22 22 04.3 644. 0 6 1 2 )( k kk pXEx 4 1 2 )( k kk pXEx 定义定义 若E (X - E(X)2) 存在，则称其为随机变 量 X 的方差方差, 记为D (X ) D (X ) = E (X - E(X)2) 称)(XD为X 的均方差均方差. 方差的

3、概念方差的概念 (X - E(X)2 随机变量X 的取值偏离平均值 的情况, 是X的函数, 也是随机变量 E(X - E(X)2 随机变量X的取值偏离平均值 的平均偏离程度 数 , 2 , 1,)(kpxXP kk 若 X 为离散型 r.v.，概率分布为 1 2 )()( k kk pXExXD 若 X 为连续型，概率密度为f (x) dxxfXExXD)()()( 2 常用的计算方差的公式： )()()( 22 XEXEXD q D (C) = 0 q D (aX ) = a2D(X) D (aX + b ) = a2D(X) q )()(2 )()()( YEYXEXE YDXDYXD 特

4、别地，若X ,Y 相互独立，则 )()()(YDXDYXD 方差的性质方差的性质 若 n XXX, 21 相互独立，baaa n, , 21 为常数 则 n i ii n i ii XDabXaD 1 2 1 )( 若X ,Y 相互独立)()()(YDXDYXD )()()(YEXEXYE q 对任意常数C, D (X ) E(X C)2 , 当且仅当C = E(X )时等号成立 q D (X ) = 0 P (X = E(X)=1 称为X 依概率 1 等于常数E(X) 性质 1 的证明： 0)()( 2 CECECD 性质 2 的证明： 2 )()()(baXEbaXEbaXD 2 )()(

5、bEbXEXaE 22 )(XEXaE )( 2 XDa 2 )()()(YXEYXEYXD )()(2 )()( 22 YEYXEXE YEYEXEXE )()(2 )()( YEYXEXE YDXD 性质 3 的证明： 当 X ,Y 相互独立时， )()()( )()( YEXEXYE YEYXEXE 注意到， )()()(YDXDYXD 22 )()(XECXEXECXE 性质 4 的证明： 22 )()(XECXEXE 当C = E(X )时，显然等号成立； 当C E(X )时，0)( 2 XEC )( 2 XDCXE 2 )()(XECXD 例例1 设X P (), 求D ( X )

6、. 解解 0 ! )( k k k e kXE 1 1 )!1( k k k e )()1()( 2 XEXXEXE ! ) 1()1( 0 k e kkXXE k k 2 2 2 2 )!2( k k k e 方差的计算方差的计算 22 )(XE )()()( 22 XEXEXD 例例2 设X B( n , p)，求D(X ). 解一解一 仿照上例求D (X ). 解二解二 引入随机变量 n XXX, 21 发生次试验事件第 发生次试验事件第 Ai Ai X i , 0 , 1 n XXX, 21 相互独立， ni, 2 , 1)1 ()(ppXD i n i i XX 1 故 )1 ()(

7、)( 1 pnpXDXD n i i 例例3 设 X N ( , 2), 求 D( X ) 解 dxexXD x 2 2 2 )( 2 2 1 )()( dtet t t x 2 22 2 2 1 令 2 常见随机变量的方差 分布 方差概率分布 参数为p 的 0-1分布pXP pXP 1)0( ) 1( p(1-p) B(n,p) nk ppCkXP knkk n , 2 , 1 , 0 )1 ()( np(1-p) P() , 2 , 1 , 0 ! )( k k e kXP k 分布 方差概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 其它, 0 , 1 )( bxa ab xf 12 )( 2

8、ab E() 其它, 0 , 0, )( xe xf x 2 1 N(, 2) 2 2 2 )( 2 1 )( x exf 2 例例4 已知X ,Y 相互独立，且都服从 N (0,0.5), 求 E( | X Y | ). 解解 )5 . 0 , 0(),5 . 0 , 0(NYNX 1)(, 0)(YXDYXE 故 ) 1 , 0( NYX dzezYXE z 2 2 2 1 |)(| 2 2 2 2 0 2 dzez z 例例5 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次为止 所需射击的次数，已知每次射击中靶的概 率为 p ，求E(X ), D(X ). 解解 令 X i 表示击中目标 i -

9、 1 次后到第 i 次击中 目标所需射击的次数，i = 1,2, n 1 , 2 , 1,)( 1 qp kpqkXP k i 1 1 1 1 )( k k k k i kqpkpqXE pq p 1 )1 ( 1 2 n XXX, 21 相互独立，且 n i i XX 1 1 1 1 12 ) 1()( k k k k i kpqpqkkXE p qkkpq k k 1 ) 1( 2 2 p x dx d pq qx k k 1 0 2 2 px pq qx 1 )1 ( 2 3 2 2 p p 222 112 )( p p pp p XD i p n XEXE n i i 1 )()( 故

10、 2 1 )1 ( )()( p pn XDXD n i i 例例6 设 0, 0 , 0,ln )(, 2 1 , 2 1 X XX XgYUX 求 E (Y ), D(Y ). 解解 dxxfxgYE X )()()( 2 1 2 1 1)(dxxg 2 1 0 1lndxx 2 1 2 1 ln 2 1 2 1 2ln 2 1 dxxfxgYE X )()()( 22 2 1 0 2 1lndxx 2ln12ln 2 1 2 1 ln1 2 1 ln 2 1 22 )()()( 22 YEYEYD 2 2 2 1 2ln 2 1 2ln12ln 2 1 4 3 2ln 2 1 2ln 4

11、 1 2 例例7 在 0, 1 中随机地取两个数 X , Y , 求 D (min X ,Y ) 解解 其它, 0 10 , 10, 1 ),( yx yxf 1 1 0 10 10 ,min ),(min y x dxdyyx YXE 3 1 dydxydxdyx yx 1 0 11 0 1 dydxydxdyx YXE yx 1 0 1 2 1 0 1 2 2 ),(min 6 1 ,min,min ),(min 22 YXEYXE YXD 18 1 例例8 将 编号分别为 1 n 的n 个球随机地放入 编号分别为 1 n 的n 只盒子中，每盒一 球. 若球的号码与盒子的号码一致，则称 为

12、一个配对. 求配对个数 X 的期望与方差. 解解 ni ii X i , 2 , 1 , 0 , 1 其它 号盒号球放入 则 n i i XX 1 n XXX, 21 不相互独立，但 1 1 )()( 1 n nXEXE n i i 2 1 2 )( n i i XEXE i X P 1 0 n 1 n 1 1 ni, 2 , 1 n nji ji n i i XXXE 11 2 2 n nji ji n i i XXEXE 11 2 )(2)( 2 i X P 1 0 n 1 n 1 1 ni, 2 , 1 nji, 2 , 1, ji XX P 1 0 ) 1( 1 nn ) 1( 1 1

13、 nn n XE i 1 )( 2 ) 1( 1 )( nn XXE ji n nji ji n i i XXEXEXE 11 22 )(2)()( n nji n i nnn 11 ) 1( 1 2 1 ) 1( 1 2 1 2 nn C n n n 2 1)()()( 22 XEXEXD 标准化随机变量标准化随机变量 设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )都存在, 且D(X ) 0, 则称 )( )( XD XEX X 为 X 的标准化随机变量. 显然， 1)(, 0)( XDXE 仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布, 例如：例如：

14、X P -1 0 1 0.1 0.8 0.1 Y P -2 0 2 0.025 0.95 0.025 与 2 . 0)(, 0)(XDXE 2 . 0)(, 0)(YDYE 它们有相 同的期望、 方差 但是分布 却不同 但若已知分布的类型，及期望和方差，常能但若已知分布的类型，及期望和方差，常能 确定分布确定分布. 例例9 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7, D(X ) = 3, Y = 1 2 X , 求 Y 的密度函数. 解解 1234)( , 4 . 27 . 121)( YD YE y eyf y Y , 62 1 )( 24 )4 . 2( 2 例例10 已知 X 的密度函数为 其它, 0 , 10, )( 2 xBxAx xf 其中 A ,B 是常数，且 E (X ) = 0.5. (1) 求 A ,B. (2) 设 Y = X