曲面曲线方程PPT学习教案

1、会计学1 曲面曲线方程曲面曲线方程 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 222 )3()2() 1(zyx 07262zyx 化简得 即 说明说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例引例: : 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 222 )4() 1()2(zyx 解解: :设轨迹上的动点为 , ),(zyxM,BMAM 则 轨迹方程. 第1页/共33页 0),(zyxF S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F

2、( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形图形. 两个基本问题两个基本问题 : : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 第2页/共33页 故所求方程为 ),(zyxM ),( 0000 zyxM 方程. 特别,当M0在原点时,球面方程为 解解: 设轨迹上动点为 RMM 0 即 依题意 距离为 R 的轨迹 x y z o M 0 M 222 yxRz 表示上(下)球面 . R

3、zzyyxx 2 0 2 0 2 0 )()()( 22 0 2 0 2 0 )()()(Rzzyyxx 2222 Rzyx 第3页/共33页 042 222 yxzyx 解解: : 配方得 5 , )0, 2, 1( 0 M 此方程表示: 说明说明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 ) 都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 的曲面. . 表示怎样 半径为的球面. 0)( 222 GFzEyDxzyxA 球心为 一个球面球面 , 或点点, 或虚轨迹虚轨迹. 5)2() 1( 222 zyx 第4页/共33页 定义定义2. . 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线定直线旋转 一周所形成

4、的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转 轴轴 . . 例如例如 : 第5页/共33页 故旋转曲面方程为 , ),(zyxM 当绕 z 轴旋转时, 0),( 11 zyf ,), 0( 111 CzyM 若点 给定 yoz 面上曲线 C: ), 0( 111 zyM ),(zyxM 1 22 1, yyxzz 则有 0),( 22 zyxf 则有 该点转到 0),(zyf o z y x C 第6页/共33页 0),(:zyfC o y x z 0),( 22 zxyf 第7页/共33页 的圆锥面方程. 解解: 在yoz面上直线L 的方程为 cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为

5、cot 22 yxz )( 2222 yxaz cota令 x y z 两边平方 L ), 0(zyM 第8页/共33页 x y 1 2 2 2 2 c z a x 分别绕 x 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕 x 轴旋转 1 2 22 2 2 c zy a x 绕 z 轴旋转 1 2 2 2 22 c z a yx 这两种曲面都叫做旋转双曲面. 所成曲面方程为 所成曲面方程为 z 第9页/共33页 x y z 引例引例. 分析方程 表示怎样的曲面 . 的坐标也满足方程 222 Ryx 解解: :在 xoy 面上，表示圆C, 222 Ryx 222 Ryx 沿曲线C平行

6、于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆 故在空间 222 Ryx 过此点作 柱面柱面. . 对任意 z ,平行 z 轴的直线 l , 表示圆柱面圆柱面 o C 在圆C上任取一点 , )0 ,( 1 yxM l M 1 M ),(zyxM点 其上所有点的坐标都满足此方程, 第10页/共33页 x y z x y z o l 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面柱面. 表示抛物柱面抛物柱面, 母线平行于 z 轴; 准线为xoy 面上的抛物线. z 轴的椭圆柱面椭圆柱面. xy2 2 1 2 2 2 2 b y a x z 轴的平面平面. 0 yx 表示母线平行于 C (

7、且 z 轴在平面上) 表示母线平行于 C 叫做准线准线, l 叫做母线母线. x y z o o 第11页/共33页 x z y 2 l 柱面, 柱面, 平行于 x 轴; 平行于 y 轴; 平行于 z 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 母线 柱面, 准线 xoy 面上的曲线 l1. 母线 准线 yoz 面上的曲线 l2. 母线 表示方程0),(yxF 表示方程0),(zyG 表示方程0),(xzH x y z 3 l x y z 1 l 第12页/共33页 三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程, 下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕

8、法截痕法 其基本类型有: 椭球面、抛物面、双曲面、锥面 的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx 222 0JIzHyGx (二次项系数不全为 0 ) 第13页/共33页 z y x ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x (1)范围： czbyax, (2)与坐标面的交线：椭圆 , 0 1 2 2 2 2 z b y a x , 0 1 2 2 2 2 x c z b y 0 1 2 2 2 2 y c z a x 第14页/共33页 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 与 )( 11 czzz 的交线为椭圆： 1 zz

9、(4) 当 ab 时为旋转椭球面; 同样 )( 11 byyy 的截痕 ）（axxx 11 及 也为椭圆. 当abc 时为球面. (3) 截痕: 1 )()( 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 zc y zc x c b c a cba,( 为正数) z 第15页/共33页 z q y p x 22 22 (1) 椭圆抛物面 ( p , q 同号) (2) 双曲抛物面（鞍形曲面） z q y p x 22 22 z y x 特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. ( p , q 同号) z yx 第16页/共33页 (1)(1)单叶双曲面单叶双曲面 z x y ),(

10、1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x (2) 双叶双曲面双叶双曲面 ),(1 2 2 2 2 2 2 为正数cba c z b y a x z x y o 注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别: 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 单叶双曲面 1 1 双叶双曲面 第17页/共33页 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 0),( 0),( zyxG zyxF 2 S L 0),(zyxF 0),(zyxG 1 S 例如例如,方程组 632 1 22 zx yx 表示圆柱面与平面的交线 C. x z y1 o C 2 机动 目录 上页 下页 返回

11、结束 第18页/共33页 表示上半球面与圆柱面的交线C. 0 22 222 xayx yxaz y x z a o 第19页/共33页 z yx o 称它为空间曲线的 参数方程. )(txx 例如,圆柱螺旋线 v bt,令 bz ay ax sin cos ,2 时当bh2 taxcos taysin t vz 的参数方程为 上升高度, 称为螺距螺距 . )(tyy )(tzz M 第20页/共33页 632 1 ) 1 ( 22 zx yx 0 )2( 22 222 xayx yxaz 解解: (1) 根据第一方程引入参数 , txcos tysin )cos26( 3 1 tz (2) 将

12、第二方程变形为 ,)( 4 22 2 2 aa yx 故所求为 得所求为 tx aa cos 22 ty a sin 2 tazcos 2 1 2 1 )20( t )20( t 第21页/共33页 消去 z 得投影柱面 则C 在xoy 面上的投影曲线 C为 消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程 消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程 0),( 0),( zyxG zyxF ,0),(yxH 0 0),( z yxH 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT z y x C C 第22页/共33页 z y x C 1 o 0 022 22 z yyx 1) 1() 1(

13、1 : 222 222 zyx zyx C 第23页/共33页 z x y o 1 C 所围的立体在 xoy 面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 22 4yxz)(3 22 yxz 0 1 22 z yx 在 xoy 面上的投影曲线 )(3 4 : 22 22 yxz yxz C 二者交线 .0, 1 22 zyx 所围圆域: 二者交线在 xoy 面上的投影曲线所围之域 . 第24页/共33页 5x 9 22 yx 1 xy 斜率为1的直线 平面解析几何中空间解析几何中方 程 平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平

14、行于 z 轴的平面 1. 指出下列方程的图形: 第25页/共33页 (2) o z y x o 1 2 1x 2y (1) 22 4yxz 0 xy x z y o 2 第26页/共33页 (3) z x y o o a o a 222 azx 222 ayx 第27页/共33页 (4) o z y 15 xy 3 xy 15 xy 3 xy 第28页/共33页 y z 2 x 3 思考思考: : by 对平面 交线情况如何? ,3时当b 交线情况如何? ,3时当b 1 94 22 yx 3y 第29页/共33页 ,2) 1 ( 2 xy抛物柱面0z平面 ; 1 224 zyx 及 3.画出下列各曲面所围图形: ,)2( 222 xyzy