晶格热振动PPT学习教案

1、会计学1 晶格热振动晶格热振动 一、基本内容 二、学习要点 n掌握格波的概念和色散关系 n正确理解声子的概念及其统计分布 n掌握态密度的求法 n熟练掌握固体比热的计算方法 n掌握声子的碰撞过程及其对固体热导的影响 第1页/共40页 unun+1 un-1 一、一维简单晶格的热振动 一维简单晶格位移示意图 un: -第n个原子 偏离平衡位置的位移 m: -原子质量 a m 第2页/共40页 2 2 2 0 0 ( )1( ) ( )(0) 2 ( ) 0 x x dV xd V x V xVxx dxdx dV x dx 2 2 1( ) 2 d V x dx 一、一维简单晶格的热振动 V(r)

2、 r 抛物线近似 选择合适的势能零点，有 2 1 ( ) 2 ( ) ( ) V xx dV x f xx dx 令： 简谐近似 第3页/共40页 一、一维简单晶格的热振动 第个n原子受力: )2()()( 1111nnnnnnnn uuuuuuuF )2( 11 2 2 nnn n uuu dt ud m )(nqati n Aeu 牛顿方程： 试探解： n u 将特解代入牛顿方程得： )cos1 ( 2 2 qa m 第4页/共40页 一、一维简单晶格的热振动 （1） q的物理意义， 2/q 讨论格波的概念 色散关系： 22 (1 cos)sin 22 sin 2 qa qa mm qa

3、m q -/a /a q 的取值限定在第一布里渊区内 第5页/共40页 2.1 一维晶格（原子链）的热振动 一、一维简单晶格的热振动 p pq q v q v q vv g 相速度： d 群速度：= d 当： ,0q 类似于连续介质中的弹性波 称之为：振动 第6页/共40页 2.1 一维晶格（原子链）的热振动 一、一维简单晶格的热振动 Nnn uu 周期性边界条件 )(nqati n eu 1 iqNa e 2qNal , 2, 1, 0l l NaNa l q 22 q aa : 22 NN l N个q， 独立振动的模式数与自由度相等 第7页/共40页 2.1 一维晶格（原子链）的热振动 二

4、、一维复式晶格的热振动 unvn vn-1 a m un+ 1 un-1 M un-第n个m原子 偏离平衡位置的位移 vn-第n个M原子 偏离平衡位置的位移 m: -原子质量 M:-原子质量 a:-晶胞常数 第8页/共40页 2.1 一维晶格（原子链）的热振动 二、一维复式晶格的热振动 2 1 2 (2) n nnn d u Muuv dt )2( 1 2 2 nnn n uvv dt ud m )(nqati n Aeu )(nqati n Bev 牛顿方程 试探解 第9页/共40页 2.1 一维晶格（原子链）的热振动 二、一维复式晶格的热振动 0) 1()2( 2 BeAm iqa 0)2

5、() 1( 2 BmAe iqa 将试探解代入牛顿方程可以得到： 关于A,B齐次方程组无穷多解,有非零A,B解条件是方程组系 数行列式为零，可以得到一个关于2的一元二次方程，解得 ： 1 2 1 2 222 222 (2cos) (2cos) mMmMmMqa mM mMmMmMqa mM 第10页/共40页 2.1 一维晶格（原子链）的热振动 二、一维复式晶格的热振动 -/a /a + - 光学支 声学支 q 第11页/共40页 2.1 一维晶格（原子链）的热振动 二、一维复式晶格的热振动 Nnn uu 11 N uu Nnn vv 11 N vv 周期边界 条件 1 iqNa e 2qNa

6、l , 2, 1, 0l l NaNa l q 22 q aa : 22 NN l N个q， 2N个独立振 动的模式数与自由 度相等 光学支N个振动模式 光学支N个振动模式 第12页/共40页 2.2 三维晶格的热振动 二、一维复式晶格的热振动 0q Am BM 0 2 )1 ( 2 m e B A iqa 1 A B 单胞质心不动， 异类原子相向运动，离子晶体可以同光波发生强烈相互作用，故称为光学振动， 光学模频率高,用激光可激发该振动 所代表的振动 所代表的振动 单胞内异类原子同向运动，频率与波矢成线性关系，与连续介质中的弹性波类似，故称为声学振动，声学波可以用声波激发其振动 第13页/共

7、40页 三、三维复式晶格的热振动的一般规律 1.周期性边界条件同样实用于三维晶体 2.可以找到一组坐标变换，可以将三维晶格振动处理成独立的简 谐振动 3.所以可以得出，q的取值与一维情况是相近的，而且，波矢同样 要限制在第一布里渊区以内。 2.2 三维晶格的热振动 第14页/共40页 1 12233 1 11 1 2 22 2 3 33 3 2 0, 1,2, 3 2 0, 1,2, 3 2 0, 1,2, 3 qqq l ql N a l ql N a l ql N a qbbb 三、三维复式晶格的热振动的一般规律 123 NN N N 2.2 三维晶格的热振动 第15页/共40页 若三维晶

8、体每个单胞中含有n个原子，共有N个单胞 1.总的的独立晶格振动模式数：3nN个 2.由于声学格波在长波极限下代表单胞的整体运动，所 以声学振动的模式数为：3N个； 3.声学支的色散关系共有3个； 4.光学振动的独立模式数为：3nN-3N = 3(n-1)N个 三、三维复式晶格的热振动的一般规律 2.2 三维晶格的热振动 第16页/共40页 ),( iiiiii zyxzyxQQ ),( iiiiii zyxzyxQQ 正则坐标：所有原子坐标的线性组合 正则动量：所有动量的线性组合 三、三维复式晶格的热振动的一般规律 引入： 11 33 11 33 . . . . . . nNnN nNnN Q

9、x Qx Qx Qx M 2.2 三维晶格的热振动 第17页/共40页 三、三维复式晶格的热振动的一般规律 在上述正则变换下：体系的总能量可以表达为： 22 11 () 22 ii i EQQ 量子化以后，可以看成是3nN个独立的线性谐振子，其哈密顿量 没有势能的交叉项： nN i i HH 3 1 总 2.2 三维晶格的热振动 第18页/共40页 三、三维复式晶格的热振动的一般规律 ）（ 2 1 n 上述3nN个独立的线性谐振子的薛定谔方程可以分离变量求解， 其能量本证值为： 晶格振动的能量量子声子 声子是晶格集体振动的一种元激发 类比：光波和光子 声波和声子 2.2 三维晶格的热振动 第1

10、9页/共40页 三、三维复式晶格的热振动的一般规律 晶格振动的能量量子为声子, 声子能量 ： 声子动量：q 1 2 n （）一个格波能量 激发n个声子， 能量减少，意味声子湮灭 电子声子碰撞:能量,动量都守恒 声子声子碰撞:能量,动量都守恒 声子数不守恒： 玻色子 2.2 三维晶格的热振动 第20页/共40页 三、三维复式晶格的热振动的一般规律 1 1 B k T n e 声子的统计分布 晶格振动的总能量（E0零点振动能） 0 1exp E Tk E B 2.2 三维晶格的热振动 第21页/共40页 三、三维复式晶格的热振动的一般规律 2.2 三维晶格的热振动 dg Tk E B )( 1ex

11、p max 0 两个相邻的频率或波矢相差很小，晶格热振动总能量可以用积分表示 第22页/共40页 BV NkC3 3 TCV 当温度很高时，实验发现所有固体的晶格比热均趋于相同的常数 离子固体：T0， n杜隆-柏替（Dulung-Petit）定律 第23页/共40页 3 exp1 a B EN k T 爱因斯坦温度 第24页/共40页 2.4 晶格比热的爱因斯坦模型 爱因斯坦模型 实验结果 T Cv 第25页/共40页 通过色散关系加以讨论 -/a /a + - 光学支 声学支 q 温度较高高频声子激发为主 高频下，频率近似为常数 爱因斯坦模型更适合较高温度的情形 2.4 晶格比热的爱因斯坦模

12、型 第26页/共40页 2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型 -/a /a + - 光学支 声学支 q q的线性区域 一、模型 第27页/共40页 2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型 一、模型 态密度 第28页/共40页 2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型 二、态密 度 在倒空间中q的取值是均匀分布的 l1, l2, l3, 整数 第29页/共40页 b2 b1 b3 2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型 二、态密 度 倒空间每个q所代表的点形成的“点阵” 在倒空间，每个q所占的体积为： 3 312312 123 3 ()(2 ) () (2 ) q c bbbbbb V

13、NNNNNV V V=NVc 是晶体的体积 第30页/共40页 2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型 二、态密 度 b1 b2 b3 q 倒易空间q的密度为： 22 3 2 2 4d4d ( )d (2 ) / d 2 q qqqq qq VV Vq q 第31页/共40页 2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型 二、态密 度 ( )( )gdq dq ( )( ) dq gq d 由于和q是一一对应的， 所以有 第32页/共40页 2.5 晶格比热的德拜（Debye）模型 三、晶格比热 第33页/共40页 V(r) r 抛物线近似 ( )/ ( )/ B B V xk T V xk T xedx x edx 温度为T时，一维晶体中原子的平均距离为： 若势函数时是对称的，上式为零 ，晶体表现为零膨胀特性 第34页/共40页 r V(r) 由晶体势函数的形状分析晶体热膨胀行为 讨论： 正膨胀？ 负膨胀？ 第35页/共40页 一、声子膨胀的正常过程（N过程） 第一布里渊区 q1 q2 q3 三声子过程： 满足动量守恒定律 123 qqq 第36页/共40页 一、声子膨胀的倒逆过程（U过程） 第一布里渊区 q1 q2 q3 三声子