浙江专用高考数学新增分大一轮复习第九章平面解析几何专题突破六高考中的圆锥曲线问题第2课时定点与定值问

1、第九章 高考专题突破六 高考中的圆锥曲线问题第2课时定点与定值问题内容索引NEIRONGSUOYIN题型分类深度剖析课时作业1PARTONE题型分类深度剖析师生共研题型一定点问题2 .例1 (2018-湖州模拟)已知椭圆2 + / = 1(6/0)的上顶点为B(0 , 1),左、右焦点 分别为Fx , F2, BE的延长线交椭圆于点M ,彘二4沏.(1)求椭圆的标准方程；解 方法一设 Wo ,沟）,F2（C , 0）,则由阪二4顽,4xq 4%o 4c , 得Jo - 1 = 4yo /丸二孑孑 即1旳二-3 2 a=2r代入椭圆方程得龄+ $二1 ,又/二C?+ 1 ,所以方法二 如图,连接

2、BF , MF、,设二 BF2 二 3n , 则1尸2册二n ,又IMFJ + IMF2I = IBFJ + BF2 = 6n ,所以MFX I = 5n ,由眄I : BM : MF = 3 ： 4 ： 5 ,得ZFiBM=90 ,则 ZOBF?二 45 , a2 = 2b2 = 2 ,r2所以椭圆的标准方程为;+于二1.若直线咬椭圆于戶,0两点,且灯戶 定点.Ebq二m（m为非零常数）,求证：直线/过2? - 2-4kt卫寸 0(爼 I + 000n (Z 爼 z)(z + I)寸爼 91 M y o H z H X卫寸 +A生z +1)驱戢*观归13筆0 ,解得衣0或Ovkvl. 又R4

3、 , PB与y轴相交,故直线/不过点(1 , - 2).从而& - 3.所以直线伯勺斜率的取值范围是(-, -3)U(-3,0)U(0, 1).+厂为定值.设O为原点,QM = , QN = uQd ,求证:|证明设A(“ f 儿)/ Bx2 , y2),2k-4i由(1)知 1+兀2 二-j2 , %1%2 二卩、亠刃-2直线PA的方程为y - 2=(% - 1),%i - 1-yi + 2- kxi + 1令x二0得点M的纵坐标为yM =+ 2二+ 2.- 1 - 1-kx2 + 1同理得点N的纵坐标为 二+ 2.兀2 - 1由 QM 二人QO , QN 二 rQO ,得 a = I -

4、yM , /x = I - y.1111X1 - 1所以 =11=2-22 4iP%2 - 112Xi%2 -（兀1 + 兀2）伙-1）%2 k - 1兀1兀2思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1) 求代数式为定值依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式，代入代 数式、化简即可得出定值.(2) 求点到直线的距离为定值利用点到直线的距离公式得出距离的解析式, 再利用题设条件化简、变形求得.(3) 求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进 行化简、变形即可求得.跟踪训练2已知点M是椭圆C ：护+話二lb0）上一点z Fi z F2分别为C 的左、右焦点,且F

5、iF2 = 4 , ZF1MF2 = 60 , F1MF2的面积为埠.求椭圆C的方程；16 (VJT-(IMFJ + IMF2I)214 a/3解 在FiMF?中，由60 二 ,得MFMF 由余弦定理,得FF22 = MFXI2 + MF22 - MFWMFcos 60-2IMFMF2l(l + cos 60),解得 IMF + MF2 = 4 返从而 2a = MF + MF2 = 42，即 d 二 22.由FyF2 = 4，得c = 2 ,从而b = 2 ,2 2故椭圆c的方程为令+ $二1.(2)设N(0 , 2),过点尸(1 ,2)作直线I ,交椭圆C于异于耐勺A , B两点, 直线心

6、,栩的斜率分别为人,k2 ,证明：& +怠为定值.为告(寸二)二ZH H +IJ (z I 4)4 寸 (ZX+K)(寸 I 4) + 心电吏小 z M Z 只Ex (I +KMHZ+COV8 4Z+AZ :迄寸+A4Z + I)驱 _ 寸ooffl TM + f当直线/的斜率不存在时,可得右1,唱综上,kx +込为定值.+层二4核心素养之数学运算HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN直线与圆锥曲线的综合问题数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题 的过程主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运 算方法,设计运算程序,求得运算结果等.2 2

7、例 椭圆C ：話+ A 1 (ab0)的左、右焦点分别是F, ,F2i离心率为且垂直于兀轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.几何画板展示求椭圆C的方程；解 由于c2 = a2 - b ,将x二-c代入椭圆27 2+缶二1,得尸72h / 所以 d二 2 , b=l.2所以椭圆C的方程为+犷二1.又吨由题意知二1 f即d二2b2.(2)点F是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接尸戸,PF2 ,设ZFf的几何画板展示角平分线尸腋啪勺长轴于点M(加,0),求加的取值范围；解设尸僦）（沟工0）， 又円（-羽，0） , F2（3 , 0）,所以直线阳，昭的方程分别为仏:0% - （%0 + 书）y + a/

8、30 二 0 ,1Pf2 : ya - （xo -书）y -书yo = 0.由题意知I加为+角ol1砂0 -2由于点P在椭圆上,所以眷+诊二1.所以、27% + 2m -书I因为-书SV书,-2%02 ,m + a/3可得2 兀0 + 2所以m二詁 /33因止匕-|mb0）的下 顶点及左、右焦点F f 2，过椭圆C的左焦点F,的直线与椭圆C相交于M ,解当兀二0时,由妒+ 1)2二4，得y二-1或y二3 ； 当 y 二 0 时，由 / + - i)2 二 4 ,得兀二 a/3.y2 v2又圆/ + 1 )2二4过椭圆+ *二l(db0)的下顶点及焦点F. , F2i 故 c 二百,b= 1 ,

9、所以 t/2 = Z?2 + c2 = 4 ,2即椭圆C的方程为j + y2=l.23456(2)证明：当直线MN斜率变化时IDF出宀/古IMNI为疋值每+1OAI + 4)91 M (I 寸 + I)寸 X 寸孚sM yon-7 寸+亠孚00+ 0(4寸+ I)驱(M n (只 W)JV 皿(孚+ 321 - 1_（ 4佃$ 书k ）则MN的中点F1+4尹1+4/，故MN的中垂线DP的方程为厂1 +僦2二-(4书、x +91+4匕7234563個$l+4k27故IDF二书-1+4/1+4 疋71+4/IDFil2.已知抛物线C的顶点在原点,焦点在y轴上,且抛物线上有一点P(加,5) 到焦点的

10、距离为6.求该抛物线C的方程；解由题意设抛物线方程为界=2py(p0),其准线方程为y二七,P(m, 5)到焦点的距离等于戶到其准线的距离, 所以5+$二6,即厂2.所以抛物线方程为界二4y.(2)已知抛物线上一点M(4 , t),过点M作抛物线的两条弦和ME ,且MDLME ,判断直线DE是否过定点,并说明理由.解 由可得点M(4 , 4), 设直线MD的方程为y = k(x - 4) + 4(kH0),cy = k(x - 4) + 4 ,联立 c得 /-4也+1616二0.由题意得/0 /设Dg ,力),E(x2 , y2) /贝吹mF 二 6k - 16 ,16k - 16所以 X 二

11、二 4k 4 , yi 4(00寸(寸+4寸 x)7r 7 4-lr(寸+4寸 37(：亠罕 3 (注 丁(1二二 ss s 二+十寸J(I二)寸寸+卜+寸亠寸 寸 /I +卜3.知抛物线G的方程为x2 = 2py(pQ),过点勿)为常数)作抛物线C】 的两条切线,切点分别为A , B.(1)过焦点且在琏由上截距为2的直线/与抛物线G交于。,N两点,Q , N两点 在x轴上的射影分别为0 3，且 M I二2彷，求抛物线G的方程；23456解 因为抛物线C1的焦点坐标是o ,窕所以过焦点且在X轴上截距为2的直线方程是| + j二1 ,即” 二1 2“ -2py ,2联立 艺+ _消去V并整理，得

12、x2 + yx - p2 = 0 ,2 + _ 1 ;显然力0恒成立, 设点0% / yo)/皿加，加)/2贝 lixQ + xN= - y , xQxN - - p2.贝！N = xQ - xN = j(xQ + xN)2 2a/5 ,解得p二2所以抛物线G的方程为齐:-XqXN =2、P_22丿-4X(p2)二、件 +设直线AM ,斜率分别为心,絡求证:心仏为定值23456证明 设点4（兀1 , yj , B（x2 , 丁2）（0 / 兀20)，得y-p /则W =|-所以切线MA的方程是y-yi=x-兀1),%i Xi又点2p)在直线胚4上2于是有2厂冷专即 %i - 2ax - 4/?

13、2 二 0.同理，有 - 2ax2 - 4/?2 = 0 ,因此/ Xj , %2是方程2 1 2dX - 4p2 = 0的两根, 贝狀+x2 = 2a , XjX2 二 4p2.所以kvk2 =X X2 XX2P P 一 P2P2-4,故心伦为定值得证.4.已知中心在原点，焦点在兀轴上的椭圆C的离心率为学,过左焦点F且垂直 于x轴的直线交椭圆CTP , Q两点,且PQ = 2返求C的方程；2 2解 由已知，设椭圆c的方程为+缶二1 (ab0),因为卩0 = 2辺,不妨设点P( - c , a/2),c2 2代入椭圆方程得7+討1, 又因为e二”二冷,所以 +右二1 , b-c ,2 2所以/

14、?2 = 4 , t/2 = 2Z?2 = 8 ,所以C的方程为% + ； = 1(2)若直线/是圆齐+护二&上的点(2 , 2)处的切线，点M是直线2上任一点,过 点M作椭圆C的切线MA , MB ,切点分别为4 , B ,设切线的斜率都存在求证: 直线AB过定点,并求出该定点的坐标.解 依题设,得直线/的方程为y -2= -（x-2）, 即X + y- 4 = 0 ,设M（%0 , 丁0）/ A& / 力）/ B（%2 / 丁2）/ %0工且勺工勺 / 由切线M4的斜率存在,设其方程为y -北二k（x -可）,y yi = k（x %i） /联立/ /8 + 4 = 1得(2Q + l)x

15、2 + 4k(y - kxx + 2 - kx)2 -8 = 0,由相切得/ = 161 - 5)2 - 8(2胪 + 1)4 - 5)2 - 4二 0 ,化简得1 kxy)2 = 8F + 4 z即(# - 8疋-2xiyk + J1 - 4 = 0 ,因为方程只有一解,所以护二二%1 - 8- 2yi2yi z所以切线ma的方程为yyi =即小兀 + 2小二8 /同理,切线MB的方程为 + 2诊二8c - Xl),又因为两切线都经过点MO。/儿)/XXq + 2阳0 二 8 ,所以卜2兀0 + 2炮0二8 ,所以直线AB的方程为心+ 2y0y = 8 ,又 +沟二4 /所以直线AB的方程可

16、化为 + 2(4 - XQ)y = 8 , 即兀0(兀-2y) + 8y - 8 = 0 ,x - 2y = 0 ,x = 2 ,令得8厂8二0,y = 1 zJV所以直线AB恒过定点(2 , 1).技能提升练2 25设椭圆C ：手+ *二1(%0)的离心率 的距离d二洋,O为坐标原点.求椭圆C的方程；2 左顶点M到直线专+ *二1解由幺二得C二又Z?2 = a2 - c2 ,所以 b = a ,即“二 2b.由左顶点M(-a , 0)到直线专+ 1=1 ,即到直线bx + ay - ab = 0的距离d -,把a二2b代入上式,得-/解得b= 1.23456所以 a 二 2/?二2 / c

17、二寸32所以椭圆c的方程为才+于二1.(2)设直线/与椭圆C相交于A , B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点, 证明：点O到直线AB的距离为定值.证明设A( / X)/ B(x2 ,力)/当直线的斜率不存在时,由椭圆的对称性,可知勺二七/戸二丁2 因为以为直径的圆经过坐标原点,故OA OB = 0 f 即 兀1兀2 + Y1Y2 二 0 , 也就是;4 分二o,2345 C又点A在椭圆C,所以普 解得Wii二|力|二斗此时点O到直线AB的距离dx - kil =斗当直线AB的斜率存在时, 设直线AB的方程为y二kx + m ,y = kx + m ,与椭圆方程联立有才+y 二 1消去八得(

18、1 + 4k2)x2 + Skmx + 4m2 -4 = 0,2所以X+X2 =8km4加 4也二 1+僦2因为以AB为直径的圆过坐标原点O ,所以Q4丄OB ,所以O4 OB 二 xxx2 + yyz 二 0 ,所以（1 + 以）兀兀2 + kmg + x2） + m2 = 0 ,所以（1+Q4m2 - 41+4/8%21+4疋整理得5加2二4伙2+i),所以点o到直线AB的距离d - T=二十+1 综上所述,点o到直线的距离为走值专拓展冲剌练26.（2018丽水、衢州、湖州三地市质检）如图,Fi , E是椭圆C： | + /=1的左、右焦点,A朋是椭圆C上的两点,且都在兀轴上方,AFJ/B

19、F2 ,设4局,防】的交点为M.求证：丽j证明 方法一 如题图所示,由题意知件（-1,0）, F2（l , 0）,屏 2 1 + y2=l , 设直线AF.的方程为x=my- ,与椭圆C的方程联立,由2消去x孑整理得（加2 + 2）y2 - 2my -1=0. 由题意知/力0 /因为点A在X轴上方,x 二 my - I , yA） /m + yl 2(m2 + 1)1 + m2- m + a/ 2(m2 + 1)2m + 2 2(mm -r z1 随F jl + m2 m + 寸2(加$ + 1) F2I yjl + m2 - m + j2(m2 +1) + 1) 所以I ”二2鳥2 + 2)

20、所以 LAFil 二 yjl+rryA - 01 =直线防2的方程为 = my + 1 ,设yB) /-m + l 2(m2 + 1)同銅得比二,IBF2I =1 + m- - m + yj2(rrT + 1)m +2m +22345 Cm2 + 22m2 + 2IIm + 2所以丽+耐不总m2 + 21 + m+ 2r 1,1_m2 + 222(m+l)+1m + 1)- m + 1) 1 + m22(m2 + 1) - m2 m + 寸2(/ + 1)+ m2- m + 寸2(/ + 1)所以爲+肃为定值方法二 如图所示,延长A交椭圆于绚,由椭圆的对称性可知1件1二IBF2I , 所以要证爲+肃为定值,只需证爲+爲为定值.V设直线AF的方程为X =my - 1 t A(xj , yj , Bx2 ,力)/ 与椭圆C的方程联立z由消去x ,整理