选修3随机变量及其分布知识点总结材料典型例题

1、实用标准文档2-3随机变量及其分布离散型随 机变量(分布列 T数字特征HW)HSB-(两点分布一G*殊分布列)-倔几何分布)-(二项分布)件概率俳件相互独立性K独立重复甌文案大全,% lGe态分布密度曲线(正态芬布)3 0丿泉则要点归纳一、离散型随机变量及其分布列1. (1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关 系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这 个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.通常用字 母x, y, g, n等表示.(2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量 称为离散型随机变量.(3) 离散型随

2、机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为xi,X2 , xi , Xn，X取每一个值 xi(i= 1, 2, n)的概率P(X= xi) = pi，以表格的形式表示如下：XXIX 2XiXnppiP2PiPn我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X= Xi) = pi ,i= 1, 2, n表示X的分布列.(4) 离散型随机变量的分布列的性质： pi$O, i=l, 2,n；n pi= 1.i= 1(5) 常见的分布列：两点分布：如果随机变量X的分布列具有下表的形式，则 称X服从两点分布，并称p=P(X= 1)为成功概率.

3、X01P1 PP两点分布又称 0 1分布，伯努利分布.超几何分布：一般地，在含有 M件次品的 N件产品中，任取 n件，其中恰有X件次品，则事件 X = k发生的概率为P (X=X01mP0 n 0Cm Cn mCn1 n 1Cm C n mCNnm n 一 mCm Cn mCNnk n- kCm Cnm .k)=n， k= 0,1,2,m,即C N其中 m = minM, n),且 n W N, M WN, n, M , NGN*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.2. 二项分布及其应用(1) 条件概率：一般地，设 A和B是两个事件，且 P( A) 0,P

4、 ( AB)称P(BIA) = P ( A)为在事件 A发生的条件下，事件B发生 的条件概率.P(B IA)读作A发生的条件下 B发生的概率.(2) 条件概率的性质: OWP(BIA)W1； 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0；如果 B和 C是两个互斥事件，则 P(BU CIA)= P(BIA) +P(CIA)(3) 事件的相互独立性：设 A, B为两个事件，如果 P(AB )=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.如果事件 A与B相互独立，那么 A与B, A与B, A与B也都相互独立.(4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.(5)

5、 二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件 A发生的次数为X,在每次试验中事件 A发生的概率为p,那 么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X= k) = Cpk(l- p)n_ k, k= 0, 1, 2, n.此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n, p),并称p为成功概 率.两点分布是当n= 1时的二项分布，二项分布可以看成 是两点分布的一般形式.3. 离散型随机变量的均值与方差(1) 均值、方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为XXIX2X iXnPP*P-PiPn则称 E(X) = XI pi +x?p2+ + Xi pi+ +xn pn 为随机变量 X

6、 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.称D( X )= (Xi E ( X) 2 pi为随机变量X的方差，Q ( X )为 i= 1随机变量X的标准差.(2) 均值与方差的性质：若Y=aX+b,其中a, b是常数，X 是随机变量，贝IY也是随机变量，且E(aX+b)= aE(X) +b,D(aX+b)= a2D(X)(3) 常见分布的均值和方差公式：两点分布：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则均值E(X)=p,方差D(X) =P(lP)二项分布：若随机变量 XB(n, p),贝ij均值E(X)=np, 方差 D(X)= np(l-p).4. 止态分布瞇曲址附把祕卩的-席

7、宀（工一“）2沪（1）正态曲线与正态分布:W( + 8）（其中“是样本均值,G是样本标准差）的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，正态曲线呈钟形, 即中间舄，两边低.正态分布一般抱.如果对于任何实数m Wa6）,随机 变量X满足RmVXW尸也心）矢，则称随机变MXIR 从正态分布.正态分布完全由参数“，确定，因此正态分 布常记作g,（T）.（2）正态曲线的特点： 曲线位于x轴上方，与x轴不相交； 曲线是单峰的，它关于直线 X= U对称；1 曲线在x=卩处达到峰值0弋2兀； 曲线与X轴之间的面积为1.（3）u和。对正态曲线的影响： 当0 定时，曲线的位置由U确定，曲线随着u的变化而沿X 轴平

8、移； 当U 定时，曲线的形状由0确定，0越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；。越大，曲线越“矮胖”，表 示总体的分布越分散.(4)正态分布的3。原则：若随机变量XN(u, 0 2),则P(U一 o XW U + o)= 0.682 6, P(P 2 o XW P + 2 o )= 0.9544, P（u-3oVXW u+ 3o）=0997 4 在实际应用屮，通常认为服从于匸态分布N（ U ,。2）的随机变 量X只取（u 3。， u +3。）之间的值，并简称之为3。原则.专题一条件概率1. 条件概率的求法利用定义，分别求出 P(A)和P(AB ),解得P(B IA)=P (AB)P (A

9、) (2)借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事n( AB)件数 n(AB),得 P(BIA)= n ( A) *2.解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”(1) 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质；第二步，判断事件的运算；第三步，运用公式.(2) 概率问题常常与排列、组合知识相结合.【例1】在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题，求：(1) 第1次抽到理科题的概率；(2) 第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3) 在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.解 设“第1次抽到理科题”为事件A, “第

10、2次抽到理科题”为 事件B,则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.从5道题中不放回地依次抽取 2道题的事件数为n(Q)=A25 =20.根据分步乘法计数原理，n(A)= AX A l4= 12.n ( A) 12 3于是 P(A)= n ( Q) =20=5.(2)因为 虧4)=A；=6.所以丹的=臥骼墙=語法一 由卩)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率10 13一2法二因为 ft(AB)=6. 4)=12,n (.AB)专题二相互独立事件的概率1.求相互独立事件一般与互斥事件、对立事 件纟吉合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在些基础上用基本事

11、件之间的交、并、补运算表示岀有关事 件，并运用相应公式求解.2. 特别注意以下两公式的使用前提(1)若A, B互斥,则P(AU B) = P(A)+P(B),反之不成立. 若A, B相互独立，则P(AB)= P(A)P(B),反之成立.【例2】甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为_4乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为丄，甲丙两台机床加工的零件都是-等品的概率为 129*(1) 分别求出甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；(2) 从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概

12、率.解 设A. B. C分别为甲、乙、丙三台机床各自独立加工同 一种零件是一等品的事件，依雌意得27|P（r）l2-Cl *3 3 3 27*P&=4)pg卜訐务I 1 2 32416P(X=5)=C4_+ _=.3 3327故X的分布列为：X2345P144169272727441638E(X) = 2 X 9 + 3 X 27 + 4 X 27 + 5 X 279【例4】(2012 枣庄检测)某单位为了参加上级组织的普及消防知 识竞赛，需要从两名选手中选出一人参加.为此，设计了一个 挑选方案：选手从6道备选题中一次性随机抽取 3题.通过考 查得知：6道备选题中选手甲有 4道题能够答对，2道

13、题答错； 选手乙答对每题的概率都是 23,且各题答对与否互不影响.设 选手甲、选手乙答对的题数分别为g, n.(1) 写出的概率分布列(不要求计算过程)，并求出E(), E(n)；(2) 求D(g), D(n).请你根据得到的数据，建议该单位派哪个选手参加竞赛？解(l)g的概率分布列为g123131P5气5131所以 E(g)=lX5+川5 十 3X 5=2.由题意，nB3, 3 , e(h)= 3X 3=2,ol 31或者 P(n = o)= c3 =；3272=29；P(n = 2)=c23 252 -3 =49； P(n 三3)=廿3?3 3=27_ 2 8所以，U) = 0X4 1X-1 2X- I 3X =2.(2)Z)(f)=(l-2rx| 十(22)呢十(32)%=右 由可円卜切)=3X； + =；可見阴 =Eg V7)(m 因此建议该单位派甲参加竞赛.专题四 正态分布【例5】某市去年高考考生