管理数量方法与分析 第二章概率分布二

1、管理数量方法与分析管理数量方法与分析 第二章第二章 概率及其概率分布概率及其概率分布 2.3.1 2.3.1 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 2.3.1 2.3.1 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 1. 1. 数学期望（均值）数学期望（均值） 随机变量的数学期望是随机变量取值以概率随机变量的数学期望是随机变量取值以概率 为权数的加权平均，是随机变量的分布中心。简为权数的加权平均，是随机变量的分布中心。简 称称期望。期望。 (1) (1) 离散型随机变量是数学期望离散型随机变量是数学期望 设离散型随机变量设离散型随机变量X X的分布律为的分布律为： , kk pxXP 1 )( i

2、kk pxXE 若级数若级数 绝对收敛绝对收敛, ,则称此级数的和为随则称此级数的和为随 1i kk px 既有既有 机变量机变量 X X 的数学期望。记作的数学期望。记作 : :E(X )E(X ) 例例2.3.12.3.1 书书P63 P63 例题例题2.122.12 利润（万元）利润（万元）100150200 概率概率 甲方案甲方案0.20.70.1 乙方案乙方案0.280.60.12 试比较这两种方案哪种比较好？试比较这两种方案哪种比较好？ X Y 100150200 0.20.70.1 Y P 100150200 0.280.60.12 要比较甲、乙投资方案的优势，也就是要比较两要比

3、较甲、乙投资方案的优势，也就是要比较两 种方案谁获得的平均利润高，于是有：种方案谁获得的平均利润高，于是有： E（X）= =1000.2+1500.7+2000.1=145（万元）（万元） E E（X X）= =100= =1000.28+1500.28+1500.6+2000.6+2000.12=1420.12=142（万元）（万元） 计算结果表明，甲方案略好于乙方案。计算结果表明，甲方案略好于乙方案。 (2) 连续型随机变量是数学期望连续型随机变量是数学期望 设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为f(x), 若积分若积分 既有既有 记作记作 :E(X ). 绝对

4、收敛，则称此积分值为绝对收敛，则称此积分值为X的数学期望的数学期望. dxxxf)( dxxxfEX)( 说说 明明 X的数学期望刻画了的数学期望刻画了X变化的平均值变化的平均值. 例例2.3.2 设设 解解 求：求： E(X), 其他其他 bxa ab xfX 0 1 2 1ab dx ab xdxxxfEX b a 例例2.3.32.3.3 书书P63 P63 例题例题2.132.13； 设市场对某种商品的需求量设市场对某种商品的需求量X X（单位：吨），它的分布（单位：吨），它的分布 密度为：密度为： f f（x x)=)= 0 , 2000 x4000 ， 其他其他 若出售这种商品若出

5、售这种商品1 1吨，可获利吨，可获利3 3万元；若销售不出万元；若销售不出 去，则每吨需付仓储费去，则每吨需付仓储费1 1万元，应组织多少吨货万元，应组织多少吨货 源才能使收益的数学期望最大？源才能使收益的数学期望最大？ 解：设解：设m m（吨）为组织货源，（吨）为组织货源，Y Y（万元）为收益，则有：（万元）为收益，则有： Y= 3m3m， xmxm 3x-（m-x），）， xm 而而E E（Y Y）= = = = = = 令令 即即 故应组织故应组织35003500吨货源才能使收益的数字期望达到最大。吨货源才能使收益的数字期望达到最大。 (3) (3) 数学期望的性质数学期望的性质 a.

6、a. EcEc= =c,cc,c 是常数是常数. 若若a aX Xb b, ,则则 a aEXEXb b. . b. b. E E( (cXcX) )= =cEcE( (X X) ),c,c 是常数是常数. . c. E(XY)=EXEY. d. 若若X,YX,Y相互独立相互独立,则则E(XY)=EXEY. 推论推论 E(aX+bY)=aEX+bEY. (1) (1) 定义定义 在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度，在实际问题中常关心随机变量与均值的偏离程度， 可用可用E|X-EX|E|X-EX|表示表示, ,但不方便但不方便; ;所以通常用所以通常用E E( (X-EXX-EX) )2

7、 2来度来度 量随机变量量随机变量X X与其均值与其均值E(X)E(X)的偏离程度的偏离程度 DX 设设 X X 是随机变量是随机变量, ,称称 ( (X-EXX-EX) ) 为随机变量为随机变量 X X 的离差的离差. .而而 随机变量随机变量X X的离差的数学期望为的离差的数学期望为0,0,即有即有 E (X-EX)=0 定义定义 2 )()(EXXEXVarXD 设设 X X 是随机变量是随机变量, ,若若E E( (X-EXX-EX) )2 2存在存在, ,则称之为则称之为 随机变量随机变量 X X 的方差的方差. .记作记作 D(X)D(X), ,或或 VarVar ( ( X X

8、).). 即：即： 而称而称 为均方差为均方差, ,根方差或标准差记为根方差或标准差记为( (X X) ) 2.2.方差方差 1 2 )( i ii pEXx dxxfEXxDX)()( 2 2 )(EXXEDX 离散型离散型 连续型连续型 说明说明方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离 程度。程度。D(X)D(X)越小，表明越小，表明X X的取值越集中在的取值越集中在E(X)E(X)附近。附近。 因因E(X)E(X)是一常数是一常数, ,若用若用c c表示表示, ,则则D(XD(X) )实际上是实际上是X X的的 函数函数, ,Y=X-c,Y=X-c,于

9、是于是D(X)=E(Y)D(X)=E(Y). . 2 2 EXEXDX 方差另一计算公式方差另一计算公式 例例2.3.4 设设 解解 求：求： E(X), 其他其他 bxa ab xfX 0 1 2 1ab dx ab xdxxxfEX b a 2222 3 1 )(aabbdxxfxXE 12 2 2 2 ab XEXEXD 记住结论记住结论 例例2.3.52.3.5 书书P65 P65 例题例题2.142.14；例题；例题2.152.15； 【例例2.152.15】设随机变量设随机变量X X具有概率密度具有概率密度 F（x）= 1+x， -1x0 1-x, 0 x1 0, , 其他其他 求

10、求D D（X X） 解：解： 01 10 ( )(1)(1)0EXxf x dxxx dxxx dx 01 2222 10 1 ()( )(1)(1) 6 E Xx f x dxxx dxxx dx （2 2）方差的性质）方差的性质 a. DX0 Dc=0, c 是常数是常数. . b. D(cX)=c2D(X) c c 是常数是常数. . c.c.若若X,YX,Y相互独立相互独立, , 则则 D D( (aX+bYaX+bY)=)=a a2 2DXDX+ +b b2 2DYDY. . d.DX=0PX=c=1,c=EX. 3.3.几种常见分布的数学期望及方差几种常见分布的数学期望及方差 (1

11、)(1)两点分布两点分布 ppp X k 1 10 22 )(EXEXDX , pEX pqpp 2 若随机变量若随机变量XB(n,p),则则E(X)=np,D(X)=np(1-p) (2) (2) 二项分布二项分布 设设 X X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布，则泊松分布，则 E(X)=,D(X)=. . 设设 X 服从参数为服从参数为 a,b 的的均匀分布均匀分布,即即XU(a,b), ., 0 ,),/(1 )( 其其它它 bxaab xf )(XE b a dx ab x 1 2 ba )(XD 22 ) 2 ( 1ba dx ab x b a 12 )( 2 ab dxxxf)(

12、 22 )(EXEX (5) (5) 指数分布指数分布 设设 XE(XE(),),则则X X 的概率密度函数为：的概率密度函数为： . 0, 0 0, )( x e xf 0 dxex x 2 2 1 b a xdx ex 2 1 dxxxf)( 22 )(EXEX 1 )(XE )(XD xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( 2 )(,)( XDXE则则 设设 X 服从参数为服从参数为,2 的的正态分布正态分布,即即XN(,2 ), 设设 XN(0,1 ), 则则E(X)=0, D(X)=1. 离散型离散型分布分布期望期望方差方差 XB(1,p)pp(1-p) XB(n,p)np

13、np(1-p) X() 连续型连续型XU(a,b)(a+b)/2 (b-a)2/12 XE()1/1/2 XN(,2)2 常见分布的期望与方差常见分布的期望与方差 2.3.2 2.3.2 二维随机变量与随机变量的独立性二维随机变量与随机变量的独立性 1. 1. 二维随机变量及其概率分布二维随机变量及其概率分布 (1) (1) 二维随机变量二维随机变量的定义的定义 设设 E E 是一个随机试验是一个随机试验, ,样本空间为样本空间为 =e e ， X X= =X X( (e e) ) 和和 Y Y= =Y Y( (e e) ) 是定义在是定义在 上的两个随机变上的两个随机变 量量. .称由它们构

14、成的一个向量称由它们构成的一个向量 ( (X X, , Y Y) ) , ,叫做叫做二维二维 随机向量随机向量，或，或二维随机变量二维随机变量. . 一般用一般用( (X X, , Y Y) ) 表表 示示. . 数学期望简称期望，又称均值数学期望简称期望，又称均值. e X(e) Y(e) 例子例子 (1) (1) 考察某地区考察某地区1515岁少年的身体状况岁少年的身体状况, ,令令: : X:X:该地区该地区1515岁少年的身高岁少年的身高; ; Y:Y:该地区该地区1515岁少年的体重岁少年的体重; ; 则则( (X,YX,Y) )就是一个二维随机变量就是一个二维随机变量. . (2)

15、 (2) 考察某地区气候状况考察某地区气候状况, ,令令: : X:X:该地区温度该地区温度; ; Y:Y:该地区湿度该地区湿度; ; 则则( (X,YX,Y) )就是一个二维随机变量就是一个二维随机变量. . 说明说明 二维随机变量二维随机变量( (X,YX,Y) )在几何上可看作平面上的随机点。在几何上可看作平面上的随机点。 (1) (1) 二维随机变量也称二维随机向量二维随机变量也称二维随机向量 (2) (2) 应将二维随机变量应将二维随机变量( (X,YX,Y) )= =( (X X( (e e) ),Y,Y( (e e) ) e eS S 看作一个整体看作一个整体, , X X和和Y

16、 Y之间是有联系的之间是有联系的. . (3) (3) 事件事件 X Xx x, ,Y Yy y 表示事件表示事件 X Xxx 和事件和事件 YyYy 的积的积. . 说明说明 根据根据二二维随机变量维随机变量( (X,YX,Y) )的取值情况的取值情况, ,仍可分为离仍可分为离 散型与非离散型散型与非离散型-连续型随机变量连续型随机变量. . 2. 2. 二维离散型随机变量二维离散型随机变量 1, 10 11 ij ijij pp此此时时， 定义定义 若二维随机变量若二维随机变量( (X,YX,Y) )的取值是有限个或可列个无的取值是有限个或可列个无 穷数对穷数对, ,则则( (X,YX,Y

17、) )为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量. . 设设( (X,YX,Y) )为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量, ,其所有可能其所有可能 取值为取值为(xi,yj)(i=1,2,; j=1,2,), 事件事件X=xi,Y=yj的概率的概率 PX=xi,Y=yj=pij 则称则称pij=PX=xi,Y=yj (i=1,2,; j=1,2,)为二维离散型为二维离散型 随机变量随机变量( (X,YX,Y) )的分布律的分布律.也称也称X X与与Y Y的联合分布律的联合分布律. . X X与与Y Y的联合分布律可用表格形式表示的联合分布律可用表格形式表示 边缘分布也称为边沿分布或边际分布边

18、缘分布也称为边沿分布或边际分布 边缘分布边缘分布 称二维随机变量称二维随机变量( (X,YX,Y) )关于分量关于分量X X( (Y Y) )分布分布 为二元随机变量为二元随机变量( (X,YX,Y) )关于关于X X（关于关于Y Y）的边缘分布的边缘分布 )( ji pp 设离散型随机变量设离散型随机变量( (X,YX,Y) )的联合分布律为的联合分布律为 PXi=xi,Yj=yj=pij 11 ), 2 , 1(), 2 , 1( ji ijij jpip则则称称 二维随机变量二维随机变量(X,Y) X(Y)的的边缘分布律边缘分布律. . 记为记为: : 既有既有: 11 ), 2 , 1

19、(), 2 , 1( ji ijjiji jppipp X X与与Y Y的边缘分布律可用表格形式表示的边缘分布律可用表格形式表示 3. 3. 二维连续型随机变量二维连续型随机变量 定义定义 与二维离散随机变量与二维离散随机变量( (X,YX,Y) )的讨论类似的讨论类似. . 对于二维随机变量对于二维随机变量 ( ( X X, ,Y Y ) ) 分布函数分布函数 F F ( (x x , , y y ) )， yx dudvvufyxF),(),( 则称则称 ( ( X X, ,Y Y ) ) 是连续型的二维随机变量，函数是连续型的二维随机变量，函数 f f ( (x x , , y y )

20、)称为二维随机变量称为二维随机变量 ( ( X X, ,Y Y ) )的概率密的概率密 度，或称为度，或称为 X X 和和 Y Y 的联合概率密度函数。的联合概率密度函数。 如果存在非负函数如果存在非负函数 f f ( (x x , , y y ) )，使得对于任意的使得对于任意的 x x，y y有：有： 概率密度的概率密度的性质：性质： ;0),(10 yxf ;1),(),(2 0 Fdxdyyxf 连续，则有连续，则有在点在点若若),(),(30yxyxf 40 设设 G 是平面上的一个区域，点是平面上的一个区域，点 ( X,Y )落在落在 G 内内 的概率为：的概率为： G dxdyy

21、xfGYXP.),(),( 这个公式非常重要！这个公式非常重要！ ).,( ),( 2 yxf yx yxF 在几何上在几何上 z = f (x , y) 表示空间的一个曲面，上式表示空间的一个曲面，上式 即表示即表示 P(X,Y) G的值等于以的值等于以 G 为底，以曲面为底，以曲面 z = f (x , y)为顶的柱体体积为顶的柱体体积. 边缘分布边缘分布 称二维随机变量称二维随机变量( (X,YX,Y) )关于分量关于分量X X( (Y Y) )分分 布为二元随机变量布为二元随机变量( (X,YX,Y) )关于关于X X（关于关于Y Y）的边缘分布的边缘分布 若二维连续型随机变量若二维连

22、续型随机变量( (X,Y)X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为 f(f(x,yx,y) ) 则随机变量则随机变量X X与与Y Y的边缘密度函数为的边缘密度函数为f fX X( (x x), ), f fY Y( (y)y). . dyyxfxf X ， dxyxfyfY， 仿照一维随机变量的期望与方差的计算，可仿照一维随机变量的期望与方差的计算，可 以计算二维随机变量的以计算二维随机变量的 期望与方差期望与方差. . 定义：定义： yFxFyxF YX ， 设设 ( ( X X , ,Y Y ) ) 是二维随机变量是二维随机变量, ,其联合分布其联合分布 函数为函数为 F ( X ,Y )

23、， 随机变量随机变量X X与与Y Y的边缘分布函数分别为的边缘分布函数分别为F FX X( (x x) ) 和和F FY Y( (y y),), 如果对于任意的如果对于任意的x,yx,y，均有，均有 则称则称 X X , ,Y Y 相互独立的随机变量。相互独立的随机变量。 yYPxXPyYxXP ，既既有有 4. 4. 二维离散型随机变量的独立性二维离散型随机变量的独立性 离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性 jiij yYxXPp ， ，21 ji ii xXPp ， 21 i jj yYPp ， 21 j jiij ppp 设设 ( ( X X , ,Y Y ) ) 是二维随机变量

24、，其联合分布率为是二维随机变量，其联合分布率为 随机变量随机变量X X与与Y Y的边缘分布率分别为的边缘分布率分别为 如果对于任意的如果对于任意的i i, j, j，均有，均有 则称则称 X X , ,Y Y 相互独立的随机变量相互独立的随机变量. . yfxfyxf YX ， 设设 ( ( X X , ,Y Y ) ) 是二维连续型随机变量，其联合密是二维连续型随机变量，其联合密 度函数为度函数为f (x ,y )f (x ,y )，随机变量，随机变量X X与与Y Y的边缘概率的边缘概率 密度函数分别密度函数分别fX(x), fY(y), 如果对于几乎所有的如果对于几乎所有的x,yx,y，有

25、，有 则称则称 X ,Y X ,Y 相互独立的随机变量。相互独立的随机变量。 说明说明: : 上式对上式对f f( (x,yx,y) )的所有连续点的所有连续点( (x,yx,y) )必须成立必须成立. . 连续型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性 2.4.1 2.4.1 大数定律大数定律 2 2. .4 4. .2 2 中心极限定理中心极限定理 2.4.1 2.4.1 大数定律大数定律 1. 1. 贝努力贝努力(Bernoulli)(Bernoulli)大数定律大数定律 事件的频率值随着使用次数的增加稳定地在某一事件的频率值随着使用次数的增加稳定地在某一 值附近摆动，多次测量的结果的平均

26、值与真值无值附近摆动，多次测量的结果的平均值与真值无 限接近，这是为什么？限接近，这是为什么？ , 1|lim p n m P n . 0|lim p n m P n 或或 设设m m为为n n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A A发生的次数发生的次数, , p p是事件是事件 则对于任意则对于任意0,0,有有A A发生的概率发生的概率, , 此定律说明此定律说明 m/nm/n表示表示n n次实验中，事件次实验中，事件A A发生的频率，发生的频率， P P表示事件表示事件A A在每次实验中发生的概率，在实验次数在每次实验中发生的概率，在实验次数 n n很大时，事件很大时，事件A A发生的频

27、率与概率有较大偏差的可发生的频率与概率有较大偏差的可 能性很小，其是概率论中事件概率的统计定义的理能性很小，其是概率论中事件概率的统计定义的理 论依据，同时也是统计学中常用的实际推断原理的论依据，同时也是统计学中常用的实际推断原理的 理论依据理论依据. . 2. 2. 辛欣大数定律辛欣大数定律 数学期望与方差，数学期望与方差，, 2 , 1, 2 kDXEX kk , 1| 1 |lim 1 n k k n X n P . 0| 1 |lim 1 n k k n X n P或或 设有随机变量序列设有随机变量序列X X1 1,X,X2 2，,X Xn n 相互独立 相互独立, , 且有相同且有相

28、同 则对于任意则对于任意0,0,有有 定律说明：定律说明： 的的算算术术序序列列独独立立同同分分布布的的随随机机变变量量 n XXX, 21 ，它它是是测测量量中中取取平平均均值值学学期期望望平平均均值值依依概概率率收收敛敛到到数数 的的算算术术平平均均次次测测量量值值的的理理论论依依据据，即即), 2 , 1(nkxn k 的的理理论论依依据据。值值为为零零件件真真值值的的代代替替值值 2.4.2 2.4.2 中心极限定理中心极限定理 1. 1. 独立同分布中心极限定理独立同分布中心极限定理 ), 2 , 1( , 0 2 kDX k lim 1 x n nX P n k k n ).( 2

29、 1 2 2 xdte xt 设有独立同分布随机变量序列设有独立同分布随机变量序列X1,X2，,Xn, 且且 ,则则 E(Xk)=, 中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是中心极限定理说明了正态分布的重要地位，它也是 统计学中处理大样本时的重要工具。统计学中处理大样本时的重要工具。 此定理也称林德贝格此定理也称林德贝格勒维中心极限定理勒维中心极限定理 2.2.德莫佛德莫佛- -拉普拉斯拉普拉斯(De Moivre-Laplace)(De Moivre-Laplace)中心中心 极限定理极限定理 此定理说明此定理说明, ,在在n n相当大时相当大时, ,X Xn n近似服从参数近似服从参数npnp, , npnp(1-(1-p p) )的正态分布的正态分布. .既有既有 )1( limx pnp npX P n n xt dte 2 2 2 1 设随机变量设随机变量X Xn nBB( (n,pn,p), (0), (0p p1),1),则对于任意实数则对于任意实数 x,x,均有均有 bXaP n npq npb npq npX npq npa P n )()( npq npa npq npb 1. 1. 局部极限定理局部极限定理 当当n n充分大时，有充分大时，有 npq