系统的频率特性

1、第第5章章 系统的频率特性系统的频率特性 u5.1 频率特性概述频率特性概述 u5.2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 u5.3 频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图 u5.4 最小相位系统最小相位系统 u5.5 闭环频率特性与频域性能指标闭环频率特性与频域性能指标 u5.6 由对数幅频特性曲线求系统传递函数由对数幅频特性曲线求系统传递函数 5.1 频率特性概述频率特性概述 u频率特性：频率特性：又称频率响应，是系统对不同频率正弦输入信号的稳态响 应。 5.1 频率特性概述频率特性概述 5.1 频率特性概述频率特性概述 5.1 频率特性概述频率特性概述 5.1 频率特性概述频率特性概

2、述 5.1 频率特性概述频率特性概述 u系统在正弦信号作用下的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，输出 与输入的幅值之比为|G(j)|，稳态输出与输入间的相位差为G(j)。 ( )sin()cGtA Gtjj )sin()(tAtr ()() ()()( ) j G jj G jG jeAe ()()AG j 频率特性: 幅频特性： 相频特性： ( )()G j u频率特性表征了系统输入输出之间的关系，可由频率特性来分析系统 性能。 5.1 频率特性概述频率特性概述 Re()Im()( )( )G jjG jujv ()Re()uG j 实频特性： 虚频特性： ( )Im()vG j 5.1 频

3、率特性概述频率特性概述 几点认识：几点认识： 频率特性有明确的物理意义，可以用实验的手段准确地得到系统的频率 响应，当系统传递函数未知时，可以通过测量频率响应来推导系统的传 递函数； 系统频率特性能间接地揭示系统的动态特性和稳态特性，可简单迅速地 判断某些环节或参数对系统性能的影响，指出系统改进方向； 频率特性是在系统稳定的条件下分析稳态响应得到的，它与传递函数一 样，也表征了系统的运动规律，是系统频域分析的理论依据，但只适应 于线性定常连续系统。 5.1 频率特性概述频率特性概述 1 () K G j j T 22 1 () K A T 频率特性: 幅频特性： 相频特性： 22 1 () K

4、 u T 实频特性： 虚频特性： 2222 11 KTK j TT ()arctanT 22 1 () TK v T u频率特性的表示方法 5.1 频率特性概述频率特性概述 ()() ()()( ) j G jj G jG jeAe ()()AG j 频率特性: 幅频特性： 相频特性： ( )()G j Re()Im()( )( )G jjG jujv ()Re()uG j 实频特性： 虚频特性： ( )Im()vG j 解析表示法 图示表示法 极坐标图，或称奈奎斯特(Nyquist)图 对数坐标图，或称伯德(Bode)图 对数幅-相图，或称尼柯尔斯(Nichols)图 5.2 频率特性的极坐

5、标图频率特性的极坐标图 一、极坐标图一、极坐标图 极坐标图又称奈奎斯特（极坐标图又称奈奎斯特（Nyquist）图，）图，是是 当当从从0时，时，表示在极坐标上的表示在极坐标上的G(j)的的 幅值与相位角的关系图，幅值与相位角的关系图， 或或G(j) 端点的端点的 轨迹。轨迹。 由于由于G(j)是是的复变函数，故可在复平面的复变函数，故可在复平面 上用复矢量表示。矢量的长度为其幅值上用复矢量表示。矢量的长度为其幅值| G(j)|，与正实轴的夹角为其相角，与正实轴的夹角为其相角()，在，在 实轴和虚轴上的投影分别为其实部和虚部。实轴和虚轴上的投影分别为其实部和虚部。 相角相角()的符号规定为从正实

6、轴开始，的符号规定为从正实轴开始，逆逆 时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负。时针方向旋转为正，顺时针方向旋转为负。 图中图中箭头的方向为箭头的方向为从小到大的方向。从小到大的方向。 0Re() Im() =0 u极坐标图含义极坐标图含义 极坐标图不仅表示了幅频特性和相频特性，也表示了实频特性和虚频极坐标图不仅表示了幅频特性和相频特性，也表示了实频特性和虚频 特性。其主要优点是能在一张图上表示出整个频率域中系统的频率特特性。其主要优点是能在一张图上表示出整个频率域中系统的频率特 性，在对系统进行稳定性分析及校正时，极为方便。性，在对系统进行稳定性分析及校正时，极为方便。 若系统有多个环节组成，

7、在绘制系统极坐标图时，对于每一频率，其若系统有多个环节组成，在绘制系统极坐标图时，对于每一频率，其 幅值和相位角分别为各环节幅值的乘积和各环节相位角的代数和。幅值和相位角分别为各环节幅值的乘积和各环节相位角的代数和。 5.2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 u极坐标图的特点极坐标图的特点 5.2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 一般系统都是由典型环节组成的，所以系统的频率特性 也都是由典型环节的频率特性组成的。掌握典型环节的 频率特性是了解系统的频率特性和分析系统的动态性能 的基础。 二、典型环节的极坐标图二、典型环节的极坐标图 5.2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 1.1

8、.比例环节比例环节 0 K Re Im 传递函数： 频率特性: ()G jK 幅频特性: 相频特性: 22 ( )()AG juvK 0( )() arctan v G j u ( )G sK 实频特性: 虚频特性: ( )uK 0( )v 极坐标图为实轴上的一点，其坐标为(K, j0)。 5.2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 2.2.积分环节积分环节 传递函数： 频率特性: 11 ()G jj j 幅频特性: 相频特性: 22 1 ( )()AG juv 90( )() arctan v G j u 1 ( )G s s 实频特性: 虚频特性: 0( )u 1 ( )v 极坐标图为虚

9、轴的下半轴（即负虚轴），由负无穷远点指向原点。 Re Im 0 =0 = 5.2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 3.3.微分环节微分环节 传递函数： 频率特性: ()G jj 幅频特性: 相频特性: 22 ( )()AG juv 90( )() arctan v G j u ( )G ss 实频特性: 虚频特性: 0( )u ( )v 极坐标图为虚轴的上半轴（即正虚轴），由原点指向正无穷远点。 Re Im 0 =0 = 5.2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 4.4.惯性环节惯性环节 传递函数： 频率特性: 2222 11 111 () T G jj jTTT 幅频特性: 相频特

10、性: 22 22 1 1 ( )()AG juv T ( )() arctanarctan v G jT u 1 1 ( )G s Ts 实频特性: 虚频特性: 22 1 1 ( )u T 22 1 ( ) - T v T 极坐标图为正实轴下的一个半圆，圆心为(1/2, j0)，半径为1/2。 Re Im 0=0 1 1 = T -45 0.707 5.2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 5.5.一阶微分环节一阶微分环节 传递函数： 频率特性: 1()G jjT 幅频特性: 相频特性: 2222 1( )()AG juvT ( )() arctanarctan v G jT u 1( )

11、G sTs 实频特性: 虚频特性: 1( )u ( )vT 极坐标图为过(1, j0)点，且平行于虚轴上半部的直线。 1 = Re Im 0 =0 5.2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 6.6.振荡环节振荡环节 传递函数： 频率特性: 2 222 1 212 () () n nnnn G j jj 幅频特性: 相频特性: 22 2 222 1 14 ( )() () AG juv 2 2 1 ( )() arctanarctan v G j u 2 22 2 ( ) n nn G s ss 实频特性: 虚频特性: , n 令令 2 22 2222 222 112 121414 () (

12、)() G jj j （ 2 2 222 1 14 ( ) () u 2 222 2 14 ( ) ) v （ 5.2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 幅频特性: 相频特性: 2 222 1 14 () () G j 2 2 1 ()arctanG j 当从0（即由0）时，G(j)的幅值由10，其相位角由0 180。 振荡环节极坐标图始于点(1, j0)，而终于原点，曲线与虚轴的交点的频 率就是无阻尼固有频率n，此时的幅值为1/2，曲线在第三、四象限。 1 Re Im 0 =0=0 =n =0.4 =0.6 =0.8 5.2 频率特性的极坐标图频率特性的极坐标图 在阻尼比0，( )0，

13、( )0( )T2） 22 G szp TT 2 2 1212 1111 ( )：( )： =，=，- - 5.4 最小相位系统最小相位系统 5.5 闭环频率特性与频域性能指标闭环频率特性与频域性能指标 一、闭环频率特性一、闭环频率特性 ( )C s ( )G s ( )H s ( )R s + ( )( ) ( ) ( )1( ) ( ) B C sG s Gs R sH s G s () () 1() () B G j Gj H jG j 反馈控制系统又称为闭环控制系统。闭环传递函数为： 闭环频率特性 5.5 闭环频率特性与频域性能指标闭环频率特性与频域性能指标 二、频域性能指标二、频域性

14、能指标 与时域中有最大超调量、调整时间 等性能指标一样，在频域中也有相应 的性能指标。如谐振峰值Mr及谐振频 率r，系统的截止频率b与频宽，幅 值裕量与相位裕量等。 u谐振峰值Mr及谐振频率r 在阻尼比0.707时，幅频特性|G(j)| 在频率r处出现峰值，如图所示。此峰 值称为谐振峰值Mr，频率r称为谐振频 率。 2 12 rn 2 1 21 r M 5.5 闭环频率特性与频域性能指标闭环频率特性与频域性能指标 0 20lg( )/dBM r 20lgM 20lg(0)M r 闭环频率特性的幅值用M()表示，当频率接近于零时，这时的幅值 M(0)称为零频幅值。 若M(0)=1，M()的最大值

15、Mr称为谐振峰值，谐振峰值处的频率称为 谐振频率r。 5.5 闭环频率特性与频域性能指标闭环频率特性与频域性能指标 0 20lg( )/dBM r 20lgM 20lg(0)M r b (0) 20lg 2 M u系统的截止频率b与频宽 5.5 闭环频率特性与频域性能指标闭环频率特性与频域性能指标 0 20lg( )/dBM r 20lgM 20lg(0)M 频宽 r b (0) 20lg 2 M u系统的截止频率b与频宽 对于系统响应的快速性而言， 带宽越大，响应的快速性越好， 即过渡过程的上升时间越小，但 同时对高频噪声的过滤特性降低， 系统抗干扰性能减弱。因此，必 须综合考虑选择合适的频

16、带范围。 所谓系统的频宽是指0b的频率范围，也称截止带宽或带宽。 频宽表示超过此频率后，输出就急剧衰减，跟不上输入，形成系统响 应的截止状态。 对于随动系统来说，系统的带宽表征系统允许工作的最高频率范围， 若此带宽大，系统的动态性能好。 5.5 闭环频率特性与频域性能指标闭环频率特性与频域性能指标 例：求如下一阶系统的截止频率。 0 111 112 b j Tj T 1 () 1 G j j T 一阶系统的截止频率b等于系统的转角频率T，即等于时间常数的倒 数。 1 bT T 22 11 2 1 bT (0) () 2 b M M 5.6 由对数幅频特性曲线求系统传递函数由对数幅频特性曲线求系

17、统传递函数 实际中可由实验确定系统的对数 坐标图。给系统加不同频率的正弦 信号，测量出系统的对数幅频特性 和相频特性曲线。用标准斜率的直 线近似被测对数幅频特性曲线，得 曲线的渐近线。 -20 0 20 40 0 -180 -90 -270 dB L( ) ) ( 2 -20dB/dec 10 -40dB/dec -60dB/dec 显然，可以由系统对数幅频特性 曲线得到系统的传递函数。 系统开环传递函数频率特性一般表达式： 由对数幅频特性曲线确定传递函数主要是确定增益 K ，转折频率及相 应的时间常数等参数，它们可从图上直接确定。 1 1 (1) () ()(1) m i i n k k K

18、jT G j jjT 5.6 由对数幅频特性曲线求系统传递函数由对数幅频特性曲线求系统传递函数 u0型系统型系统(=0) 在低频段，很小，即0 0 ()G jK ( )20lg()20lgLG jK ()G jK 12 (1)(1)(1) () (1)(1)(1) abm p KjTjTjT G j jTjTjT 0型系统对数幅频曲线在低频段 的幅值为： 低频渐近线为20lgKdB的水平线。 20lg K ( )/dBL 20dB/dec 40dB/dec 20dB/dec 1 a T 1 1 T 2 1 T 5.6 由对数幅频特性曲线求系统传递函数由对数幅频特性曲线求系统传递函数 u型系统型

19、系统(=1) 在低频段，很小，即0 () K G j j () K G j 12 (1)(1)(1) () (1)(1)(1) abm p KjTjTjT G j jjTjTjT 说明型系统对数幅频曲线在低频 起始段(或其延长线)在=1处的高度 为20lgK。 ( )/dBL 型系统对数幅频曲线在低频段是 一条斜率为-20dB/dec的线段。 当 =1时，其对数幅值为： 1 ( )20lg()20lg20lg K LG jK 0 1 20dB/dec 40dB/dec 1 1 T 20lg K ( )/dBL 0 1 20dB/dec 40dB/dec 1 1 T 20lg K 5.6 由对数

20、幅频特性曲线求系统传递函数由对数幅频特性曲线求系统传递函数 u型系统型系统(=1) 说明型系统增益K在数值上同低 频起始段或其延长线与零分贝线交 点频率相等。 若低频起始段或其延长线与零 分贝线的交点频率为0，则 0 0 0 ()20lg()20lg0 K LG j 0 K ( )/dBL 0 1 20dB/dec 40dB/dec 1 1 T 0 20lg K ( )/dBL 0 1 20dB/dec 40dB/dec 1 1 T 0 20lg K 5.6 由对数幅频特性曲线求系统传递函数由对数幅频特性曲线求系统传递函数 u型系统型系统(=2) 在低频段，很小，即0 2 () () K G j j 2 () K G j 2 12 (1)(1)(1) () () (1)(1)(1) abm p KjTjTjT G j jjTjTjT 说明型系统对数幅频曲线在低频 起始段(或其延长线)在=1处的高度 为2