07-第7章 相关分析

1、第七章第七章 相关分析 第一节第一节 相关分析的意义和任务相关分析的意义和任务 一、相关关系的概念一、相关关系的概念( (注意相关关系与函数关系的区别注意相关关系与函数关系的区别) ) ( (一一) ) 函数关系函数关系 它它反映着现象之间存在着严格的依存关系，反映着现象之间存在着严格的依存关系， 也就是具有确定性的对应关系，这种关系可用一也就是具有确定性的对应关系，这种关系可用一 个数学表达式反映出来。个数学表达式反映出来。 例例如某种商品的销售额和销售量之间，由于如某种商品的销售额和销售量之间，由于 价格因素，所以两者可表现为严格的依存关系。价格因素，所以两者可表现为严格的依存关系。 (

2、(二二) ) 相关关系相关关系 它它反映着现象之间的数量上不严格的依存关系，反映着现象之间的数量上不严格的依存关系， 也就是说两者之间不具有确定性的对应关系，这种关也就是说两者之间不具有确定性的对应关系，这种关 系有二个明显特点：系有二个明显特点： 1.1.现现象之间确实存在数量上的依存关系，即某一社象之间确实存在数量上的依存关系，即某一社 会经济现象变化要引起另一社会经济现象的变化；会经济现象变化要引起另一社会经济现象的变化； 2.2.现现象之间的这种依存关系是不严格的，即无法用象之间的这种依存关系是不严格的，即无法用 数学公式表示。数学公式表示。 商品价格和商品销售量之间，存在着一商品价格

3、和商品销售量之间，存在着一 定的依存关系，即商品价格发生变动，商品定的依存关系，即商品价格发生变动，商品 的销售量也会随之发生变动。的销售量也会随之发生变动。 在在具有相互依存关系的两个变量中，作为具有相互依存关系的两个变量中，作为 根据的变量称自变量，一般用根据的变量称自变量，一般用X X表示；发生对表示；发生对 应变化的变量称因变量，一般用应变化的变量称因变量，一般用y y表示。表示。 例例 二、相关关系的种类二、相关关系的种类 1.1.按按相关关系涉及的因素多少来分，可分为：相关关系涉及的因素多少来分，可分为： 单相关和复相关单相关和复相关。 在实际工作中，如存在多个自变量，可抓住其在实

4、际工作中，如存在多个自变量，可抓住其 中主要的自变量，研究其相关关系，而保持另一些中主要的自变量，研究其相关关系，而保持另一些 因素不变，这时复相关可转化为因素不变，这时复相关可转化为偏相关偏相关。 二因素之间的相关关系称二因素之间的相关关系称单相关单相关，即只涉及，即只涉及 一个自变量和一个因变量一个自变量和一个因变量。 三个或三个以上因素的相关关系称三个或三个以上因素的相关关系称复相关复相关，或，或 多元相关，即涉及二个或二个以上的自变量和因变多元相关，即涉及二个或二个以上的自变量和因变 量量。 2.2.按按相关关系的性质来分，可分为相关关系的性质来分，可分为: : 正相关和负相关正相关和

5、负相关 正相关正相关是指两相关现象变化的方向是一致的。是指两相关现象变化的方向是一致的。 负相关负相关是指两相关现象变化的方向是相反的。是指两相关现象变化的方向是相反的。 3. 3. 按按相关关系的形式来分，可分为：相关关系的形式来分，可分为： 直线相关和曲线相关直线相关和曲线相关 直线相关直线相关是指两个相关现象之间，当自变量是指两个相关现象之间，当自变量X X 的数值发生变动时，因变量的数值发生变动时，因变量y y随之发生近似于固定比随之发生近似于固定比 例的变动，在相关图上的散点近似地表现为直线形式，例的变动，在相关图上的散点近似地表现为直线形式， 因此称其为直线相关关系。因此称其为直线

6、相关关系。 曲线相关曲线相关是指两个相关现象之间，当自变量是指两个相关现象之间，当自变量X X 的数值发生变动时，因变量的数值发生变动时，因变量y y也随之发生变动，但这也随之发生变动，但这 种变动在数值上不成固定比例，在相关图上的散点可种变动在数值上不成固定比例，在相关图上的散点可 表现为抛物线、指数曲线、双曲线等形式，因此称其表现为抛物线、指数曲线、双曲线等形式，因此称其 为曲线相关关系。为曲线相关关系。 4.4. 按按相关程度分，可分为：相关程度分，可分为： 完全相关、不完全相关和不相关完全相关、不完全相关和不相关 完全相关完全相关就是相关现象之间的关系是完全确定就是相关现象之间的关系是

7、完全确定 的关系，因而完全相关关系就是函数关系。的关系，因而完全相关关系就是函数关系。 不相关不相关是指两现象之间在数量上的变化上各自是指两现象之间在数量上的变化上各自 独立，互不影响。独立，互不影响。 不完全相关不完全相关就是介于完全相关和不相关之间的就是介于完全相关和不相关之间的 一种相关关系。相关分析的对象主要是不完全相关一种相关关系。相关分析的对象主要是不完全相关 关系。关系。 三、相关分析的任务和内容三、相关分析的任务和内容 相关分析的主要任务，概括起来是两个方面：相关分析的主要任务，概括起来是两个方面： 一方面一方面，研究现象之间关系的密切程度，即相，研究现象之间关系的密切程度，即

8、相 关分析；关分析； 另一方面另一方面，研究自变量与因变量之间的变动关，研究自变量与因变量之间的变动关 系，即回归分析。系，即回归分析。 相关分析的主要内容包括以下五个方面：相关分析的主要内容包括以下五个方面： 1. 1. 判判断社会经济现象之间是否存在相互依存断社会经济现象之间是否存在相互依存 的关系，是直线相关，还是曲线相关，这的关系，是直线相关，还是曲线相关，这 是相关分析的出发点；是相关分析的出发点； 2. 2. 确确定相关关系的密切程度；定相关关系的密切程度； 3. 3. 测测定两个变量之间的一般关系值；定两个变量之间的一般关系值； 4. 4. 测测定因变量估计值和实际值之间的差异，

9、定因变量估计值和实际值之间的差异， 用以反映因变量估计值的可靠程度；用以反映因变量估计值的可靠程度； 5. 5. 相相关系数的显著性检验。关系数的显著性检验。 第二节第二节 简单线性相关分析简单线性相关分析 一、相关表和相关图一、相关表和相关图 相关图，也称散布图相关图，也称散布图( (或散点图或散点图) )。 简简单单相相关关表表 根根据据总总体体单单位位的的原原始始资资料料汇汇编编的的相相关关表表 分分组组相相关关表表 将将原原始始资资料料进进行行分分组组而而编编制制的的相相关关表表 单单变变量量分分组组表表 按按自自变变量量分分组组 双双变变量量分分组组表表 按按自自变变量量和和因因变变

10、量量均均分分组组 某市1998年 2005年的工资性现金支出与城镇储蓄存 款余额的资料，说明简单相关表和相关图的编制方法。 序号年份 工资性 现金支出(万 元)x 城镇储蓄存款 余额(万元)y 11998 500120 21999 540140 32000 620150 42001 730200 52002 900280 62003 970350 72004 1050450 82005 1170510 例例1 1 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 400500600700800900100011001200 工资性现金支出( 万元) 城镇储蓄

11、存款余额 (万元) 企业按销售额分组 (万元) 流通费用率 (%) 4以下9.65 4 87.68 8 127.25 12 167.00 16 206.86 20 246.73 24 286.64 28 326.60 32 366.58 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10 04812162024283236 销售额(万元) 流通费用率(%) 例例2 2 二、相关系数二、相关系数 相相关系数是在直线相关条件下，表明两关系数是在直线相关条件下，表明两 个现象之间相关关系的方向和密切程度的综个现象之间相关关系的方向和密切程度的综 合性指标。一般用符号合性指标。一般用符号r r表示。

12、表示。 r r的测定方法：的测定方法： 2 2 22 22 1 ()() 11 () () ()() ()() 1. xy xy xy xy rxxyy n xxyy nn xxyy r xxyy 积积差差法法： 仍以上例1资料计算： 序 号 年 份 x (万元) y (万元) 11998 500120-310-155 96100 2402548050 21999 540140-270-135 72900 1822536450 32000 620150-190-125 36100 1562523750 42001 730200 -80 -75 6400 5625 6000 52002 9002

13、80 90 5 8100 25 450 62003 970350 160 75 25600 562512000 720041050450 240175 57600 3062542000 820051170510 360235129600 5522584600 合计6480 2200-432400155000 253300 yyxx 2 yy 2 xxyy xx 经过计算，表明该市工资性现金支出与城镇储蓄存款余额之间存 在着高度正相关。 98. 0 155000432400 253300 )()( )( )(275 8 2200 ),(810 8 6480 22 yyxx yyxx r n y

14、y n x x万元万元 r r r r r r r r 0.30.3时时，没没有有关关系系； 0.30.3 0.50.5时时，称称低低度度相相关关； 0.50.5 0.80b0，x x与与y y为正相关为正相关 b0b0，x x与与y y为负相关为负相关 a a、b b的确定：的确定： 在在简单直线回归方程中，简单直线回归方程中，a a、b b为待定系数，常用为待定系数，常用 最小平方法来确定，即最小平方法来确定，即(y-y(y-yc c) )2= =最小值。最小值。 2 ynabx xyaxbx 即即 22 () nxyxy b nxx yx ab nn 简单直线回归方程建立的步骤为：简单直

15、线回归方程建立的步骤为： 确确定自变量定自变量x x和因变量和因变量y y； 计计算算x x2、xyxy、xx、yy、xx2、xyxy； 代代入公式，先求入公式，先求b b，再求，再求a a。 仍用上例1资料得到： yc = -199.5 + 0.5858x 表明该市工资性现金支出每增加1万元，储 蓄存款余额就增加0.5858万元。 举例说明b(回归系数)在经济管理中的作用： 某企业的某种产品月产量与单位成本的关系呈 直线关系，用直线回归方程表示是： yc=77.36-1.818x，其中， x表示月产量(千件) y表示单位成本(元); a=77.36(元)，表示生产这种产品在单位 成本方面的条

16、件； b=-1.818，表示月产品每增加1000件， 单位成本平均降低1.818元。 从单变量分组表配合回归直线：从单变量分组表配合回归直线： 2 2 2 c yabx yfafbxf xyfaxfbx f fxyfxfyf b fx fxf yfxf aybxb ff 方方法法基基本本上上与与上上述述相相同同，只只是是在在计计算算过过程程中中 要要采采用用加加权权方方法法： 简单直线回归分析的主要特点：简单直线回归分析的主要特点： 1.1.直直线回归分析时，要根据研究目的，在两线回归分析时，要根据研究目的，在两 个变量之间确定哪个是自变量，哪个是因变量。个变量之间确定哪个是自变量，哪个是因变

17、量。 2.2.在在两个现象互为根据的情况下，可以有两两个现象互为根据的情况下，可以有两 个回归方程：个回归方程： y yc c=a+bx=a+bx 称称y y倚倚x x回归直线回归直线 x xc c=c+dy=c+dy 称称x x倚倚y y回归直线回归直线 ( (二二) ) 多元线性回归分析多元线性回归分析 多多元线性回归分析可以看作是一元线元线性回归分析可以看作是一元线 性回归分析的扩展。现以二元线性回归模性回归分析的扩展。现以二元线性回归模 型进行回归分析，其方程式为：型进行回归分析，其方程式为： 2211 xbxbayc 为参数、为因变量估计值， 21 bbayc 2211 xbxbna

18、y 212 2 1111 xxbxbxayx 2 2221122 xbxxbxayx 以我国19731983年11年手表价格和手表销售量 的实际资料为例，拟合一元线性回归方程为： yc= 9643 - 65x 此时，回归系数b表明，手表平均价格每降低1元/只， 销售量约平均增长65万只。一元线性回归模型只列入 了手表平均价格对销售量的影响，而忽略了居民收入 这一很重要的因素，因此，现对此资料补入同期居民 人均货币收入资料，将原来的一元线性回归模型扩展 为二元线性回归模型进行回归分析。 例例 列成计算表如下： 年份 (n=11) 手表销售量 y(万只) 人均货 币收入 x1(元) 手表平 均价格

19、 x2(元/只) x1yx2yx1x2 1973 650.4102.113466405.8487153.613681.4 1974 758.4105.313479859.52101625.614110.2 1975 819.9110.112990270.99105767.114202.9 1976 1051.7113.9131119788.63137772.714920.9 1977 1149.7120.4127148423.88146011.915290.8 1978 1388.1131.0125181841.10173512.516375.0 1979 1944.4157.01233052

20、70.80239161.219311.0 1980 2534.0193.5123490329.00311682.023800.5 1981 2890.0210.2114607478.00329460.023962.8 1982 3576.0228.7 89817831.20318264.020354.3 1983 3898.0258.7 861008412.6 0 335228.022248.2 合计20660.61730.95 6 2285638. 6 198258. 0 年份 (n=11) 197310 424.4117 956 197411 088.0917 9

21、56 197512 122.0116 641 197612 973.2117 161 197714 496.1616 129 197817 161.0015 625 197924 649.0015 129 198037 442.2515 129 198144 184.0412 996 198252 303.697 921 198366 925.697 396 合计303 769.55160 039 2 1 x 2 2 x 续表续表 21 2 1 21 21 21 0328.86368.180641.94 0328.8 6368.18 0641.94 16003919825813156 .228

22、5638 19825855.3037699 .173056.3905911 13159 .1730116 .20660 xxy b b a bba bba bba c b1表明在手表平均价格固定时，人均货币收入每增加 元，手表销售量平均增长18.6368万只； b2表明在人均货币收入固定时，手表平均价格每上升 元/只，手表销售量平均减少8.0328万只。 这里的b2比原一元线性回归模型中的同一回归系数 b=-65要大得多，是因为一元线性回归模型只列入了手表 平均价格对销售量的影响而忽略了居民收入这一很重要 的因素，在手表平均价格的影响中渗入了居民收入的影 响。 21 0328.86368.18

23、0641.94xxy c 上面的方法推广到多个自变量，其回归方程为：上面的方法推广到多个自变量，其回归方程为： 2 112233 1122 2 11112121 2 2211222 2 1122 11 cnn nn nn nn nnnnnn yab xb xb xb x nn ynabxbxbx x yaxbxbx xbx x x yaxbx xbxbx x x yaxbx xbx xbx L L L L L L L L M M L L 因因有有个个参参数数，应应确确定定个个方方程程式式： 二、曲线回归二、曲线回归 拟合方法拟合方法：统计上通常采用变量代换法把：统计上通常采用变量代换法把 非线

24、性形式转换为线性形式处理，使线性非线性形式转换为线性形式处理，使线性 回归分析的方法也能适用于非线性回归问回归分析的方法也能适用于非线性回归问 题的研究。题的研究。 某商店各个时期的商品流通费率和商品零售额资料如下： x商品零售额(万元)9.511.513.515.517.519.521.523.525.527.5 y商品流通费率(%)6.0 4.6 4.0 3.2 2.8 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 0 2 4 6 8 810121416182022242628 x(万元) y(%) 散点图显示出x与y的变动关系为一条递减的双曲线。 经济理论和实际经验都可说明，流通费率决定于商品

25、 零售额，体现着经营的规模效益。 例例 双曲线方程为：双曲线方程为： 11 cc yabxyabx xx 令令， 则则 ： 然然 后后 用用 最最 小小 平平 方方 法法 解解 出出 参参 数数 如如 下下 计计 算算 表表 ： 9.56.00.1050.011030.63 11.54.60.0870.007560.40 13.54.00.0740.005490.30 15.53.20.0650.004160.21 17.52.80.0570.003270.16 19.52.50.0510.002630.13 21.52.40.0470.002160.11 23.52.30.0430.0018

26、10.10 25.52.20.0390.001540.09 27.52.10.0360.001320.08 合计合计 32.10.6040.040972.21 x x 1 2 x yx (%)y)(万元x %72. 1 28 1 4 .604377. 028 1 4 .604377. 0 1 4 .604377. 0 4 .60 -0.4377a 04097. 0604. 021. 2 604. 0101 .32 2 c c c yx x y x x xy bba ba xbxayx xbnay 万时，当 代入： 非线性回归按自变量的个数可分为一元非 线性回归和多元非线性回归。 多元非线性回归的线性化方法原则相同。 例例 柯布道格拉斯生产函数： KALyc 为待定参数、其中： A 资金投