高中数学 单位圆在高一数学中的应用素材 新人教B版必修4

1、单位圆在高一数学中的应用摘要：象限的符单位圆在学习高一数学、尤其在三角函数中应用广泛，利用单位圆可以：定义任意角的三角函数；理解记忆三角函数值在各个号；巧记特殊角的三角函数值；帮助理解同角三角函数的基本关系；推导三角函数的诱导公式；而且利用单位圆可以解决有关三角函数问题，包括：求三角函数值；解三角函数不等式；求函数定义域；比较三角函数值的大小等等。关键词：单位圆、三角函数、应用 所谓单位圆，就是在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆。单位圆在高一数学中的应用主要体现在必修三角函数中的应用，而三角函数在整个高中数学学习乃至高考中所占比重都很大，所以有必要充分利用单位圆来更好地学习掌

2、握这部分知识。 一、单位圆在教材教学中的应用1、利用单位圆定义任意角的三角函数：如图1，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则的正弦为： sin=y，的余弦为： cos=x，的正切为： tan= (x0)用单位圆上点的坐标来定义三角函数，可以使正弦函数、余弦函数从自变量（角的弧度数）到函数值（单位圆上点的横、纵坐标）之间的对应关系更清楚、简单，突出了三角函数的本质，也使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论其他问题奠定基础。 2、利用单位圆理解记忆三角函数值在各象限的符号：根据单位圆中三角函数的定义可知，正弦的符号决定于纵坐标y的符号，余弦的符号决定于横坐标x的符号，正切是由

3、纵坐标y、横坐标x的符号决定：同号为正，异号为负。因此，各三角函数值在每个象限的符号如下图2： 3、利用单位圆巧记特殊角的三角函数值：由三角函数定义：sin=y，cos=x，tan=(x0)，结合单位圆（如图3），便容易理解记忆以下特殊角的三角函数值： 090180270360sin010-10cos10-101tan0不存在0不存在0 4、利用单位圆易于理解同角三角函数的基本关系：在单位圆中构造出以任意角的正弦线、余弦线为直角边的直角三角形，如图4，由RtOMP中，MP2+OM2=1，得出同角三角函数的基本关系之一：sin2+cos2=1；由RtOMPRtOAT，得出同角三角函数的基本关系之

4、二：（k+，kZ）。 5、利用单位圆推导三角函数的诱导公式：单位圆具有很好的对称性，通过对单位圆上对称点的坐标的关系来探究推出诱导公式。如图5，角+的终边与角的终边关于原点对称，由角的终边与单位圆的交点P1(x,y)，知角+的终边与单位圆的交点为P2(x,y)，推出诱导公式（二）：sin(+)=sin cos(+)=cos tan(+)= tan如图6，角的终边与角的终边关于x轴对称，由角的终边与单位圆的交点P1(x,y)，知角的终边与单位圆的交点为P2(x,y)，推出诱导公式（三）：sin()=sin cos()= cos tan()=tan如图7，角的终边与角的终边关于y轴对称，由角的终边

5、与单位圆的交点P1(x,y)，知角的终边与单位圆的交点为P2(x, y)，推出诱导公式（四）：sin()= sin cos()=cos tan()=tan如图8，角的终边与角的终边关于直线y=x对称，角+的终边与角的终边关于y轴对称，由角的终边与单位圆的交点P1(x,y)，知角的终边与单位圆的交点为P2(y,x)，角+的终边与单位圆的交点为P3(y,x)，推出诱导公式（五）：sin()= cos cos()= sin诱导公式（六）：sin(+)= cos cos(+)=sin 6、利用单位圆中的三角函数线解决有关三角函数问题：如图9，角的终边与单位圆交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M；过点

6、A(1,0)作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线相交于点T，则MP为正弦线，OM为余弦线，AT为正切线。所以三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）都是与单位圆有关的平行于坐标轴的有向线段，主要应用如下：利用单位圆中的三角函数线理解函数值符号的变化规律。正弦线MP与y轴同向时，有正值y，所以为第一、二象限时sin为正；余弦线OM与x轴同向时，有正值x，所以为第一、四象限时cos为正；当角的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角的正弦值和正切值都为0；当角的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的余弦值为0，正切值则不存在。利用单位圆中的三角函数线理解记忆诱导公

7、式（一）。由单位圆容易看出函数值的“周而复始”的变化规律，即：角的终边绕原点每转动一周，其三角函数线都保持不变；也就容易理解掌握“终边相同的角的同一三角函数的值相等”这组诱导公式（一）：sin(+k2)=sin, cos(+k2)=cos，tan(+k2)=tan，其中kZ利用单位圆中的三角函数线作出三角函数图象，更好地研究三角函数的性质。如下图10，将单位圆中的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）通过平移转化为三角函数图象上的点，就可以比较精确地作出三角函数的图象；利用单位圆中的三角函数线，可以直观地从整体上把握三角函数的有关性质，包括定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值和最小值。利

8、用单位圆中的三角函数线推导差角的余弦公式。如图11，设角、为锐角，且0 。解：要使3tan+0，即要tan 如图14，由正切线可知 kcosx成立的x的取值范围为（ ） A、(，)(，) B、(，) C、(，) D、(，)(，)解：如图16，作出单位圆，利用正弦线、余弦线易知，阴影部分中sinxcosx，所以x. 故选C。例2、求证：当（0，）时，有sintan 。证明：如图17，作单位圆O，角（0，）的终边交单位圆于点P，作PMx轴于点M， 过A(1,0)作ATx轴交OP于T，则MP是正弦线，AT是正切线 sin=MP，tan=AT SAOPS扇形OAPSOAT 又SAOP=OAMP=MP=sinS扇形OAP=OA2=SOAT=OAAT=AT= tan sin tan sintan5、利用单位圆中的三角函数线解决其他问题。例：在单位圆中画出适合下列条件的角的终边： sin= ； cos= ； tan=2解： 要作出满足sin=的角的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为的点P，则OP即为的终边。 如图18，作直线y=，交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为所求角的终边。 要作出满足cos=的角的终边，只要在单位圆上找出横坐标为的点M，则OM即为的终边。 如图