(完整word版)2018年文科数学全国三卷真题及答案).doc

1、2018 年数学试题文（全国卷3）一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）1已知集合Ax | x1 0 ， B0 ，1 ，2 ，则 AB（）A 0B 1C 1，2D 0，1，22 1i2i（）A3iB3iC 3iD 3i3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）4若 sin1 ，则 cos2（）3A 8B 7C7D899995若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45 ，既

2、用现金支付也用非现金支付的概率为0.15 ，则不用现金支付的概率为（）A 0.3B 0.4C 0.6D 0.76函数 fxtan x的最小正周期为（）tan21xABCD 2427下列函数中，其图像与函数y ln x 的图像关于直线x 1 对称的是（）A y ln 1 xB y ln 2 xC y ln 1 xD y ln 2 x8直线 xy 20 分别与 x 轴， y 轴交于A， B两点，点 P在圆2y22 上，则ABP 面积的x 2取值范围是（）1A 2，6B 4，8C 2，3 2D22，329函数 yx4x22 的图像大致为（）10已知双曲线C：x2y20，b 0 ）的离心率为2 ，则点

3、4，0到 C 的渐近线的2b2 1 （ aa距离为（）A 2B 2C3 2D2 2211 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 若ABC 的面积为 a2b2c2，则 C4（）A2BCD34612设 A ， B ， C ， D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 DABC 体积的最大值为（）A12 3B18 3C24 3D54 3二、填空题（本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）13已知向量 a = 1,2， b= 2, 2 ， c= 1, 若 c 2a + b，则_214某公司有大量客户，且不同年龄段客户

4、对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_ 2 xy3 0，115若变量 x ，y 满足约束条件x2y4 0，则 z xy 的最大值是 _x2 0.316已知函数f x ln 1 x2x1， f a4 ，则 fa _三、解答题（共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第1731 题为必考题，每个试考生都必须作答，第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60 分。17（ 12 分）等比数列an中， a11 ，a54a3 求an的通项公式；记 Sn 为 an的前 n

5、 项和若 Sm63 ，求 m 18（ 12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人， 将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：399%的把握认为两种生产方式的效率有差异？根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：超过 m不超过 m第一种生产方式第二种生产方式根据中的

6、列表，能否有附： K2n adbc2P K 2 k0.050 0.010 0.001 a b c dac b d，k3.841 6.635 10.82819（ 12 分）如图，矩形ABCD 所在平面与半圆弧所在平面垂直，M 是上异于 C ， D 的点证明：平面AMD 平面 BMC ；在线段 AM 上是否存在点P ，使得 MC 平面 PBD ？说明理由420（ 12 分）已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C：x2y21 交于 A ， B 两点线段 AB 的中点为 M1，m m 0 43证明： k1 ；2设 F 为C的右焦点， P为C上一点 ,且 FP FA FB 0证明: 2 FP FA FB

7、21（ 12 分）已知函数 fxax2xx1 e求由线 yfx 在点0 ， 1 处的切线方程；证明：当a 1 时， fx e 0 （二）选考题：共10 分，请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10 分）5xcos为参数），在平面直角坐标系 xOy 中，O 的参数方程为（ysin过点0 ，2 且倾斜角为的直线 l 与 O 交于 A ，B 两点求的取值范围；求AB 中点 P 的轨迹的参数方程23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10 分）设函数fx2x1x1 画出 yfx 的图像；当 x 0 ，fx axb ，求 ab 的

8、最小值6参考答案一、选择题1答案： C解答： A x | x10 x | x1 ， B0,1,2 ， AB1,2 . 故选 C.2答案： D解答： (1 i )(2i )2ii 23i ，选 D.3答案： A解答：根据题意，A 选项符号题意；4答案： B解答： cos2 1 2sin 21 27995答案： B.故选 B.解答：由题意 P1 0.450.150.4 . 故选 B.6答案： C解答：tan xsin xsin xcos x1cos xsin x cos x，f ( x)sin 2xsin2 xcos2sin 2x1 tan2 xx21cos2 x f ( x) 的周期 T2.故选

9、 C.27答案： B解答： f (x) 关于 x1对称，则f ( x)f (2x)ln(2x) . 故选 B.8答案： A解答：7由直线 xy20得 A(2,0), B(0, 2) ， | AB |22222 2，圆( x2) 2y22 的圆心为 (2,0)，圆心到直线xy20 的距离为2222 ，11点 P 到直线 xy 20 的距离的取值范围为222d2 22 ，即2d32， SABP12,6 .| AB | d29答案： D解答：当 x0 时， y2，可以排除 A、 B 选项；又因为 y4x32x4x( x2 )( x2 ) ，则 f( x)0 的解集为22(,2)U(0,2 ) ， f

10、 ( x) 单调递增区间为 (,2) ，(0,2 ) ； f( x)0的解2222集为 (2 ,0)U(2 ,) ， f ( x) 单调递减区间为 (2 ,0) ，(2 ,) . 结合图象，2222可知 D选项正确 .10答案： D解答：由题意 ec2b1，故渐近线方程为xy0 ，则点 (4,0) 到渐近线的距离a，则a为 d| 40 |22.故选 D.211答案： C解答：2221S ABCab c2ab cosC1 ab cosC ，又 S ABCabsin C ，故 tan C 1，4422 C.故选 C.412答案： B解答：8如图，ABC 为等边三角形，点O为A，B，C，D 外接球的

11、球心，G为 ABC的重心，由S ABC9 3，得 AB6，取 BC 的中点 H ， AHAB sin 603 3， AG2AH 2 3，3球心 O 到面 ABC 的距离为 d42(2 3)22 ，三棱锥 DABC 体积最大值VD ABC14) 183 .93(23二、填空题13答案：解答：122a b (4, 2) ， c / /(2ab) ， 1 24 0，解得1.214答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.15答案： 3解答：由图可知在直线x2 y40 和 x2 的交点 (2,3) 处取得最大值，故z2133 .316答案：29解答：fxln1

12、x2x1(xR)f ( x)f (x)ln(1x2x) 1ln( 1 x2x) 1 ln(1 x2x2 ) 2 2 ， f ( a)f ( a) 2 ， f ( a)2 .三、解答题17答案：（ 1） an2n1 或 an(2) n1；（2）6.解答：（ 1）设数列 an 的公比为 q ， q2a54 ， q2 .a3 an2n 1 或 an ( 2) n 1 .（ 2）由（ 1）知， Sn12n2n1或 Sn1 (2) n11( 2)n ，12123 Sm2m1 63或Sm1(2)m63（舍），13 m6 .18解答：（ 1）第一种生产方式的平均数为x1 84 ，第二种生产方式平均数为 x2

13、 74.7 ，x1x2 ，所以第一种生产方式完成任务的平均时间大于第二种，第二种生产方式的效率更高 .（ 2）由茎叶图数据得到m80 ，列联表为K 2n(ad bc)240(15 1555)210 6.635（ 3）(ab)(c d)( a c)(b d )20 202020，有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19解答：（ 1）正方形ABCD半圆面 CMD ，10 AD半圆面 CMD ， AD平面 MCD . CM 在平面 MCD 内， ADCM ，又 M 是半圆弧 CD 上异于 C, D 的点， CMMD . 又 AD I DMD ， CM平面 ADM ， CM 在平面 BCM 内

14、，平面 BCM 平面 ADM .（ 2）线段 AM 上存在点 P 且 P 为 AM 中点，证明如下：连接 BD, AC 交于点 O ，连接 PD , PB, PO ；在矩形 ABCD 中， O 是 AC 中点， P 是AM 的中点； OP / /MC ， OP 在平面 PDB 内， MC 不在平面 PDB 内， MC / / 平面 PDB .20解答：（ 1）设直线 l方程为 ykxt ，设 A( x1 , y1) , B(x2 , y2 ) ,y kxt222x2y2联立消 y 得 (4 k3) x8ktx4t120 ，143则64k 2t24(4 t212)(34k2 )0 ，得 4k 2

15、3t 2 ，且 xx8kt2， yy2k( x x ) 2t6t2m，1234k211234k 2 m0，t 0 且 k 0 .且 t 3 4k2 .4k由得 4k 23(3 4k2 )2，16k 2 k11或 k.2211 k 0 ， k1.2uuruuruurruuruuurr（2） FPFAFB0， FP2FM0 , M (1,m) ， F (1,0) ， P 的坐标为 (1, 2m) .由于 P在椭圆上，14m21， m3343， M(1,) ，42又 x12y121， x22y221 ，4343两式相减可得y1y23x1x2，x1x24y1y2又 x1x2 2 ， y1y23， k1

16、 ，23直线 l 方程为 y( x1) ，47即 yx，4yx74 ，y2x2143消去 y 得 28x256 x10 ， x1,214321，14uuruur( x1 1)2y121)2y2 2|FA| |FB |( x23，uur(11)2(30)2 3,|FP |22|FA| |FB | 2|FP |.21解答：（ 1）由题意： fxax2x1 得ex(2 ax1)ex( ax2x1)exax22axx2f (x)(ex ) 2ex，12 f(0)22，即曲线 yfx在点 0,1 处的切线斜率为2 ，1 y ( 1) 2( x 0) ，即 2 x y1 0 ；（ 2）证明：由题意：原不等

17、式等价于：ex 1ax2x1 0 恒成立；令g (x) ex 1ax2x 1 ， g ( x)ex12ax1 ， g(x)ex 12a ， a1， g( x)0 恒成立， g ( x)在 (,) 上单调递增， g ( x)在 (,) 上存在唯一x0 使 g (x0 )0 ， ex012ax01 0 ，即 ex012ax01，且 g( x) 在 (, x0 ) 上单调递减，在( x0 ,) 上单调递增， g( x)g ( x0 ) .又 g ( x0 ) ex0 1ax0 2x01 ax0 2(1 2a) x02 (ax01)(x02) ，1 )11111g (ea1， a1， 0ea 1e 1

18、， x0， g( x0 )0，得证 .aa综上所述：当 a1 时， fxe0 .22解答：（ 1） e O 的参数方程为xcos， e O 的普通方程为 x2y 21，当90 时，ysin直线： l : x0与 e O 有两个交点，当90时，设直线 l 的方程为 yx tan2 ，由直线 l 与e O有两个交点有 | 002 |1，得tan21，tan1或tan1，1tan24590 或90135 ，综上(45 ,135 ) .（ 2）点 P 坐标为 ( x, y) ，当90 时，点 P 坐标为(0,0) ，当90时，设直线 l 的方程为 ykx2 ， A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，x2y212(kx2)21 ，整理ykx2有 x13x2k2222k221k 2得 (1k) x2