轴向拉伸与压缩习题及解答

1、轴向拉伸与压缩习题及解答计算题1:利用截面法，求图2.1所示简支梁m-m面的内力分長。解：（0将外力F分解为两个分長，垂直于梁轴线的分長FsinO,沿梁轴线的分長FcosO（2）求支座A的约束反力：=0 工/COS&精品FAy =Lsin 0切开m 抛去右半部分，右半部分对左半部分的作用力“，代台力偶M代替（图 1.12 ）o图 2.1以左半段为研究对象，由平衡条件可以得到0 2.1(a)FN=-Ftx=-Fcos 0 （员号表示与假设方向相反）M= fa t=v sin6讨论 对平面问题，杆件截面上的內力分長只有三个:和截面外法线重台的内力称为轴力, 矢長与外法线垂直的力偶距称为弯矩。这些内

2、力分長根据截面法很容易求得。在材料力学课 程中主要讨论平面问题。计算题2:试求题2-2图所示的各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。2 1Fa 2F1W212仁12FV2aa4h1图2-2解 （Q如图（Q所示，解除约束，代之以约束反力，作受力图，如题22图（）所示。利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在题2-2图（勺）中。作 杆左端面的外法线n,将受力图中各力标以正负号，凡与外法线指向一致的力标以正号，反 之标以负号，轴力图是平行于杆轴线的直线。轴力图在有轴力作用处，要发生突变，突变長 等与该处轴力的数值，对于正的外力，轴力图向上突变，对于负的外力，轴力图向下突变， 如

3、题2-2图（）所示，截面1和截面2上的轴力分别为FV1 = F和厲2=尸。Ofe 2F(b)解题步骤与题22 (a)相同，杆受力图和轴力图如题22 (勺)、(b2)所示。截面1和截面2上的轴力分别为Fn、=2F , FjV2=0oe F2Fe 2FF2FF(bj(C)解题步骤与题22 (a)相同，杆的受力图和轴力图如题22图(q )和(c?)所示。截面 1上的轴力为休严2F,截面2上的轴力为v2=F。(d)解题步骤与题2-2 (a)相同，杆的受力图和轴力图如题2-2图(心)和(2)所示。 截面1上的轴力为i=F，截面2上的轴力为FV2=2F03F2FF2F(G3F2F2Fe f2F aaa计算

4、题3:试求题2-3图(a)所示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和3-3上的轴力并作轴力图。若横截面 积A】 =20() A2 =300 nun2、=400 mm2,求各截面上的应力。解：如题2-3图(Q所示。首先铮除杆的约束，并代之以约束反力，作受力图，如题2-3 (b)所示。利用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和方向，并标示在受力图中。作杆 左端面的外法线山将受力图中的各外力标以正負号：凡指向与外法线方向相同者，标以正 号，反只标以负号，如题23图（b）所示。作轴力图，轴力图是与杆轴平行的直线，在有 轴向外力作用处，轴力图要发生突变，突变長等于对应处外力数值，对应于正的外力，轴力 图上跳，对

5、应于负的外力，轴力图下跌，上调和下跌長与对应的外力数值相等，如题2-3图（C）所示。由周力图可知，截面1上的轴力匚产一20kN,截面22上的轴力FV2=10kN ,截面33上的轴力FV3=10kNo20kN22a(a)10kN2OkN 20kN10kNeiokN 20kNlOkN各截面上的应力分别为=如_ =二叱 / pa = - 00MP4200x106 = - K)xl()(-Pa = 25MPa九 400x10计算题4:三脚架结构尺寸及受力如图所示。其中Fp = 22.2RN ,钢杆BD的直径严25.4”，钢梁CD的横截面积A = 2.32xl05/7wro试求：BD与CD横截面上的正应

6、力。解：1、受力分析，确定各杆的轴力首先对组成三脚架结构的构件作受力分析，因为B、C、D三处均为销钉连接，故BD与 CD均为二力构件，受力图如图所示。由平衡方程 工耳=0和工耳=0解得二者的轴力 分别为Fnbd = y2Fp =屁 22.2 x 10讪=31.403几=2MNq = 2.0 X104/?/2 J = 4加，Fncd =Fp= 22.2 x 10 W = 22.2kN()4其中负号表示压力。2、计算各杆的应力应用拉、压杆件横截面上的正应力公式，BD杆与CD杆横截面上的正应力分别为BD杆：F F 4x31 4x103b(BD)=遇=央= * zxiu = 62.0x10% = 62

7、0MPaAbd 砂 龙 x 25.42x10CD杆:其中负号表示压应力。计算题5:宜杆在上部两侧面都受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度均为?=10kN/m；在自由 端D处作用有集中力Fp = 20kN。一宜杆的横截面面积A = 2.0xl0-4/n/ = 4试求:(1) A、B、E三个横截面上的正应力；(2)杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位解：1、以竖直向下方向为正方向，以整个杆件为研究对象, 假设A处受力为拉力，竖直方向受力平衡：E=o巧,+2吟7=0FonR 一Frn = OCT；,=亠=r = 10xl04/ =2X10-440= 20x04 kPa = 0.2MPap 处

8、* A 2XI0-4综上，当y = 时，FVmax=60W,入严 =帀% 计算题6:2两杆的横截面直径分别为CQ视为刚体。求两杆内的应力。如图所示结构2-6 ( a )中，1 ,dx = 10”, 2 = 20”，P = 10Z7V。横梁 ABC、解：CD杆的D支座不受力，CD也不受力，所以P可视为作用于ABC杆的C端。取ABC为受力体，受力图如图26 (b)所示。图(2-6)= 0kN,FN2=20kN，_A _10x10 x4=；-MPa = 273MPaxlOxlO =皿=6（）= so* 时 kPa = 03MPa A A 2X104以BD段为研究对象，假设B处受力为拉力XFv =0

9、Fp - Fbn =0= Fbn = Fp =20kN= 0x04kPa = 0AMPu以AE段为研究对象，假设E处受力为拉力工坨=0 孤+2片7 =0=件厂40約咕存為 f=60-20y =论=60册当-y Fv = -20W （负号表示压力）20x103x4 x_zy N?-6一人-=.,MPa - 63.7MP。x202x10析 此题属静定问题，在分析杆CD平衡时可知点p的支反力凡=0 R=0N,即CD杆完全不受力，仅在P作用于ABC杆时被其带动绕点D作刚体转动。所以只雲对杆ABC 作静立分析即可求解。计算题7:图市矩形截面杆，横截面上的正英里進截面高度线性分布，截面定点各点处的正应力均

10、为x=00MPa,底边各点处的正应力均为零。试问杆件横截面上存在何种内力分長，并 确定其大小。图中之C电位截面形心。解：横截面上只存在正的正应力，因此横截面上的内力为拉力F。在ay平面内，正应力沿高度线性分市关系为：b = -100y + 50 ( MPa )(-().5f-0.5乂.5F = bdA crOAdy =巧(-100y + 50)0.4t/y =(-40y + 20)dy = 20MN计算题&题2-8图仏)所示是一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面 的拉杆和中间的竖向撑杆用角钢构成。已知屋面承受集度为q = 20kN/m的竖直均布荷载。 求拉杆AE和EG横截

11、面上的应力。q=20kN/m 1丄解：(1)作受力图。解除题28图(刃所示屋架结构的约束，代之以支座反力，作受力图, 如题28图(b)所示。(2) 求支座反力。利用静力学平衡方程工耳=0,行=0艺耳=0,心+心一(4.37乂2 + 9) = 0力M，i =0,比(4.37x2 + 9)-丄讥4.37x2 + 9)2 =0及 q=20kN/m,可得2化=0,心=心=177.4册(3) 计算拉杆EG的轴力取半个屋架为分离体，作受力图，如题2-8图)(d)所示。由静力学平衡方程 工M(. =02.2FW 一(4.37 + 4.5)F“ + 丄(4.37 + 4.5)2 =02及 FAv = 177.

12、4RN, q = 2QkN / m 得(437 + 45)仏-爲(4.37 + 4.5)2Fng =：_= 357.6心V357.660 2丿 30yu题2-9图么、2.2(4) 计算拉杆AE的轴力取較节E为研究对象，作受力图，如题2-8图(d)所示。由静力学平衡方程 工耳=0,甩-心COSX0尺你g=3576RN,得FV1=kN = 367kN4.37/J4.372+1“(5) 计算拉杆AE和EG横截面上的应力 査表得75mmx8mm等边角钢的横截面积为A = U.503cm2 ,所以拉杆AE和EG横截面上367xlO3的应力6厂屮2x11.503x10，159.5MPF, c _ ng .

13、A573的十5.3駭2x11.503x107计算题9:题厶9图 所示拉杆承受轴向拉力F=10kN,干得横截面积A=100/7/h2o如以&表示 斜截面与横截面的夹角，试求当z = 030；45；6090时各斜截面上的正应力和切应力, 并用图表示其方向。45/.a V45F F_A F(a)9)药解：拉杆横截面上的正应力FvF lOxlO3b = : A= A = 100xl010cos2 a、j = -sin laa 2应用斜截面上的正应力和切应力公式可得 b 和=75MPa,b, =50MPa,=25MPa、 丁川=0t =0, t =433MP“， r =50MPa, r =433MPd,

14、 r = 0 UMJMJ./U它们的方向分别表示在题29图(b). (c). (d)、(c). (f)中。计算题10：一根直杆受力如题2-10 0 (a)所示。巳知杆的横截面积A和材料的弹性模長E。试作轴 力图，并求杆端点D的位移。A2F 2F*B(b)FF00eF(c)图 2-10解：首先解除约束，代之以约束反力，作受力图，如题2-10图(b)所示。利用静力学 平衡条件确定约束反力的大小和方向，并标示在受力图上。再以杆左端面A的外法线n为 标准，将受力图中各外力标以正负号，凡与n的指向一致的外力，标以号，反之标号。 杲后，自左向右作轴力图，轴力图是平行于杆轴线的宜线，在有外力作用处，轴力图线

15、发生 突变，突变長等于对应外力的数值，如题2J0图（c）所示。根据轴力图，应用胡克定律，计算杆端D的位移为亍尸丿I 吓)亠 (FQcd乙 EA EAEAEAFxl/3 -Fx/3 Fxl/3 Fl11=EA EA EA 3EA计算题11：一木柱受力如题211图（Q所示。柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符 台胡克定律，其弹性模g E=10GPao如不记柱的自重，试求：（1）作轴力图；（2）各段柱 横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。100RN160kNA JOOkNC(a)I 016OkNBIq 260kNIn(b)图 2-11(c)解：（1）作轴力图解除B

16、处约束，代之以约束反力，应用静力学平衡条件，确定约束反力的大小和 方向，作受力图，如题2-11图（b）所示，以截面B的外法线n为标准，将受力图中各力标 以正负号，凡是和n的指向一致的外力标以号，反之标以G号，自下向上画轴力图。（2）计算各段柱横截面上的应力Pa = -2.5MP。_(仏)100x10A 2002x10-260x102002x10Pa = -65MPa（3）计算各段的线应变应用胡克定律，各段柱的线应变为5AC厂E-2.5 xlO6(心=-2.5x10110x10% E -65xlf =-6.5x10-10x10(4) 计算柱的总变形/ = AGc + % = AClAC + bc

17、1bc=(-2.5xlOxl.5) + (-6.5x 1 (T4 x 1.5)m=1.35mm(缩短)计算题12:一根直径d=16mm、长匸3m的圆截面杆，承受轴向拉力F=30kN,其伸长为A/ =2.2mmo 试求杆横截面上的应力与材料的弹性模星E。解：应用胡克定律确定材料的弹性模昱A/FI7Z730x10*3扌(16x10-3)2x2.2x10-3Pa = 203GP根据轴向拉伸的应力公式，杆横截面上的应力为Fn 二 Fn _30x10 计算题13:图2.13所示简单桁架，若在节点A作用力F系沿杆2方向，试问:(1) 1杆、2杆受力若干？(2) A点的位移应如何确定?是否沿2杆方向？解：(

18、1)图中1杆和2杆均为二力构件，对于杆2,在A处受到沿2杆向外的作用力F与 2杆在同一条线上，因此2杆受力就为F,而1杆受力则为0。F I FI(2)杆2位拉压变形，由胡克定律得：/= 士 =EA EA如上图所示，A点位移沿水平方向为零，沿竖直方向不为零且FI= A/sina =,方向并不沿2杆方向EAsina计算題14:等直钢杆受均匀拉伸作用，如图所示，已知钢弹性模長E=200GPa ,钢的伸长長为N = 6mm，问此杆塑性伸长星为多少?b = 250MPa L=300mm解：钢杆的最终变形可看作弹性变形与塑性变形的萱加变形在弹性范围内，钢杆的变形昱为:=37.5xl0?z = 0375FL

19、 _bL _ 250x106x300x103 E4 F200x1()9/羊=6-0.375 = 5.625mm所以此杆的塑性伸长呈为5.625mmo 计算题15：一板形试件，在其表面沿纵向和横向粘贴两片电阻应片，用以测長试件的应变。实验时测得习=120乂10“2=-36CMBC杆缩短，cc2 杲后C点移至Q点。CC = * ac、CC? = bc、BB、= A/朋=Cs变形关系：CC3 = A7朋 + Mrc sin 卩+zV4C sin a + (A/1C cos a - A/BC cos p) cot a = 1.48 nunC3C4 = CC3 sin cr/sin 0 = O.89O/

20、77/7 所以 xc = A/朋 + A/flc sin pC3C4 cos 0 = 0.519mmyc = A/肚 cos p+C3C4 sin /? = 1 04析在画变形图时，AC杆的点缩到点G。BC杆的点缩到点C?。而杆AB的点水平向右移到点色。BC杆本身受力有变形，同时还随点B平移。所以C?点平移到G点。然后从点作的疋垂线，从G点作证的垂线交于G点。G点即点的最后位移。通过几何关系 求得C点的x和y方向的位移。计算题18:如图所示的桁架，两杆材料相同，AB杆的横截面积A=100/zr, AC杆的横截面积为A = 80/m/m2 ,弹性模 E=210CTPa铅锤力P=20kNo求A点的

21、位移。解：作受力分析：由力的平行四边形法则得:Fac = Pcos45? = 10/2W Fab = P cos 30 = 10y/3kN= E = ，805WW%结构变形图如图所示 由几何关系得=z = 10.44 cos(45 -/) cos(30 + /) xA = AA sin / = blc cos(45 y)sin / = 0.192 yA = AA cos / = A/ac cos(45 /) cos y = 1.04mm 计算题19：图219所示，自由悬挂的直杆，长/,截面面积为A,比重为了，弹性模呈为E,求其在外力F和自重作用下杆的应力和变形。YF(c)(a)(c)(d)图

22、2-19解：要求应力和变形，首先要用截面法求出轴力，便可求出应力，本题中的轴力为x的函 数，变形必须用积分法。（0 建立坐标如图（Q所示，求x截面的轴力如图（c）所示（x） = F + Mx 作轴力图如图（b）所示 当乳=川寸，FVmax = FyAlX截面的应力b（x） = f+以A当 X = /时，T（X）max = + 川AEA（3）杆件的变形。dx微段的伸长長，如图（d）由于dx无穷小，上下面轴力可认为相等, 则（/） =凹心（I如EA杆件的总伸畑4陽誤 如果没有外力F的作用，杆件在自重作用下的伸长長为Al=2E =（A=TA为整个杆件重星等直杆由于自重引起的伸长等于全部重 星作用于杆

23、端时所引起伸长星的一半）o（4）由于自重作用，杆件任意截面（距杆端距离为x时）的位移讐E誉妒咛煤)精品这一位移星，即X截面相对固圭端之间杆件的伸任星。杆件最下段的位移,即为杆件在自 重和外力F作用下的伸长長,如图(c)o计算题20:巳知阶梯形直杆受力如图所示,(1) 面出其轴力图；(2) 计算截面杆AB、BC、CD段横截面上的正应力；(3 )若杆件材料的弹性模昼E=200GPa ；杆各段的横截面积分别为Aab = 2500mmACD = 000mnr； 杆各段的长度分别为lAB = lBc = 300mm Jcd = 400?。试求杆的总伸长星。400mmD200kN300mm/iA=A2：=

24、 500” 500kN300kN4=1000A JAB1/300mmJOO；(b)解：(1)因为在A、B、C、r四处都有集中力作用，所以AB、BC、CD三段杆的轴力各 不相同。应用截面法，在AB、BC、和CD三段中任意截面处，分别将杆件截开，并且假设截 开的横截面上的轴力均为正方向，即为拉力。如图(a)所示。然后分别对截开的三部分应用平衡方程工心=0即可确定AB、BC、CD段杆横截面上的轴力分别为Fv (A3) = 500 + 200 - 300 = 400归VFn(BC) = -(300 - 200) = - 100kNFn(CD) = 20MN于是在Fx坐标系可以Hi出轴力图，如图(b)所

25、示。(2) AB 段：b(A3)=卜吐 ). = 4()()x 1()= 160x 10% = 160MPa人佃 2500x10FJBC) -lOOxlO36BC 段：b(BC) = = = -40xlO Pa = -40MPa2500x10CD段：b(CD)=蚀=心=200x106Pa = 200MPa4CD) 1000x10(3) 杆各段的轴力不等，且横截面积也不完全相同，因而必须分段计算各段的变形，然后 相加。f FAAB)lUi 400x10x3OOx1O-3 八 一 “3 c “/ = -A23 = = 024x 10川=0.24inmEAW200xl0?x 2500 x 10=FJ

26、BC%. = (WxIOFOO叮=_0.06x10-3/? = pg”%200xl0Jx 2500 x 10=0(叽=2()0xex300xb = 0,12x10-. = 0.12塚5EAcd200x10;x 2500x103杆的总伸氏星为/ =工 X = (0.24-0.06+ 0.12)/wn = 0.3mm/-i计算题21:在轴向压缩试件的A及B出分别安装两个杠杆变形仪，放大倍教各为忍=1200,心=1200 ,标距均为s=2()mm,受压后杠杆仪的读教增長为，讥=-36叽,如 图所示，求该材料的泊松比。，= nB /()=5XIO解： =九l(skA) = -1.5x10Jv = 丨

27、w = l3 计算题22：某材料的应力-应变曲线如图所示。是根据该曲线确定：（0材料的弹性模長E、比例极限bp与屈服极限%2；（2）当应力增加到b = 35OMPa时，材料的正应变6与塑性应变勺。解: E = b/w = 200x 10&/(0.003xlO-2) = 67xlOuP = 6700GMe = 0.000035/?/?/oy = 248MPa b“()2 =348MPa(2)当 cr = 35OMPd 时， = 0.000008“B廿045咖 计算题23：三角吊架如图所示，两杆材料相同，都为塑性材料,水平杆的长度为人斜杆的长度随& 角的变化而定，设许用应力为b。求该结构具有最小重

28、長时的&角。解：取节点B为受力体，求得pFnba =（拉） Fye = Pcot &（丿 k）两杆材料相同，当8角为台理值时，两杆的应力要求同时达到许用应力可。这是两杆的截%(+ cos )=b sin。cos & sin&若体积为屋小，则应有-方=0，得2cosS sin2& = 0 ad得 tan 0 =近、0 = 54.7计算题24:有一长度为300mm的等截面直杆承受轴向拉力F=30kN 0已知杆的横截面积 A = 25OO/7/H2,材料的弹性模 E=210GPao试求杆中所积蓄的应变能。解：杆中的应变能为1ZF2!（30x103）cryV = = N = 0275N m2EA 2E

29、A 2x210x10 丿 x 2500x10 计算题25:结构受力如图(a)所示，以至各干的材料和横截面积均相同，面积A = 200mm2,材料 的弹性模長E = 200GPa ,屈服极限 = 280MM ,强度极限巧=460MP;(0当F = 50kN, I、2、3杆中的线应变分别为多少？(2)节点B的水平位移、竖直位移、总位移为多少？(a)(b)解：(1)由平衡条件工仏=0,得 工Ma = 0屮=y =25kN 工斤=0,严0工也=0,FV3=| = 25W邑=6.25x10-*EA 200x106x 200x10 巧=习=6.25 x 1匂=0点B的垂直位移(见图(b)为% =砒=6.2

30、5 x 1 O4 m点A的垂直位移为SAy = % = 6.25 x 1 ()7 lu斜杆2长度不变，使节点A产生水平位移为必=% = * % =3.61xlO_4m节点A或B的总位移为(3) 结构的强度涪爸:h = = 280x10-x200x10-=224Fni/A25xlO3计算题26：图示的杆件结构中1、2杆的横截面积4=4=4000刃,，3、4杆的横截面积A = A4 = 800呦；1、2杆的许用应力% = 20MM ,3、4杆的壽用应力匕=20MPa。 试求结构的许用荷载坊J。解：分析节点B、C两点受力如图所示：4s由工E=0，得F=jFp, FqFp；4 f 44 54由工件=0 ，得 f4=-f3 =-f3=-x-fp = -f13,33 5几=一 F、=_C=_x_Fp = Fp； -5 35 5 3 卩阳5-/ 耳,S6kNt4|3 -FpawA, = 20x 106x4000Fp SkN4H ?坊 - / 72WA43 坊取最小值,即Fp=6kN计算题27:简易起重设笛简图如图所示，已知斜杆AB用两根63 X 40 X 4/77/77不等边角钢组成, 钢的许用应力0 = 17OMPd,试问在提起重呈为P=15kN的重物时，斜杆AB是否满足强解：取滑轮中心A为研究对象，假设缓愎、匀速地拉链条，则拉力F等于