数学与应用数学-关于函数的凸性在中学数学解题中的应用论文

1、关于函数的凸性在中学数学解题中的应用摘 要 近年来，关于凸函数的这一知识点的考察已经可以在各地的模考卷甚至是高考卷中不断找到踪迹，稍微复杂一点的高中数学题都有可能存在凸函数的考察点。但是，纵观主流高中数学教材，对于凸函数的详细介绍却鲜有提及。在实际应用中，用凸函数的应用思维来启迪学生找到更加行而有效的解题办法是至关重要的，这也能大大帮助现在的高中生提高数形结合的能力。比较常见的是一些题目涉及到了三角不等式的概念，对它进行计算或者证明，初见这种题目有时可能不知所措，但是仔细研究这类题的本质，就会发现凸函数起到了至关重要的作用，加以利用就能使得答题过程更加简洁明了，同样在对数函数和指数函数的题目中

2、也能找到凸函数的身影。本文通过对一些结构复杂繁琐的不等式的证明，应用凸函数的基本模型解释以及经典的性质，大大简化了证明过程。通过这些定义和性质，也更能让学生自发的去理解求取值范围、最值这类题目，从而可以提高学生的系统性解题能力和对知识的全面掌控。这也更加能够证明凸性函数在高中数学题目中至关重要的内容。关键词 上（下）凸函数 单调性 不等式On the application of convexity of function in middle school mathematics problem solvingAbstract In recent years, the investigatio

3、n of this knowledge point about the convex function has been able to find traces in the model test papers and even the college entrance examination papers everywhere. It is possible for the slightly more complicated high school mathematics questions to have the investigation point of the convex func

4、tion. However, looking at mainstream high school mathematics textbooks, there is little mention of the detailed introduction to convex functions. In practical applications, it is crucial to use the thinking of convex function to enlighten students to find more practical and effective problem-solving

5、 methods, which can also greatly help current high school students to improve their ability to combine numbers and shapes. It is more common that some problems involve the concept of triangular inequalities. Calculate or prove it. At first sight, such problems may sometimes be overwhelming, but if y

6、ou carefully study the nature of such problems, you will find that the convex function plays a vital role. The role of the function can be used to make the answering process more concise and clear, and the figure of the convex function can also be found in the problems of the logarithmic function an

7、d the exponential function. This paper greatly simplifies the proof process by proving some complex and cumbersome inequalities, applying the basic model interpretation of convex functions, and classical properties. Through these definitions and properties, students can also spontaneously understand

8、 such questions as the range of values and the maximum value, which can improve students ability to solve problems systematically and control their knowledge. This also proves that the convexity function plays a vital role in high school math problems.Key words Convex function monotonicity inequalit

9、y目 录引言11函数的凸性介绍11.1凸函数的基本概述11.1.1凸函数的基本定义11.1.2凸函数的重要性定理21.2中学函数凸性的判别32凸性函数在中学数学中的具体应用42.1复杂不等式中的函数凸性解析52.2求取值范围与凸性函数的巧妙结合62.3数形结合中函数凸性的表现82.4利用函数的凸性求最值83结 论103.1客观总结103.2启示103.3局限性113.4未来展望11参考文献12致 谢13引 言近年来，关于凸函数的这一知识点的考察已经可以在各地的模考卷甚至是高考卷中不断找到踪迹，稍微复杂一点的高中数学题都有可能存在凸函数的考察点。但是，纵观主流高中数学教材，对于凸函数的详细介绍却

10、鲜有提及。在实际应用中，用凸函数的应用思维来启迪学生找到更加行而有效的解题办法是至关重要的，这也能大大帮助现在的高中生提高数形结合的能力。比较常见的是一些题目涉及到了三角不等式的概念，对它进行计算或者证明，初见这种题目有时可能不知所措，但是仔细研究这类题的本质，就会发现凸函数起到了至关重要的作用，加以利用就能使得答题过程更加简洁明了，同样在对数函数和指数函数的题目中也能找到凸函数的身影。本文通过对一些结构复杂繁琐的不等式的证明，应用凸函数的基本模型解释以及经典的性质，大大简化了证明过程。通过这些定义和性质，也更能让学生自发的去理解求取值范围、最值这类题目，从而可以提高学生的系统性解题能力和对知

11、识的全面掌控。这也更加能够证明凸性函数在高中数学题目中至关重要的作用。通过对近几年的文献的查找与阅读，发现并没有一个具体的行而有效的办法来应用凸函数的性质来解决各类数学问题。目前的高中生做题时，通常被复杂的不等式结构干扰，对题目无从下手，从而心灰意冷，丧失了原本对数学充满的热枕。因此加强解题掺入凸性概念的普及，对当下的中学生来说是不可或缺的。本论文主要通过两个方面来加深对凸性应用的普及，首先针对了当代中学生对凸函数了解的匮乏上，引入凸性函数的基础知识，让中学生对凸性函数有了具体直观的了解。紧接着对中学生面对难题的苦思冥想，引入凸性函数的定理性质，加强中学生解题的实际能力，从根本上解决高中生畏难

12、的心理，大大拓宽了他们的解题思路，从而提高学习能力。1 函数的凸性介绍1.1 凸函数的基本概述复杂的高中数学题目往往令人眼花缭乱，但在引入凸函数后，往往能够让学生眼前一亮，因此对它的介绍可以从以下几个方面一一阐述。1.1.1 凸函数的基本定义纵观市面上的大多类凸函数的教材，可以发现凸函数的类型大体可分为两种，一种类型为上凸，剩下的一种类型为下凸。定义1：设在区间上连续1，对任意的两点两点，在区间 中恒有ft1+t2212ft1+ft2则称在上是向上凸的，简称上凸；若恒有ft1+t2212ft1+ft2则称在区间上是向下凸的，通常称为下凸。当定义中等号恒不成立时2，我们称此函数在上是严格上凸的（

13、或严格下凸的）。定义2：设在区间上连续3，若对区间上任意两点，及且，若f1x1+2x21fx1+2fx2则称在区间上是上凸的，其中当且仅当时取得等号。若f1x1+2x21fx1+2fx2则称在区间上是下凸的，其中当且仅当时取得等号。1.1.2 凸函数的重要性定理通过对凸函数的基本定义有了了解后，在今后的解题过程中，为了能够更好的灵活运用，还需对以下的定理有相当了解。【定理1】（詹生不等式）：若函数在区间是上凸函数4，则有不等式：fq1x1+q2x2+qnxnq1fx1+q2fx2+qnfxn （1）若函数在区间是下凸函数，则有不等式：fq1x1+q2x2+qnxnq1fx1+q2fx2+qnf

14、xn （2）其中， 【定理2】：若是下凸函数5，则其对应定义域中的任意个点n恒有：fx1+x2+xn21nfx1+fx2+fxn当且仅当n时等号成立。类似地，对于上凸函数有：fx1+x2+xn21nfx1+fx2+fxn【定理3】：为区间上的下凸函数对于区间上的任意，总有：fx2-fx1x2-x1fx3-fx2x3-x2成立。【定理4】：设函数在开区间上可导6，则在区间上为上凸函数，导函数在区间单调减少，对其定义域中任意的，总有fx20的时，则二次函数y=ax2+bx+c表现为下凸类型；当时，此时的函数y=ax2+bx+C表现为上凸类型.（5）反比例函数对于反比例函数而言，其凸性如下：当时：若

15、，则反比例函数为上凸函数；若，则反比例函数为下凸函数。当时：若，则反比例函数为下凸函数；若，则反比例函数为上凸函数。（6）双勾函数对于双勾函数）而言，其凸性如下：当时，双勾函数）为上凸函数；当时，双勾函数表现为下凸类型。2 凸性函数在中学数学中的具体应用函数的凹凸性在高等数学的课程中随处可见，但是这并不意味着是高等数学课程中的特有函数，在中学数学问题上，它也能够展现的淋漓尽致，以下的介绍可以让人更加直观了解凸性函数的妙用：2.1 复杂不等式中的函数凸性解析对于不等式的证明，是中学数学比较常见也比较复杂的一类题目，往往这类题目最容易使得学生无从下手，但是在证明过程中，巧妙的利用凸性函数的定理，往

16、往起到的效果令人意想不到而又令人眼前一亮。【例1】，求证：.证明：构造上的下凸函数，因为所以说明：本题由“，则，虽然可以轻松的推广出来，但是如果证明的话，往往用的方法十分的冗长而且繁琐，一不小心就会出错，但是在引入凸性函数后，利用指数函数的特性，整个过程反而更加简洁，大大节省了做题的时间。 【例2】己知函数，若且 ，求证：12fx1+fx2fx1+x22证明：，因为所以则在区间是下凸函数又因为所以12fx1+fx2fx1+x22说明：对于一般的解题思路，循规蹈矩的按照三角函数形式不断变形，展现出来的过程往往复杂无比，而且极其容易出错，但是在引入凸性函数的性质之后，大大简化了证明的过程，使得整个

17、推理过程多了数学的美感，也大大节省了做题的时间。2.2 求取值范围与凸性函数的巧妙结合求解取值范围这类题又是一道令人望而生畏的类型，但是通过上文对凸性函数的介绍，这种类型的题目不在变得可怕，而是有迹可循，有法可解，利用凸性函数的性质，能够轻松快捷取得这类题目的正确答案。【例1】函数在区间内可导8，导函数是减函数，且，设，是曲线在点的切线方程，并设函数。（1）用，表示；（2）证明：当）时，；（3）若关于的不等式可在0，+）上恒成立，其中为实数，求的取值范围及与所满足的关系.解：（1）函数在点处的切线方程为11：，通过整理得： ，所以。（2）（利用定理4）因为在区间内可导且，所以在区间表现为单调递

18、增9，又因为导函数是减函数所以在区间上为上凸函数，曲线总在它任一切线的下方，即有 （3）设，所以.则由定理4中的推论（1）可知在上为下凸函数10，曲线总在它的任一切线的上方，因此与曲线的切线平行且截距小于等于切线截距的直线满足。设为）上任意一点，过的切线为 整理得：由和消去x0得设，为函数的不可导点当时，只要即可满足函数为可导函数， ，故在为上凸函数，曲线总在它的任一切线的下方，所以与曲线的切线平行且截距大于等于切线截距的直线设为上任意一点，过的切线为：整理得：由和消去得：.所以不等式对任意成立的充要条件是不等式显然，存在使上式成立的充要条件是不等式有解解此不等式得：2-242=24所以b的取

19、值范围是2-24,2=24a与b所满足的关系式为2b2ba21-b2.3 数形结合中函数凸性的表现一昧的书写解题过程不能准确的得到函数凹凸性所表现出来的数学意义，图像是数学中函数关系的最好展现，能让人更加直观明了的了解函数之间的联系区别，也隐藏了无穷的数学奥妙。【例1】已知为正整数，且，证明：.证明分析：如图1，作出函数的简图。图象过点图1 函数y=log（1+n）x设直线交曲线于点，交线段于点，则，由函数的凸性可知：函数为上凸函数，所以，log（n+1）nn-1n，lgnlg（n+1）n-1n，即1n-1lgn1nlg（n+1）。.设数列的通项为，则上式即中，所以数列为递减数列。由则可得 +

20、1，即，所以成立。2.4 利用函数的凸性求最值【例1】设，曲线与直线在点相切。（1）求的值（2）证明：当时， 解：（1）（2）由（1）知证法一：由平均值不等式，当时，即，下面用作差法比较记，则=1x+1+12x+1-54x+62=2+x+12x+1-54x+62x+64x+1-54x+62为判断上式的正负，不妨令，则当时，因此，内是递减函数，又由，得，因此内是递减函数，又由，得，所以，。证法二：由（1）知，对于时，是上凸函数，由凹凸函数的性质知，图像始终在它的一条切线的下方，即。对于x+1，在时，x+1是上凸函数，由凹凸函数的性质知，图像始终在它的一条切线的下方，即x+1，所以。为证明，不妨设

21、，只需证即可。 因此内单调递减，又。【例2】已知函数；（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值.解（1）（解题过程略）（2）由题意，即，恒成立，记，所以图像位于直线的上方。由凸性及性质，存在，使得直线图像在处的切线：重合或平行（位于切线下方）10，也即是，所以记，对求导讨论可得的最大值为。3 结 论3.1 客观总结通过对中学常见数学问题的合理剖析，本文引入了函数的凸性概念，通过对此的系统性介绍，为中学数学问题提供了有力的解题思路。在不等式、求取值范围、最值以及树形结合方面，分别引入了实例由浅入深的讲解了具体的解题方法，可以发现，引入函数凸性概念后，大大简化了本来复杂繁琐的解题过程，加深

22、了中学生爱做数学的兴趣，在面对更加复杂的题目时也提供了行之有效的解决办法，也大大提高了学生自主学习自主探索的学习能力。3.2 启示一种新方法的出现，对他的掌握不是一蹴而就的，本文也通过由浅入深的概念，定理，性质，以及大量的例题分析，让学生逐步了解，逐步掌握，在练习中学会一种新方法，在做题上体现新思路，让学生能够牢牢掌握凸性概念，不再是一昧的循规蹈矩的解题，加强了学生的发散性思维，这对于学生以后解决更加复杂更加繁琐的题目时做好了最简洁化的铺垫。 3.3 局限性凸性函数这一概念由来已久，本文把凸性概念通过实例与中学数学问题简单的有机结合，由于本人的专业知识水平有限，还不能更好的把凸性概念应用在中学数学中的其他问题上，是有待弥补之处，也是本文的一些欠缺。3.4 未来展望函数的凸性概念能够应用的地方还