数学模型层次分析法修改PPT学习教案

1、会计学1 数学模型层次分析法修改数学模型层次分析法修改 问题的提出问题的提出 例例1 1 购物购物 买钢笔，一般要依据买钢笔，一般要依据质量质量、颜色颜色、实用性实用性、价格价格、 外形外形等方面的因素选择某一支钢笔。等方面的因素选择某一支钢笔。 例例2 2 旅游旅游 假期旅游，是去风光秀丽的假期旅游，是去风光秀丽的苏州苏州，还是去迷人的，还是去迷人的北北 戴河戴河，或者是去山水甲天下的，或者是去山水甲天下的桂林桂林，一般会依据，一般会依据景色景色、 费用费用、食宿条件食宿条件、旅途旅途等因素选择去哪个地方。等因素选择去哪个地方。 第1页/共148页 例例3 3 择业择业 面临毕业，可能有面临

2、毕业，可能有高校高校、科研单位科研单位、企业企业等单位可以去等单位可以去 选择，一般依据选择，一般依据工作环境工作环境、工资待遇工资待遇、发展前途发展前途、住房条住房条 件件等因素择业。等因素择业。 例例4 4 科研课题的选择科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依 据课题的据课题的可行性可行性、应用价值应用价值、理论价值理论价值、培养人才培养人才等因素等因素 进行选题。进行选题。 第2页/共148页 面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、 最后作出决策最后作出决策。这个过

3、程。这个过程主观因素主观因素占有相当的比重占有相当的比重 给用数学方法解决问题带来不便。给用数学方法解决问题带来不便。 Saaty于于1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process) AHP-AHP-这是一种这是一种定性和定量定性和定量相结合的、系统化的、相结合的、系统化的、 层次化的分析方法。层次化的分析方法。 第3页/共148页 第4页/共148页 第5页/共148页 第6页/共148页 目标层目标层 O(选择旅游地选择旅游地) P2 黄山黄山 P1 桂林桂林 P3 北戴河北戴河 准则准则 层层 方案方案 层层 C3 居住居住

4、C1 景色景色 C2 费用费用 C4 饮食饮食 C5 旅途旅途 一一. . 层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤 例例. . 选择旅游地选择旅游地 如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择. . 第7页/共148页 目标层目标层 O(选择旅游地选择旅游地) P2 黄山黄山 P1 桂林桂林 P3 北戴河北戴河 准则准则 层层 方案方案 层层 C3 居住居住 C1 景色景色 C2 费用费用 C4 饮食饮食 C5 旅途旅途 若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层

5、所所 有因素影响，称为有因素影响，称为完全层次结构完全层次结构，否则称为，否则称为不完全层次结构不完全层次结构。 第8页/共148页 “选择旅游地选择旅游地”思维过程的归纳思维过程的归纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层，准则层C， 方案层方案层P；每层有若干元素，；每层有若干元素， 各层元素间的关系各层元素间的关系 用相连的直线表示。用相连的直线表示。 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各 方案对每一准则的权重。方案对每一准则的权重。 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标将上述两组权重进行综合，确定各方案对目

6、标 的权重。的权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。 第9页/共148页 ij jiijnnij a aaaA 1 , 0,)( 层次分析法的基本步层次分析法的基本步 骤骤成对比较成对比较 阵和权向阵和权向 量量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度。元素之间两两对比，对比采用相对尺度。 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2, , Cn对目标对目标O的重要性的重要性: ijji aCC: 选选 择择 旅旅 游游 地地 1135/13/1 1125/13/1 3/12/11

7、7/14/1 55712 3342/11 A C1 C4 C3 C2 C1 C2C3C4C5 C5 第10页/共148页 要由要由A确定确定C1, , Cn对对O的权向量的权向量 1135/13/1 1125/13/1 3/12/117/14/1 55712 3342/11 A C1 C4 C3 C2 C1 C2C3C4C5 C5 C3 居住居住 C1 景色景色 C2 费用费用C4 饮食饮食 C5 旅途旅途 a23=7:表明确定费用表明确定费用C2和居住和居住 C3对目标的影响程度是对目标的影响程度是7:1 第11页/共148页 n nnn n n w w w w w w w w w w w

8、w w w w w w w A 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 712 42/11 A 成对比较的不一致情成对比较的不一致情 况况 ):(2/ 1 2112 CCa ):(4 3113 CCa ):(8 3223 CCa 一致比较一致比较 不一不一 致致 允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况考察完全一致的情况 12 (1), n Ww ww重重量量等等于于 jiij wwa/令 权向量),( 21 T n wwww 成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量 第12页/共148页 wAw n nnn n n w w w w w w

9、 w w w w w w w w w w w w A 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况 nkjiaaa ikjkij , 2 , 1, 满满 足足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致对于不一致( (但在允许范围内但在允许范围内) )的成对的成对 比较阵比较阵A，SaatySaaty建议用对应于最大建议用对应于最大 特征根特征根 的

10、特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w ， 即即 一致一致 阵性阵性 质质 成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量 第13页/共148页 2 4 6 8 比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值 1,2, , 9及其互反数及其互反数1,1/2, , 1/9 尺度尺度 1 3 5 7 9 ij a 相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强的重要性 ji CC : ji CC : aij = 1,1/2, ,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117

11、,1p9p (p=2,3,4,5), d+0.1d+0.9 (d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较 阵，算出权向量，与实际对比发现，阵，算出权向量，与实际对比发现， 19尺度较优。尺度较优。 便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化： 成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量 第14页/共148页 CiCj CiCj CiCj CiCj CiCj 第15页/共148页 一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围 已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：可证：n 阶正互反阵最大特征

12、根阶正互反阵最大特征根 n, 且且 =n时为一致时为一致 阵阵 由于由于 连续的依赖于连续的依赖于 aij , ,则则 比比n n大的越多，大的越多，A A的不一致性越严的不一致性越严 重。用最大特征值对应的特征向量作为权向量，用以比较因重。用最大特征值对应的特征向量作为权向量，用以比较因 素对上层某因素影响程度，其不一致程度越大，引起的判断素对上层某因素影响程度，其不一致程度越大，引起的判断 误差越大。因而可以用误差越大。因而可以用 -n 数值的大小来衡量数值的大小来衡量 A A的不一致程的不一致程 度度 第16页/共148页 一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范

13、围 CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重 max 1 n CI n 定义定义: 一致性指标一致性指标 Consistency Index (CI) 其中其中n n为为A A 的对角线元素之和，也为的对角线元素之和，也为A A的特征根之和。的特征根之和。 第17页/共148页 R I 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.3 2 1.41 1.45 1.49 1.51 n 1 23456789 1110 定义定义: 随机一致性指随机一致性指 标标 Random Index (RI) 为衡量为衡量CI 的大小的大小 50021 ,CICICI 12500 12500500 50

14、01 n CICICI RI n 则可得一致性指标则可得一致性指标 随机一致性指标随机一致性指标 RI RI 的数值：的数值： 50021 ,AAASaatySaaty随机构造随机构造500500个成对比较矩阵个成对比较矩阵 当当 n3时，判断矩阵永远具有完全一致性。时，判断矩阵永远具有完全一致性。 第18页/共148页 CI CR RI 定义定义:随机一致性比率随机一致性比率 Consistency Ratio (RI) 当当 CR 0.10 时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致时，便认为判断矩阵具有可以接受的一致 性。从而通过一致性检验性。从而通过一致性检验 当当CR 0.10 时，就需要

15、调整和修正判断矩阵，使其满时，就需要调整和修正判断矩阵，使其满 足足CR 0.10 ，从而具有满意的一致性。，从而具有满意的一致性。 所谓所谓一致性检验：一致性检验：利用随机一致性比率利用随机一致性比率CR0.1CR0.1 及随机一致性指标的数值表，对及随机一致性指标的数值表，对A A进行检验的过程。进行检验的过程。 第19页/共148页 “选择旅游地选择旅游地”中中 准则层对目标的权准则层对目标的权 向量及一致性检验向量及一致性检验 1135/13/1 1125/13/1 3/12/117/14/1 55712 3342/11 A 准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵 最大特征根

16、最大特征根 =5.073 权向量权向量( (特征向量特征向量) )w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 018.0 15 5073.5 CI 一致性指一致性指 标标 随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表查表) 一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.016 0.05 ， 需返回第二步作进一步计算。需返回第二步作进一步计算。 幂幂 法法 第46页/共148页 (2) (1) wAw 14/16/1 412/1 621 （32） 2687. 0 9805. 0 785. 1 列向量 归一化 05. 0 05. 0 05. 0 088.

17、0 346. 0 566. 0 0885. 0 3232. 0 5883. 0 （42）各项差别均小于 0.05 ， 可进入第五步计算特征值。可进入第五步计算特征值。 2687. 0 9805. 0 785. 1 088. 0 346. 0 566. 0 幂幂 法法 第47页/共148页 (5) 034. 3) 0885. 0 2687. 0 3232. 0 9805. 0 588. 0 785. 1 ( 3 1 wT 精确(0.588,0.322,0.090)3.010 和法(0.587,0.324,0.089)3.009 根法(0.587,0.324,0.089)3.009 幂法(0.58

18、8,0.323,0.089)3.034 各种方法结果比较： 幂幂 法法 第48页/共148页 四四. . 层次分析法实例层次分析法实例 第49页/共148页 p1p2p3p4p5p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6 第50页/共148页 第51页/共148页 第52页/共148页 第53页/共148页 第54页/共148页 第55页/共148页 第56页/共148页 第57页/共148页 第58页/共148页 p1p2p3p4p5p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6 第59页/共148页 第60页/共148页 p1p2p3p4p5p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6 第61页/共1

19、48页 p1p2p3p4p5p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6 第62页/共148页 第63页/共148页 p1p2p3p4p5p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6 第64页/共148页 第65页/共148页 p1p2p3p4p5p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6 第66页/共148页 p1p2p3p4p5p6 p1 p2 p3 p4 p5 p6 第67页/共148页 第68页/共148页 第69页/共148页 第70页/共148页 第71页/共148页 第72页/共148页 第73页/共148页 第74页/共148页 第75页/共148页 第76页/共148页 第77页/共1

20、48页 第78页/共148页 第79页/共148页 k1 0.14 0.62 0.240.58 0.32 0.10 2 0.24 0.62 0.14 3 0.07 0.65 0.28 4 0.06 0.47 0.47 5 层次总排序（组合权向量）层次总排序（组合权向量） w(2) 0.16 0.18 0.20 0.05 0.16 0.25 0.05 0.15 0.80 6 甲甲 乙乙 丙丙 第80页/共148页 第81页/共148页 第82页/共148页 第83页/共148页 甲乙丙三人的总得分，亦即方案层对目标的组合权甲乙丙三人的总得分，亦即方案层对目标的组合权 向量为向量为 (0.3576

21、, 0.4372, 0.2182)T 第84页/共148页 五五. . 层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选 题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与。策层参与。 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判

22、构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。断力强的专家给出。 第85页/共148页 国家综合实力国家综合实力 国民国民 收入收入 军事军事 力量力量 科技科技 水平水平 社会社会 稳定稳定 对外对外 贸易贸易 美、俄、中、日、德等大国美、俄、中、日、德等大国 工作选择工作选择 贡贡 献献 收收 入入 发发 展展 声声 誉誉 关关 系系 位位 置置 供选择的岗位供选择的岗位 例例1 国国 家实力分家实力分 析析 例例2 工作选工作选 择择 第86页/共148页 过河的效益过河的效益 A 经济效益经济效益 B1 社会效益社会效益 B2 环境效益环境效益 B3 节节 省省 时时

23、间间 C 1 收收 入入 C 2 岸岸 间间 商商 业业 C 3 当当 地地 商商 业业 C 4 建建 筑筑 就就 业业 C 5 安安 全全 可可 靠靠 C6 交交 往往 沟沟 通通 C7 自自 豪豪 感感 C8 舒舒 适适 C 9 进进 出出 方方 便便 C1 0 美美 化化 C1 1 桥梁桥梁 D1 隧道隧道 D2 渡船渡船 D3 （1）过河效益层次结构）过河效益层次结构 例例3 横渡横渡 江河、海峡江河、海峡 方案的抉择方案的抉择 第87页/共148页 过河的代价过河的代价 A 经济代价经济代价 B1 环境代价环境代价 B3 社会代价社会代价 B2 投投 入入 资资 金金 C1 操操 作

24、作 维维 护护 C 2 冲冲 击击 渡渡 船船 业业 C 3 冲冲 击击 生生 活活 方方 式式 C4 交交 通通 拥拥 挤挤 C5 居居 民民 搬搬 迁迁 C6 汽汽 车车 排排 放放 物物 C7 对对 水水 的的 污污 染染 C8 对对 生生 态态 的的 破破 坏坏 C9 桥梁桥梁 D1 隧道隧道 D2 渡船渡船 D2 （2）过河代价层次结构）过河代价层次结构 例例3 横渡横渡 江河、海峡江河、海峡 方案的抉择方案的抉择 第88页/共148页 待评价的科技成果待评价的科技成果 直接直接 经济经济 效益效益 C11 间接间接 经济经济 效益效益 C12 社会社会 效益效益 C13 学识学识

25、水平水平 C21 学术学术 创新创新 C22 技术技术 水平水平 C23 技术技术 创新创新 C24 效益效益C1水平水平C2 规模规模C3 科技成果评价科技成果评价 例例4 科技成科技成 果的综合评果的综合评 价价 第89页/共148页 六六. 层次分析法的若干问题层次分析法的若干问题 为什么用特征向量作为权向量？为什么用特征向量作为权向量？ 当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用 层次分析法？层次分析法？ 第90页/共148页 1. 特征向量作为权向量特征向量作为权向量成对比较的多步累积效成对比较的多步累积效 应应 问题问题 一致阵一致阵A,

26、权向量权向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wj A不一致不一致, 应选权向量应选权向量w使使wi/wj与与 aij相差相差 尽量小（对所有尽量小（对所有i,j)。 2 11 ),1( min n i n j j i ij niw w w a i 用拟合方法确定用拟合方法确定w 非线性非线性 最小二乘最小二乘 2 11 ),1( lnlnmin n i n j j i ij niw w w a i 线性化线性化 对数最小二乘对数最小二乘 结果与根法相结果与根法相 同同第91页/共148页 按不同准则确定的权向量按不同准则确定的权向量 不同，特征向量有什么优点。不同，特征向量有什么优点。

27、成对比较成对比较 Ci:Cj (直接比较）直接比较） aij 1 1步强度步强度 )( )2(2 ij aA sj n s isij aaa 1 )2( aisasj Ci通过通过Cs 与与Cj的比较的比较 aij(2) 2步强度步强度 更能反映更能反映Ci对对Cj 的强的强 度度 步强度kaaA k ij k ij k ),( )()( 多步累积效应多步累积效应 体现体现多步累积效应多步累积效应 ), 1, )()()()( 00 nsaaaakkkji k js k is k js k is （或 定理定理1 1 w eAe eA kT k k lim 特征向量体现特征向量体现多步累积效应

28、多步累积效应 当当k足够大足够大, Ak第第i行元素反映行元素反映Ci的权的权 重重 求求Ak的行的行 和和 第92页/共148页 2.不完全层次结构中组合权向量的计不完全层次结构中组合权向量的计 算算 完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联 不完全层次结构不完全层次结构 设第设第2层对第层对第1层权向层权向 量量w(2)=(w1(2),w2(2)T已定已定 第第3层对第层对第2层权向量层权向量 w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)T w2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得已得 讨论由讨论由w(2),

29、W(3)=(w1(3), w2(3) 计算计算第第3层对第层对第1层权向量层权向量 w(3） ）的方法 的方法 贡献贡献O 教学教学C1科研科研C2 P2 P1P3P4 例例: 评价教师贡献的层次结构评价教师贡献的层次结构 P1,P2只作教学只作教学, P4只作科研只作科研, P3兼作教学、科研。兼作教学、科研。 C1,C2支配元素的数目不支配元素的数目不 等等 第93页/共148页 不考虑支配元素数目不等的影响不考虑支配元素数目不等的影响 )2()3()3( wWw 仍用仍用 计算计算 需要对需要对w(2)加权修正加权修正 若若C1,C2重要性相同重要性相同, w(2)=(1/2,1/2)T

30、, P1P4能力相同能力相同, w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T 公正的评价应为：公正的评价应为： P1:P2:P3:P4=1:1:2:1 w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)T 这是不合理的这是不合理的 考察一个特例：考察一个特例： 第94页/共148页 )/(),( )2( 22 )2( 11 )2( 22 )2( 11 )2( wnwnwnwnw T 用支配元素数目用支配元素数目n1,n2对对w(2)加权修正加权修正 支配元素越多权重越大支配元素越多权重越大 再用再用 计算计算 )2()3()3( wWww(3)=(1/5,

31、1/5,2/5,1/5)T T w nn ) 5/2 , 5/ 3 ( , 2, 3 )2( 21 支配元素越多权重越小支配元素越多权重越小 适用于教师的教学、科研任适用于教师的教学、科研任 务由上级安排务由上级安排 适用于教师的教学、科研靠适用于教师的教学、科研靠 个人积极性个人积极性 用支配元素数目用支配元素数目n1,n2 的倒数对的倒数对w(2)加权修正加权修正 (2)(2)(2)(2) (2) 1212 1212 (,) /() T wwww w nnnn 第95页/共148页 3. 残缺成对比较阵的处理残缺成对比较阵的处理 12/ 1/ 212/ 1 /21 13 31 ww ww

32、C wCw 22/ 10 212/ 1 022 A wwA jim aji ajia a i ij ijij ij , 1 , 0 , miA第第i 行行 中中 的个数的个数 12/1 212/1 21 A例 为残缺元素为残缺元素 辅助矩阵辅助矩阵 T w)1429. 0 ,2857. 0 ,5714. 0(, 3 第96页/共148页 4. 更复杂的层次结构更复杂的层次结构 递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和 支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。 更复杂的层次结构：更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响层内各元素间存在相互影响 或支配；层间存在反馈或循环。或支配；层间存在反馈或循环。 制制 动动