高一数学（121-2任意角的三角函数）

1、1.2 1.2 任意角的三角函数任意角的三角函数 1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 第二课时第二课时 问题提出问题提出 1.1.设设是一个任意角，它的终边与单位是一个任意角，它的终边与单位 圆交于点圆交于点P P（x x，y y），角），角的三角函数的三角函数 是怎样定义的？是怎样定义的？ siny cosxcosx cosxtan(0) y x x 2.2.三角函数在各象限的函数值符号分别三角函数在各象限的函数值符号分别 如何？如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦. . 3.3.公式公式 ， ， ( ).( ).其数学意义如何？其数学意

2、义如何？ sin(2)sinkcos(2)cosk tan(2)tank tan(2)tankkZ 4.4.角是一个几何概念，同时角的大小也角是一个几何概念，同时角的大小也 具有数量特征具有数量特征. .我们从数的观点定义了我们从数的观点定义了 三角函数，如果能从图形上找出三角函三角函数，如果能从图形上找出三角函 数的几何意义，就能实现数与形的完美数的几何意义，就能实现数与形的完美 统一统一. . 终边相同的角的同名三角函数值相等终边相同的角的同名三角函数值相等. . 知识探究（一）：知识探究（一）：正弦线和余弦线正弦线和余弦线 思考思考1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其为第一象限角

3、，其 终边与单位圆的交点为终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是正数，你能分都是正数，你能分 别用一条线段表示角别用一条线段表示角的正弦值和余弦的正弦值和余弦 值吗？值吗？ sinycosx P P（x x，y y） O O x x y y M |sinMPy |cosOMx 思考思考2 2：若角若角为第三象限角，其终边为第三象限角，其终边 与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 ， 都是负数，此时都是负数，此时 角角的正弦值和余弦值分别用哪条线的正弦值和余弦值分别用哪条线 段表示？段表示？ sinycosx |sinMPy |sinMPy

4、 |cosOMxP P（x x，y y） O Ox x y y M M 思考思考3 3：为了简化上述表示，我们设想为了简化上述表示，我们设想 将线段的两个端点规定一个为始点，另将线段的两个端点规定一个为始点，另 一个为终点，使得线段具有方向性，带一个为终点，使得线段具有方向性，带 有正负值符号有正负值符号. .根据实际需要，应如何根据实际需要，应如何 规定线段的正方向和负方向？规定线段的正方向和负方向？ 规定：线段从始点到终点与坐标轴同向规定：线段从始点到终点与坐标轴同向 时为正方向，反向时为负方向时为正方向，反向时为负方向. . 思考思考4 4：规定了始点和终点，带有方向的线规定了始点和终点

5、，带有方向的线 段，叫做段，叫做有向线段有向线段. .由上分析可知，当角由上分析可知，当角 为第一、三象限角时，为第一、三象限角时，sinsin、coscos可分可分 别用有向线段别用有向线段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= sinMP= sin， OM=cosOM=cos，那么当角，那么当角为第二、四象限角为第二、四象限角 时，你能检验这个表示正确吗？时，你能检验这个表示正确吗？ P P（x x，y y） O Ox x y y M M P P（x x，y y） O Ox x y y M M 思考思考5 5：设角设角的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点 为为P P，过点，过点P P

6、作作x x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M M，称，称 有向线段有向线段MPMP，OMOM分别为角分别为角的的正弦线正弦线和和 余弦线余弦线. .当角当角的终边在坐标轴上时，的终边在坐标轴上时， 角角的正弦线和余弦线的含义如何？的正弦线和余弦线的含义如何？ P P O Ox x y y M M O Ox x y y P P P P 思考思考6 6：设设为锐角，你能根据正弦线和为锐角，你能根据正弦线和 余弦线说明余弦线说明sinsincoscos1 1吗？吗？ P P O O x x y y M MPMPOMOMOP=1OP=1 知识探究（二）：知识探究（二）：正切线正切线 A A T T 思

7、考思考1 1：如图，设角如图，设角为第一象限角，其为第一象限角，其 终边与单位圆的交点为终边与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，用哪条有向线段表示是正数，用哪条有向线段表示 角角的正切值最合适？的正切值最合适？ tan y x P P O Ox x y y M M tan y AT x A T T 思考思考2 2：若角若角为第四象限角，其终边为第四象限角，其终边 与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角是负数，此时用哪条有向线段表示角 的正切值最合适？的正切值最合适？ tan y x P P O O x x y

8、 y M M tan y AT x A A T T A A T T P P O Ox x y y M M 思考思考3 3：若角若角为第二象限角，其终边为第二象限角，其终边 与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是负数，此时用哪条有向线段表示角是负数，此时用哪条有向线段表示角 的正切值最合适？的正切值最合适？ tan y x tan y AT x tan y x 思考思考4 4：若角若角为第三象限角，其终边为第三象限角，其终边 与单位圆的交点为与单位圆的交点为P P（x x，y y），则），则 是正数，此时用哪条有向线段表示角是正数，此时用哪条有向线段表示角 的正切

9、值最合适？的正切值最合适？ P P O O x x y y M MA A T T A A T T tan y AT x 思考思考5 5：根据上述分析，你能描述正切线根据上述分析，你能描述正切线 的几何特征吗？的几何特征吗？ 过点过点A A（1 1，0 0）作单位圆的切线，与角）作单位圆的切线，与角 的终边或其反向延长线相交于点的终边或其反向延长线相交于点T T，则，则 AT=tanAT=tan. . A A T T O Ox x y y P P A A T T O Ox x y y P P 思考思考6 6：当角当角的终边在坐标轴上时，角的终边在坐标轴上时，角 的正切线的含义如何？的正切线的含义

10、如何？ si ntan 444 ppp si ntan 444 ppp si ntan 444 ppp si ntan 444 ppp si ntan 444 ppp O Ox x y y P P P P 当角当角的终边在的终边在x x轴上时，角轴上时，角的正切线的正切线 是一个点；当角是一个点；当角的终边在的终边在y y轴上时，角轴上时，角 的正切线不存在的正切线不存在. . 思考7：观察下列各式 你有什么猜想？ sin 思考思考8 8：对于不等式对于不等式 （其中（其中为锐角），你能用数形结合为锐角），你能用数形结合 思想证明吗？思想证明吗？ si ntanaaa O O x x y y

11、P P M M P P1 1P P2 23 2 y= ( )2cos1f aa=-( )2cos1f aa=- 例例3 3 求函数求函数 的定义域的定义域. .( )2cos1f aa=- 1 2 x= O Ox x y y P P2 2 M M P P1 1 1 2 x= P P 小结作业小结作业 1.1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，三角函数线是三角函数的一种几何表示， 即用有向线段表示三角函数值，是今后进一即用有向线段表示三角函数值，是今后进一 步研究三角函数图象的有效工具步研究三角函数图象的有效工具. . 2.2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而正弦线的始点随角的终边位置的变化而 变化，余弦线和正切线的始点都是定点，变化，余弦线和正切线的始点都是定点， 分别是原点分别是原点O