投影变换法PPT学习教案

1、会计学1 投影变换法投影变换法 2 b a c c b a l l n m m n PV QV 1 2 2 1 k k e e 2 2、连接两个共有、连接两个共有 点，画出交线点，画出交线KEKE 。 步骤：步骤： 1 1、用直线与平面、用直线与平面 求交点的方法求求交点的方法求 出两平面的两个出两平面的两个 共有点共有点K K、E E。 第1页/共46页 3 第2页/共46页 4 a c a c n n k f d b d b f k 第3页/共46页 5 第4页/共46页 6 例过点例过点M M作一平面垂直于作一平面垂直于 ABCABC，且平行于直线，且平行于直线DEDE。 X O a b

2、 c d e m a b c d e m 分析：过点分析：过点M M所作平面可由所作平面可由 一对相交直线来决定，只一对相交直线来决定，只 要使这一对相交直线分别要使这一对相交直线分别 成为平面成为平面 ABCABC的垂线和的垂线和 直线直线DEDE的平行线即可。的平行线即可。 第5页/共46页 7 例过点例过点M M作直线作直线MNMN同时与同时与ABCABC及及 EFGEFG平行平行 。 X O c d e f c a e f 分析分析1(1(逆推法逆推法) )：假设要求的直线：假设要求的直线MNMN已经作出，则根据几何定理，直线已经作出，则根据几何定理，直线MNMN必平等于必平等于ABC

3、ABC与与EFGEFG的交线的交线KLKL，因此要求直线，因此要求直线MNMN，只要先求出，只要先求出ABCABC与与EFGEFG的交线的交线KLKL，然后过点，然后过点M M作直线平行交线作直线平行交线KLKL即可。即可。 分析分析2 2（轨迹法）：所求解（轨迹法）：所求解MNMN轨迹之一为过点轨迹之一为过点M M且与且与ABCABC平行的平面；轨迹之二为过点平行的平面；轨迹之二为过点M M与与EFGEFG平行的平面，两轨迹的交线好为所求。平行的平面，两轨迹的交线好为所求。 g g b b m m 第6页/共46页 8 例例 已知点已知点K K到到ABCABC距离为距离为18mm18mm，求

4、点，求点K K正面投影正面投影 。 X O c a c a 分析：点分析：点K K的轨迹是与的轨迹是与 ABCABC距离为距离为18mm18mm的平的平 面面P P，点，点K K即在平面即在平面P P内内 ，则可利用平面内求，则可利用平面内求 点的作图方法求出所点的作图方法求出所 缺投影缺投影k k 。 b b k 第7页/共46页 9 例在直线例在直线ABAB上求作一点上求作一点K K与已知两点与已知两点E E、F F等距离。等距离。 X O a b b b 分析：点分析：点K K要与要与E E、F F两两 点等距离，其轨迹之一点等距离，其轨迹之一 是是E E、F F两点连线的中垂两点连线的

5、中垂 面面P P，而点，而点K K又要在直线又要在直线 ABAB上，因此，上述中垂上，因此，上述中垂 面面P P与直线与直线ABAB的交点就的交点就 是所求的点是所求的点K K。 f f e e 第8页/共46页 10 例已知直角三角形的一个直角边例已知直角三角形的一个直角边ABAB，并知其斜边，并知其斜边ACAC 平行于直线平行于直线DEDE，试完成，试完成ABC ABC 的两投影。的两投影。 X O d e d e 分析：分析： 首先分析直角关系。首先分析直角关系。 ABCABC的一个直角边为的一个直角边为ABAB，而斜边为，而斜边为ACAC，则，则B B90900 0，AB BCAB B

6、C。 其次进行空间的分析。直角其次进行空间的分析。直角ABCABC的斜边平行线直线的斜边平行线直线DEDE，当过点，当过点A A作直线作直线DEDE的平行线的平行线AFAF时，斜边时，斜边ACAC必在直线必在直线AFAF上，再根据直角边上，再根据直角边AB BCAB BC，点，点C C又在过点又在过点B B所作的所作的ABAB垂线的轨迹平面垂线的轨迹平面P P内，因此直线内，因此直线AFAF与平面与平面P P的交点就是所求的点的交点就是所求的点C C。 b a b a 第9页/共46页 11 例已知等腰例已知等腰ABC ABC 的正面投影及底边的正面投影及底边ABAB的水平投的水平投 影，试完

7、成影，试完成ABC ABC 的水平投影。的水平投影。 X O a b a b 分析：首先分析直角关系。分析：首先分析直角关系。 等腰等腰ABCABC的底边为的底边为ABAB，则高，则高CDCD必垂直平分必垂直平分ABAB。 其次进行空间的分析。因其次进行空间的分析。因CDABCDAB，且，且D D为底边为底边ABAB的中点，则点的中点，则点C C在过点在过点D D并垂直于底边并垂直于底边ABAB的平面的平面P P。点。点C C在平面在平面P P内，故可用平面内求点的作图方法求出所缺的投影。内，故可用平面内求点的作图方法求出所缺的投影。 c 第10页/共46页 12 例已知矩形例已知矩形ABCD

8、ABCD的一边的一边BCBC，另一边，另一边ABAB平行于平行于， 且顶点且顶点A A位于位于H H面上方面上方10mm10mm处，试完成该矩形的两投影。处，试完成该矩形的两投影。 X O c b c b 分析：首先分析直角关系。由于矩形分析：首先分析直角关系。由于矩形ABCDABCD的一边为的一边为BCBC，另一边为，另一边为ABAB，则，则B B90900 0，ABBCABBC。 其次进行空间分析。矩形其次进行空间分析。矩形ABCDABCD的边的边BCBC已知，另一边已知，另一边ABBCABBC，则点，则点A A必在过点必在过点B B所作的垂直于边所作的垂直于边BCBC的平面的平面P P内

9、，再根据内，再根据AB AB I II IIII II III及点及点A A在在H H面上方面上方10mm10mm的条件即可求出点的条件即可求出点A A，完成该矩形。，完成该矩形。 3 2 1 3 2 1 第11页/共46页 13 例已知等腰例已知等腰ABCABC的高在直线的高在直线ADAD上，腰上，腰ABAB平行于直线平行于直线EFEF，且长度等于，且长度等于 23mm23mm，试作出，试作出ABC ABC 的两投影。的两投影。 X O a d a d 分析：首先分析直角关系。由于等腰分析：首先分析直角关系。由于等腰ABCABC的高在直线的高在直线ADAD上，因此上，因此BCBC为底边，直线

10、为底边，直线ADAD为底边为底边BCBC的中垂线，点的中垂线，点K K为垂足，即底边为垂足，即底边BCBC的中点。的中点。 其次进行空间分析。先根据腰其次进行空间分析。先根据腰ABAB平行于直线平行于直线EFEF，且长度等于，且长度等于23mm23mm的已经条件把点的已经条件把点B B的位置确定下来，有了点的位置确定下来，有了点B B后，由于后，由于ADBCADBC，由底边，由底边BCBC必在边点必在边点B B所作的垂直于直线所作的垂直于直线ADAD的平面的平面P P内，而直线内，而直线ADAD与平面与平面P P的交点即为点的交点即为点K K，再根据，再根据BKBKCKCK，即可求出点，即可求

11、出点C C，完成等腰，完成等腰ABCABC。 e f e f 第12页/共46页 14 例过点例过点A A作直线分别交作直线分别交DEFDEF于于B B，交直线，交直线MNMN于于C C，使，使AB=BCAB=BC。 X O e f d f m n m n e d a a 第13页/共46页 15 1.1. 掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。掌握换面法的基本原理和换面法作图的投影变换规律。 2.2. 掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的掌握用换面法求线段实长、平面图形实形及其对投影面的 倾角基本作图方法。倾角基本作图方法。 3.3. 掌握用换面法解决一般空间几何元素

12、间的定位和度量问题掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题 。 第14页/共46页 16 f e e f b a a c b c 1 2 QV 2 1 k k 步骤：步骤： 1 1、过、过EFEF作正垂作正垂 平面平面Q Q。 2 2、求、求Q Q平面与平面与 ABCABC的交线的交线 。 3 3、求交线、求交线 与与EFEF的交点的交点K K。 第15页/共46页 17 b b a a c c m m n n 由于特殊位置平面的某些投影有积聚性由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交点可直接求出。交点可直接求出。 V H PH P A B C a c b k N K M k k 第1

13、6页/共46页 18 当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，它 们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角，当它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与投影面的倾角，当它 们处于垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。们处于垂直位置时，其中有一投影具有积聚性。 当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影就不具 备上述的特性。备上述的特性。 图解问题的难易程度不仅取决于问题本身的复杂程度，而且在图解问题的难易程度不仅取决于问题本身的复杂程度，而且在 很大程度上

14、，还取决于几何元素与投影面的相对位置。很大程度上，还取决于几何元素与投影面的相对位置。 投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或 垂直的位置，以简便地解决它们的定位和度量问题。垂直的位置，以简便地解决它们的定位和度量问题。 第17页/共46页 19 换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替换面法就是保持空间几何元素不动，用新的投影面替 换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于换旧的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于 解题的位置。解题的位置。 一、换面法的基本概念一、换面法的基本概念 二、新投影面的选择

15、原则二、新投影面的选择原则 三、点的投影变换规律三、点的投影变换规律 四、六个基本问题四、六个基本问题 第18页/共46页 20 a a b b a a b b c c d d b a a b c c d da a b b c c a a b b 两点之间距离 a ab b c c 三角形实形 a a b b c c d d 直线与平面的交点 a b c d a b cd 两平面夹角 一般点线面与特殊点线面对比图一般点线面与特殊点线面对比图 第19页/共46页 21 换面法换面法空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影 面，使

16、对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投 影面上的投影。影面上的投影。 第20页/共46页 22 V A H C B c b X a a b c a1 c1 b1 V1 X1 X1 V V/ /H H 体系变为体系变为V1V1/ /H H 体系体系 c1 b1 a1 bc a b a c X 第21页/共46页 23 新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1 1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。 2 2、新投影面

17、必须垂直于一个不变投影面。、新投影面必须垂直于一个不变投影面。 V A H C B c bX a a bc V1 X1 c1 b1 a1 第22页/共46页 24 1 1、点的一次变换、点的一次变换 2 2、点的投影变换规律、点的投影变换规律 3 3、点的两次变换、点的两次变换 第23页/共46页 25 V H X H X1 V1 a1 a A a 第24页/共46页 26 a1 V H X a X V H a X1 V1 a1 V1 a1 X1 H V1 a A a 第25页/共46页 27 a1 X1 H V1 a X V H a 点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴。点的新投影和

18、不变投影的连线，必垂直于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离点的新投影到新投影轴的距离等于点的旧投影到旧投影轴的距离 。 第26页/共46页 28 V H X H1 X1 X1 H1 V a1 X V H a a a1 a A a 第27页/共46页 29 V X H a2 a a a1 X V H X1 H V1 V1 X1 X2 H2 V1 H2 X2 a2 a1 a A a 第28页/共46页 30 （一）、把一般位置直线变为投影面平行线（一）、把一般位置直线变为投影面平行线 （二）、把投影面平行线变为投影面垂直线（二）、把投影面平行线变为投影面垂直线 （

19、三）、把一般位置直线变为投影面垂直线（三）、把一般位置直线变为投影面垂直线 （四）、把一般位置平面变为投影面垂直面（四）、把一般位置平面变为投影面垂直面 （五）、把投影面垂直面变为投影面平行面（五）、把投影面垂直面变为投影面平行面 （六）、把一般位置平面变为投影面平行面（六）、把一般位置平面变为投影面平行面 第29页/共46页 31 V H X A a B b a b V1 X1 a1 b1 a1 b1 X1 V1 H b a b a X V H 第30页/共46页 32 b a b a X H V X H1 V a1 b1 例题例题1 1、把一般位置直线变为、把一般位置直线变为H1H1投影面

20、平行线投影面平行线 第31页/共46页 33 V H X a A a b B b H1 X1 X1 H1 V a1 b1 X V H a a a1 b b 第32页/共46页 34 X H a A a b b B V V1 X1 H1 a2 b2 a1 b1 第33页/共46页 35 X H1 V1 a a X V H b b a2 b2 X H V1 a1 b1 第34页/共46页 36 a a X b b c c X H1 V1 a a X V H b b a2 b2 X H V1 a1 b1 提示 第35页/共46页 37 a a X b b c d c d X H1 V1 a a X V H b b a2 b2 X H V1 a1 b1 V 提示 第36页/共46页 38 X2 H2 V