拉普拉斯反变换的部分分式展开[教学内容]

1、小组成员：小组成员： 杨朦朦、王曼、薛久明、刘影杨朦朦、王曼、薛久明、刘影 1 各行业各行业 一、部分分式展开法一、部分分式展开法 象象函数通常可表示为两个实系数的函数通常可表示为两个实系数的s的多项的多项 式之比，即式之比，即s的一个有理分式的一个有理分式 )(sF 式中式中m和和n为正整数，且为正整数，且nm。 )( )( sD sN n nn m mm bsbsb asasa . . 1 10 1 10 2 各行业各行业 分解定理分解定理 把把F(s)分解成若干简单项之和，分解成若干简单项之和， 而这些简单项可以在拉氏变换表中找到，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到， 这种方法称为部分分

2、式展开法，或称为这种方法称为部分分式展开法，或称为分解分解 定理定理。 用部分分式展开有理分式用部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有时，需要把有 理分式化为真分式。理分式化为真分式。 若若n=m，则，则 )( )( )( 0 sD sN AsF 3 各行业各行业 若若nm，则为真分式。，则为真分式。 真分式用真分式用部分分式部分分式展开，展开， 需要对分母多项式作因式分解，需要对分母多项式作因式分解， 求出求出D(s)=0的根。的根。 D(s)=0的根可以是的根可以是 单根单根 共轭复根共轭复根 重根重根 三种情况。三种情况。 n nn m mm bsbsb asasa sD sN sF

3、. . )( )( )( 1 10 1 10 4 各行业各行业 二、二、D(s)=0具有单根的情况具有单根的情况 如果如果D(s)=0有有n个单根，设个单根，设n个单根分别是个单根分别是 p1、p2、pn。 于是于是F(s)可以展开为可以展开为 n n ps K ps K ps K sF .)( 2 2 1 1 将上式两边都乘以将上式两边都乘以(s-p1)，得，得 )()( 1 sFps 令令s=p1，得，得 K1=(s-p1)F(s)s=p1 ).)( 2 2 1 n n ps K ps K ps 1 K 5 各行业各行业 确定待定系数的公式为确定待定系数的公式为 Ki=(s-pi)F(s)

4、s=pi 同理可求得同理可求得K2、K3、Kn 6 各行业各行业 例：求例：求F(s)的原函数的原函数 sss s sF 107 12 )( 23 解：解： sss s sF 107 12 )( 23 D(s)=0的根为的根为p1=0p2=-2p3=-5 1 K=0.1 )5)(2( 12 sss s 0 )5)(2( 12 s ss s 2 K=0.5 2 )5( 12 s ss s 7 各行业各行业 3 K=-0.6 5 )2( 12 s ss s K1=0.1K3=-0.6K2=0.5 综综上可知：上可知： - 0.6e-5tf(t)= 0.1 + 0.5e-2t 5 6 . 0 2 5

5、 . 01 . 0 )( sss sF 8 各行业各行业 三、三、D(s)=0的具有共轭复根的情况的具有共轭复根的情况 p1=a+jp2=a-j K1=(s- a-j)F(s)s= a+j K2=(s- a+j)F(s)s= a-j n n ps K ps K ps K sF .)( 2 2 1 1 9 各行业各行业 例：求例：求F(s)的原函数的原函数 52 3 )( 2 ss s sF 解：解：D(s)=0的根为的根为 p1=-1+j2p2=-1-j2 1 K =0.5-j0.5 21 21 3 js js s 45 25 . 0 j e 先变形先变形s2+2s+5=0 s2+2s+1+4

6、=0 (s+1)2+4=0 10 各行业各行业 52 3 )( 2 ss s sF p1=-1+j2p2=-1-j2 2 K=0.5-j0.5 21 21 3 js js s 45 25 . 0 j e xjxe jx sincos欧拉公式欧拉公式 11 各行业各行业 四、四、D(s)=0具有重根的情况具有重根的情况 D(s)应含应含(s-p1)n的因式的因式 现设现设D(s)中含有中含有(s-p1)3的因式，的因式， p1为为D(s)=0的三重根，的三重根， 其余为单根，其余为单根， F(s)可分解为可分解为 n i i i ps K ps K ps K ps K sF 2 3 1 11 2

7、 1 12 1 13 )()()( )( 12 各行业各行业 K11 = ( s-p1 )3F(s)|s = p1 上式两边都乘以上式两边都乘以(s-p1)3 ，则，则K11被单独分离出来被单独分离出来 )()( 3 1 sFps n i i i ps K ps K ps K ps K sF 2 3 1 11 2 1 12 1 13 )()()( )( 1、K11的求法的求法 11 K 121) (Kps n i i i ps K ps 2 3 1 )( )( 13 2 1) (Kps 13 各行业各行业 上式两边对上式两边对s求导求导 ，则，则K12被分离出来被分离出来 )()( 3 1 s

8、Fps ds d 1 )()( 3 112ps sFps ds d K n i i i ps K ps KKpsKpssFps 2 3 1 1112113 2 1 3 1 )( )( )()()()( 2、K12的求法的求法 131) (2Kps 12 K n i i i ps K ps ds d 2 3 1 )( )( 14 各行业各行业 1 )()( 2 1 3 1 2 2 13ps sFps ds d K 3、K13的求法的求法 用同样的方法可得用同样的方法可得 n i i i ps K ps K ps K ps K sF 2 3 1 11 2 1 12 1 13 )()()( )( f

9、(t)= tp eK 1 13 tp teK 1 12 tp etK 1 2 11 2 1 n i tp i i eK 2 15 各行业各行业 4、 D(s)=0具有具有q阶重根，其余为单根的分解式阶重根，其余为单根的分解式 n i i i q qq ps K ps K ps K ps K sF 2 1 11 2 1 )1(1 1 1 )()( . )( )( 式中式中K11 = 12 K 13 K 1 )()( )!1( 1 1 1 1 1ps q q q q sFps ds d q K ( s-p1 )qF(s)|s = p1 1 )()( 1ps q sFps ds d 1 )()( 2

10、 1 1 2 2 ps q sFps ds d 16 各行业各行业 例：求例：求F(s)的原函数的原函数 32 ) 1( 1 )( ss sF 解：解：D(s)=0的根为的根为p1=-1为三重根为三重根p2=0为二重根为二重根 2 2122 3 11 2 1213 ) 1() 1(1 )( s K s K s K s K s K sF 首先以首先以(s+1)3乘以乘以F(s)得得 2 3 1 )() 1( s sFs 1 2 1 s s K11 = ( s-p1 )3F(s)|s = p1=1 17 各行业各行业 1 22 2 13 1 2 1 s sds d K 1 4 6 2 1 s s =3 1 2 1 s sds d 1 3 2 s s 1 )()( 3 112ps