测试技术(第一章)3

1、工程测试技术 郭世伟 第一章第一章 信号分析基础（三）信号分析基础（三） 五、随机信号 （一）随机信号的特征 随机信号不能用确定的数学表达式表达。随机信号不能准确预 测与复现，只能通过大量观测记录，可用离散数据序列、图形形式 等描述。用数理统计的原理描述其特征。 对随机过程进行多次 长时间的观测。 每次观测为一个样本 函数，有限时间区间内 为一个样本记录。 ),(),(),()( 21 txtxtxtx i 随机过程的统计参数有：均值、方差、均方值和均方根值等。 集合平均和时间平均概念 N i i N x tx N t 1 11 )( 1 lim)( N i i N x tx N t 1 1

2、2 1 2 )( 1 lim)( T i T x dxtx T i 0 )( 1 lim)( T i T x dxtx T i 0 22 )( 1 lim)( （这些概念也可应用于周期信号）（这些概念也可应用于周期信号） 随机过程的分类： 各态历经随机过程 非各态历经随机过程 平稳随机过程 非平稳随机过程 随机过程 平稳随机过程的集合平均值、方差值等不随时间改变，为 常数值。 对于各态历经随机过程，其任意样本函数均包括了该随机 过程的全部特征。可从单个样本函数中取若干样本记录，用其 时间平均的统计特征来估计整个随机过程的特征。 实际工程中的随机过程大多为各态历经性的，或在某一范 围内具有各态历

3、经性。以下均指的是各态历经性随机过程。 （二）信号的幅值域分析（二）信号的幅值域分析 各态历经随机过程的幅值域分析主要有：均值、均方值、方 差等数字特征参数，和概率密度函数描述。 1、数字特征参数 （1）均值 均值 Ex(t) 表示集合平均值或数学期望值。 对于各态历经随机信号，也可用一个样本函数的时间平均描述。 实际中用样本记录来估计其均值 T x dxtx T 0 )( 1 T T Tx dttxtxE 0 1 )(lim)( 均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。 （2）均方值 信号的均方值Ex2(t)，反映了信号的强度（平

4、均功率）；其正平方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平 均能量的一种表达。 定义和估计值分别为： T x dxtx T 0 2 2 )( 1 工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。 22 1 2 0 x T T T E xtxt dt ( )lim( ) dttx T xx 2 0 2 )( （3）方差）方差 信号信号x(t)的方差定义为：的方差定义为： 方差：反映了信号绕均值的波动程度。方差：反映了信号绕均值的波动程度。 22 1 2 0 x T T x T E x tE x tx tdt ( ( ) ( ) lim( ( ) 大方差大方差

5、小方差小方差 估计值为 2、概率密度函数、概率密度函数 limlim 1 0 T T T x x x x xxtxxP x xp )( lim)( 以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的概率为纵坐 标进行统计分析的方法。标进行统计分析的方法。 它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。它反映了信号落在不同幅值强度区域内的概率情况。 在样本记录在样本记录x(t)中，幅值落在某指定区间中，幅值落在某指定区间 内的总时内的总时 间为：间为： ),(xxx n i inx ttttT 1 21 幅值落在该区间的概率为：幅值落在该区间的概率为：

6、 T T xxtxxP x T lim)( 概率密度函数反映了信号的瞬时值落在指定幅值区间内的概率。概率密度函数反映了信号的瞬时值落在指定幅值区间内的概率。 也可用直方图表示：也可用直方图表示： 以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的 频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。 0 0 1010 2020 3030 4040 5050 6060 7070 8080 9090 -1-1-0.5-0.50.50.51 1 直方图直方图概率密度函数概率密度函数 归一化归一化 3、概率分布函数、概率分布函数 概率分布函数是信号

7、幅值小于或等于某值概率分布函数是信号幅值小于或等于某值r的概率，其定的概率，其定 义为：义为： 落在某一区间落在某一区间 的概率为：的概率为： r dxxprtxPrP)()()( ),( 21 xx 2 1 )()( 21 x x dxxpxtxxP 4、由概密函数可求各数字特征参数： dxxpx dxxpx dxxxp xx x x )( )( )( 2 2 22 方差 均方值 均值 概密函 数图形 特征， 可用以 判断信 号性质 用于机械故障诊断用于机械故障诊断 （三）信号的相关分析（三）信号的相关分析 相关函数可相关函数可 定量地表示定量地表示 信号波形间信号波形间 的相似程度。的相似

8、程度。 1、相关的概念、相关的概念 相关指变量之间的相依关系，统计学中用相关指变量之间的相依关系，统计学中用相关系数相关系数 来描述变量来描述变量x，y之间的相关性。之间的相关性。 是两随机变量之积的是两随机变量之积的 数学期望，称为相关性，表征了数学期望，称为相关性，表征了x、y之间的关联程度。之间的关联程度。 2/ 122 )()( )( yx yx yx xy yExE yxEc xy xy x y 1 xy x y 1 xy x y 10 xy x y 0 xy 2 、相关函数、相关函数 相关函数可定量描述两信号波形的相似程度。 平稳随机过程的相关函数不随时间起点而改变，为时差的 函数

9、，即仅与两信号间的相对移动量有关，故相关函数为时差 的函数，反映了两信号在时移中的相关性，称为相关函数（又 称时差域分析）： 0 1 ( )lim( ) () T xy T Rx t y tdt T 0 1 ( )lim( ) () T yx T Ry t x tdt T 称为互相关分析。当称为互相关分析。当 时，时，( )( )x ty t 0 1 ( )lim( ) () T x T Rx t x tdt T 称为自相关函数：称为自相关函数： ( )() xyyx RR 由定义可知：由定义可知：)()( xx RR 计算时，令计算时，令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差二个信号之间产生

10、时差，再相乘和，再相乘和 积分，就可以得到积分，就可以得到时刻二个信号的相关性。时刻二个信号的相关性。 x(t) y(t) 时时 延延 器器 乘乘 法法 器器 y(t-) X(t)y(t-) 积积 分分 器器 Rxy() 相关分析的相关分析的 离散化计算离散化计算 信号间为了具有相互定量可比性，用均值和方差进行处理，信号间为了具有相互定量可比性，用均值和方差进行处理， 消除均方值不等的影响，成为相关系数：消除均方值不等的影响，成为相关系数： ( ) ( ) xyxy xy R xy 实际计算中用有限积分时间的离散值估算：实际计算中用有限积分时间的离散值估算： 0 1 11 ( )( ) ()

11、N T xyii i Rx t y tx y TN 0 1 11 ( )( ) () N T xii i Rx t x tx x TN 相关系数相关系数 ，其值越大，相似程度越高。，其值越大，相似程度越高。 等于等于1时两波形完全相似，但为时两波形完全相似，但为-1时相位相反，等于时相位相反，等于0 时两波形间不存在相似关系。时两波形间不存在相似关系。 ( )1 xy 2 2 ( ) ( ) xx x R x 相关函数的性质相关函数的性质 相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似 程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。程度，通

12、过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。 自相关函数性质：自相关函数性质： （1）自相关函数是）自相关函数是 的偶函数，的偶函数，Rx( )=Rx(- )； （2）当）当 =0 时，时，自相关函数具有最大值，且自相关函数具有最大值，且 （3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但 不保留原信号的相位信息。不保留原信号的相位信息。 (0)1 x 互相关函数性质：互相关函数性质： （1）不是偶函数，但有）不是偶函数，但有 （2）两等周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且）两等周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且 保留原了信

13、号的相位信息。保留原了信号的相位信息。 （3）两个非同频率的周期信号互不相关，且）两个非同频率的周期信号互不相关，且 。 （4）随机信号的相关函数将随）随机信号的相关函数将随 的增大快速衰减。的增大快速衰减。 ( )() xyyx RR lim( ) xyxy R 相关分析的工程应用相关分析的工程应用 案例：案例：机械加工表面粗糙度自相关分析机械加工表面粗糙度自相关分析 被测工件被测工件 相关分析相关分析 提取出回转误差等周期性的故障源。提取出回转误差等周期性的故障源。 用来检测混淆在干扰信号中的确定性周期信号成分。用来检测混淆在干扰信号中的确定性周期信号成分。 案例：案例：自相关分析测量转速

14、自相关分析测量转速 理想信号理想信号 干扰信号干扰信号 实测信号实测信号 自相关系数自相关系数 提取周期性转速成分。提取周期性转速成分。 案例：案例：地下输油管道漏损位置的探测地下输油管道漏损位置的探测 案例：案例： AGV小车定位，声位笔定位小车定位，声位笔定位 相关测速法相关测速法 运动物体速度的测量运动物体速度的测量 案例：案例：互相关汽车测速互相关汽车测速 互相关分析可应用于：互相关分析可应用于： 同频检测技术，相关滤波器，从噪声背景中分离出有用信号。同频检测技术，相关滤波器，从噪声背景中分离出有用信号。 滞后时间确定滞后时间确定 信号源定位信号源定位 测速测速 测距离测距离 教材中例

15、题的讲解教材中例题的讲解 （四）功率谱密度分析（四）功率谱密度分析 功率谱分析是从频域研究平稳随机过程的重要方法。 1、自功率谱密度函数、自功率谱密度函数 平稳随机信号的相关函数和功率谱是傅立叶变换的关系， 定义自功率谱密度函数为： dfefSR deRfS fj xx fj xx 2 2 )()( )()( 它为双边谱，也有单边谱密度函数，定义域为 ，有： )(2)(fSfG xx ), 0 此即著名的此即著名的维纳维纳辛钦公式辛钦公式 2、功率谱的物理意义、功率谱的物理意义 时，有：0 2 0 2 )( 1 lim)0( xx T T x dffSdttx T R 可见，自功率谱密度函数曲

16、线与频率轴包围的面积就等于可见，自功率谱密度函数曲线与频率轴包围的面积就等于 信号的平均功率，则自功率谱密度函数就是单位频带宽度内的信号的平均功率，则自功率谱密度函数就是单位频带宽度内的 信号功率，描述了信号功率随频率的分布规律，具有功率密度信号功率，描述了信号功率随频率的分布规律，具有功率密度 的含义。的含义。 3、自功率谱密度函数与幅频谱之间的关系、自功率谱密度函数与幅频谱之间的关系 由频率卷积定理推导得帕什瓦尔能量积分等式： dffXdttx 2 2 )()( 在整个时间轴上的信号平均功率为： dffX T dttx T P T T T av 2 0 2 )( 1 lim)( 1 lim

17、 2 0 2 )( 1 lim)0( xx T T x dffSdttx T R 2 )( 1 limfX T fS T x ）（比较得知： 2 )( 1 fX T fSx）（估计值为： 性质： （1）自功率谱密度函数为实偶函数。 （2）自功率谱密度函数不仅可由相关函数的傅立叶变换得到， 也能由信号幅值频谱得到，但失去了原信号的相位信息。 （3）信号的自功率谱密度函数和幅值频谱函数均反映了原信 号的频谱结构，但前者反映的是幅频谱的平方，使原信号的频 谱结构特征更为明显。 周期图法建立在FFT的基础上，它为一种经典谱估计法， 还需要对它进行平滑处理，如分段平均。 4、互功率谱密度函数、互功率谱密

18、度函数 （1）互功率谱密度函数与互相关函数间关系为傅立叶变换。 dfefSR deRfS fj xyxy fj xyxy 2 2 )()( )()( 互功率谱密度函数不象自功率谱那样有明显物理意义，但可 在频域内描述两个随机信号的相关性。 实际计算中的互谱估计式为： )()( 1 fYfX T fSxy ）（ （2）相干函数 常用相干函数来描述输入信号和输出信号之间的因果性，即输 出信号的功率谱中有多少是输入量所引起的响应。 相干函数定义为： )()( )( )( 2 2 fSfS fS f yx xy xy 1)(0 2 f xy 在。时，有三种可能情况存界于 且线性系统不受干扰。 出信号间完全相干，时，表示输入信号和输 出信号间不相干；时，表示输入信号和输 10)( 1)( 0)( 2 2 2 f f f xy xy xy （3）功率谱的应用 用互谱可求线