解对数不等式

1、解对数不等式北京市五中李欣教学目标1熟练掌握解对数不等式的基本方法.2培养学生根据不等式的性质及对数函数的性质将对数不等式转化成与之等价的 不等式（组）的能力.3强化等价转化是解不等式的基本数学思想方法，提高学生分析问题和解决问题 的能力.教学重点与难点对数不等式的同解变形.教学过程设计（一）简单对数不等式的解法例 1 解不等式：kg!（x2 - 2x 2）0.2师：请同学们观察例1中不等式的特征是什么？生：左边是以秒为底x2 2x 2的对数，右边是0-师：要想求得不等式的解集，同学们准备怎么做？主 把原不等式化为lo呂1 -生-2）阴11.因= log 减函数，所以322得到x2 2x 2V

2、 1一元二次不等式我们是会解的.师：刚才同学把对数不等式转化成了会解的不等式，这种把未知转化成已知的做法是数学的基本思想方法之一.你是怎么想到把0变成10gll?生：我联想到解对数方程的“同底法”师：解方程的理论依据是方程的同解原理不等式的转化是否也要考虑同解的因素 呢？生：刚才的解法有漏洞对数函数的定义域是x (0,+ ) 因此应先考虑x2 2x 20再与x2 2x 2v 1取交集，才能得到不等式的解集.师：他说得很好！凡是研究函数问题，都要首先考虑函数的定义域.由于一元一次方程和一元二次方程的解集都是有限集，通过检验就可以判定是否有增根，而不等式的解集常常是无限集，不等价变形有可能使解集扩

3、大，然而又无法检 验因此，把对数不等式转化为代数不等式的变换必须是等价变换.在具体运算时，应严格按照步骤和格式书写.板书如下：解：原不等式Jx2 - 2x- 20, Jxl-占或Q1+ 柘，(x2- 2e- 21|-lx3O - 1x0,下一步怎么办？生甲=根据对数运算法则可以扌巴不等式化为1他仝gyAlogJ6 - X + K生乙：原不等式可以化为Iog33(x + 2) Iog3(6 x + x2)在后面的运算中可以避免解分 式不等式.师：考虑的很周密为了保证不等式解集的准确性，同学们在把对数不等式转化成 代数不等式的时候，一定要采取适当的方法使后面的运算顺畅，解不等式的过程愈简捷，准确率

4、就愈高.解题过程如下：解：原不等式可化为2log3(x + 2) + log33 Iog3(6 x+ x )x+ 20,(x 一 2、3(x+2)6-z + x2 0x0且a工1)请同学思考，不等式该怎样求 解？生：根据对数函数的性质，分别对 a 1或0v av 1来进行讨论.例 3 解不等式：Ioga(x2 4) Ioga(x + 2)(a 0 且 a工 1).解：当a 1时,xa-40,原不等式x2 - 4 u + 2x 3当0v av 1时,原不等式Oxs-40,耳 +/ 42，。耳一2*o了*-2x 1时，原不等式解集为（3，十 ）;当Ov av 1时，原不等式解集为（2,3).师：例

5、3中运用了分类讨论的数学思想方法注意由于a的取值范围不同，所以最后的解集不能写成并集的形式.例4解不等式吨声+ 4 logx20.3师：要解例4显然需先把不等式左侧化为同底的对数，请同学考虑对哪个对数使用 换底公式?生|扌Clog,2化为百丄这时未知数就在真数的位置上，康不等式可以化为3loglx-0.再令u=2gi监则原不等式化为u-0,这时再用解分式不 j 1姑弹j等式的方法鼻解集.师：在解不等式时，换元法是很常用的数学方法.符合使运算简便易行的原则.同学们不妨一试.解法如下：解原不等式可化为log用-0.子 logi令0 = 1殆1瓠则原不等式化为u-0 0 0-2u0 或 4.所JiX

6、- 2log 2.,334所以原不等式的解集是(0,U(X 4).(三) 本课小结1解对数不等式的关键是正确地进行等价转化要熟练掌握解一般对数不等式的 基本方法如：当曰1 时，log揖仗)。0f(x)g(x)；当Oal0t, logf(x)g(x)0.爭辛2等价转化的理论根据是对数的定义，以及对数函数的单调性.3要注意数学思想方法的运用，如：分类讨论、换元、化归转化等等，提高解题 速度和解题的准确率.(四) 补充作业：1解下列不等式：2(1) lg(x 3x 4) lg(2x + 10);(2) logo.i(x2 2x 2) 0;2(3) loga(x x) loga(x +1), (a 为

7、常数且 a 1)；(4) logi(x+ l)4-log1(6-x)logl12j(5) 2(log1j)a +71og1x + 30.2 2 X2. *解关于x的不等式：1 、 loga(l-)l；(8) loga(x2 -x- 2)logj 1(a0且* 1)-4X = 0*可根据生实际情况，酌情处理.作业的答案或提示(1) 原不等式卜一 1或0 兀-5,LiC - 2或盟7/一玉一 30,一盪一 42盟+ 10 o - 5sC - 2或:7*(2) 原不等式Jx2 - 2x 20,Jxl+ 忌-缶- 21 ( - 1直3O 一庞或1 十 V2x 1时，原不等式O &+ 10*3 或 Q1

8、,X- LXC 1 L 或孟 11 +、任Xo - 1xC 1 + /2或梵1+旋；(4) 原不等式1x 4- 1(L6-x0,O -2或3疋&(x + 1)(6 x) 12(5) 令u = logjx,则原不等式化为2u2 + 7u+3C02 -3uC - log ! SC log J kC log ! 2 a/2CkC8jZ-x(6) 原不等式 - Qo,O 2 - log： Q sc) log 声OO或4耳王x(5-x)4L(7)当a 1时，原不等式由al知，1一辺0,所以的解为亠 丄1.1 - a X由0 v av 1知，原不等式由0a0,故的解为lxy因此当D1时解集为z|-x0)；

9、1 - a当0Kl时，解集为(x|Kx 1时,x1-x-20, O 彳 4x60O .x2 x-24x 6当0v av 1时,x3 x_ 20* O 4比一60,O 2蛊4*_x_ 2 1时，解集为(4,);当Ov av 1时，解集为(2, 4).课堂教学设计说明1 因势利导，由“误”到悟解对数不等式的关键是合理进行等价转化，但学生的思维不会一步到位，需要有一 个循序渐进的过程因此，我在例 1的提问中，没有做过多的启发，而是由学生自己发 现错误，产生认知冲突，从而得到启悟，正确地解决了问题例4的处理也是这样，学生出现的错误是很常见的，由此引起学生的争论，教师及时地进行正确引导，使学生在 辩悟中留下深刻的印象.2 层层深入，引发兴趣数学的灵感来自于分析、思考的过程，掌握解对数不等式的基本方法，对学生来说 并不困难，因而在例题的配备上一定要有梯度，让学生有步步登高的感觉，这样才能引 导学生的学习兴趣，从而产生积极的思维在分析思考的过程中产生顿悟.不同地区和学校的教师可根据学生的实