概率论第一章复习习题课

1、第一章：习题课第一章：习题课 1 1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。系及运算。 2 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。质。 3 3 给出了古典概率的定义及其计算公式。给出了古典概率的定义及其计算公式。 4 4 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率 公式和贝叶斯公式。公式和贝叶斯公式。 5 5 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。独立性进行概率计算。 第一章 小 结 返回主目录

2、1 1 阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关阐述了随机试验的特征以及随机事件之间的关 系及运算。要求：理解系及运算。要求：理解 第一章 习题课 返回主目录 10 包含关系包含关系 20 和事件和事件 30 积事件积事件 40 差事件差事件 50 互不相容互不相容 60 对立（互逆）事件对立（互逆）事件 BA BA ABBA BA BA SBABA 且且 返回主目录 “A发生必然导致发生必然导致B发生发生” “A，B中至少有一中至少有一发生发生” “A与与B同时发生同时发生” “A发生但发生但B不发生不发生 ” “A与与B不能不能同时发生同时发生” ABBA 或或记记 事件间的关系与运算举例

3、；事件间的关系与运算举例； 返回主目录 “A，B，C中至少有一中至少有一发生发生” ：CBA “A，B，C中至少有两中至少有两发生发生” ： ACBCAB “A，B，C中最多有一中最多有一发生发生” ： CBACBACBACBA ACBCAB BABABABA , De Morgan De Morgan定律定律: : 随机事件的运算规律随机事件的运算规律 第一章 习题课 2 2 给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性给出了随机事件的频率及概率的含义和基本性 质。要求熟练掌握概率的基本性质：质。要求熟练掌握概率的基本性质： 返回主目录 ;)(01 0 AP （非负性）（非负性） ;1)(2 0

4、 SP （正则性或正规性）（正则性或正规性） 则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若,3 2 0 1 AA .)()()( 2121 A P A P AA P （可列可加性）（可列可加性） （1） 概率的（公理化）定义概率的（公理化）定义 第一章 习题课 返回主目录 则则是是两两两两互互不不相相容容事事件件若若性性质质,2 21 AAAn )()()( )( 21 21 A P A P A P AAA P n n （有限可加性）（有限可加性） )()( )()()(3 APBP APBPABPBA 性性质质（包含可减性）（包含可减性） （非降性）（非降性） ;1)(4 AP性质性质 ;)

5、(1)(5APAP 性质性质 （逆事件的概率公式） 。性性质质)()()()(6ABPBPAPBAP （2） 概率的性质与推广概率的性质与推广 ;0)(1 P性质性质 （加法公式） 第一章 习题课 返回主目录 )( )()()( )()()()() 1 ABCP BCPACPABP CPBPAPCBAP （加法公式） )()()()()2ABPBPABPABP 重重 要要 推推 广广 常用公式常用公式 )(1)()(CBAPCBAPCBAP 第一章 习题课 特点是：特点是： 样本空间的元素只有有限个；样本空间的元素只有有限个； (有限性有限性) 每个基本事件发生的可能性相同。（等可能性）每个基

6、本事件发生的可能性相同。（等可能性） 3 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型） 等可能概型 返回主目录 .)( 中中基基本本事事件件总总数数 包包含含的的基基本本事事件件数数 即即： S A AP 随机事件的概率随机事件的概率: 第一章 习题课 二、缩小样本空间法二、缩小样本空间法-适用于古典概型适用于古典概型 返回主目录 一、公式法一、公式法 )0)( AP )( )( )( AP ABP ABP 设事件A所含样本点数为样本点数为 ,事件AB所含样本样本 点数为点数为 ,则则 A AB n n ABP )( A n AB n 4 4 给出了条件概率的定义及乘法公式、全概率给出了条件概

7、率的定义及乘法公式、全概率 公式和贝叶斯公式。要求掌握：公式和贝叶斯公式。要求掌握： （1）条件概率的定义、计算公式：）条件概率的定义、计算公式： 第一章 习题课 返回主目录 （2） 乘法公式乘法公式 ABPAPABP 0 1 121 21312121 0 2 nn n AAAAP AAAPAAPAPAAAP )0( 121 n AAAP )0)( AP （3 3）全概率公式）全概率公式 11n nn n n BAPBPABPAP （已知原因，求结果）（已知原因，求结果） 第一章 习题课 返回主目录 , 2 , 1, 1 )()|( )()|( )( )( )|( n j j BP j BAP

8、 n BP n BAP AP n ABP A n BP （4 4）BayesBayes（逆概）公式：（逆概）公式： （已知结果，求原因）已知结果，求原因） 第一章 习题课 （1） 两事件独立的定义两事件独立的定义 若随机事件若随机事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则 BPAPABP （2）两事件独立性的性质：）两事件独立性的性质： 事件事件A 与与 B 相互独立的充分必要条件为：相互独立的充分必要条件为： , )0( AP BPABP 返回主目录 5 5 给出了随机事件独立性的概念，会利用事件给出了随机事件独立性的概念，会利用事件 独立性进行概率计算。独立性进行概率计算。 0 1 BA

9、BABA与与、与与、与与 也相互独立也相互独立. 0 2 第一章 习题课 返回主目录 注意注意1：两事件：两事件相互独立与互不相容的区别：相互独立与互不相容的区别： “A与与B互不相容互不相容”，指两事件不能同时发生，指两事件不能同时发生， 即即 P（AB）=0。 “A与与B相互独立相互独立”，指，指A是否发生不影响是否发生不影响B 发生的概率，即发生的概率，即P（AB）=P（A）P（B）或）或 )0)()()( APBPABP 必然事件必然事件S与任意随机事件与任意随机事件A相互独立；相互独立； 不可能事件不可能事件与任意随机事件与任意随机事件A相互独立相互独立 0 3 第一章 习题课 注意

10、注意2 2：设事件设事件 A 与与 B 满足：满足： 0 BPAP 即：若事件即：若事件 A 与与 B 相互独立，则相互独立，则 AB； 若若 AB =，则则事件事件 A 与与 B 不相互独立。不相互独立。 返回主目录 则互不相容与相互独立不能同时成立则互不相容与相互独立不能同时成立。 （3）三个事件的独立性）三个事件的独立性 CPBPAPABCP CPAPACP CPBPBCP BPAPABP 第一章 习题课 2 、三个事件的独立性、三个事件的独立性 设设A、B、C是三个随机事件，如果是三个随机事件，如果 CPBPAPABCP CPAPACP CPBPBCP BPAPABP 则称则称A、B、

11、C是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件 第一章 习题课 注意注意3 3： 在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不在三个事件独立性的定义中，四个等式是缺一不 可的即：前三个等式的成立不能推出第四等可的即：前三个等式的成立不能推出第四等 式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出式的成立；反之，最后一个等式的成立也推不出 前三个等式的成立前三个等式的成立 注意注意54 三个事件相互独立的性质：三个事件相互独立的性质： 若若A，B，C是相互独立的三个事件，则是相互独立的三个事件，则 相互独立相互独立与与 与与与与与与与与 , , CBACBACBABCA CBACBABCACBA 第一章 习

12、题课 （4 4）n n个事件的相互独立性个事件的相互独立性 等式成立：等式成立：个随机事件，如果下列个随机事件，如果下列为为，设设nAAA n 21 nn miiiiii kjikji jiji APAPAPAAAP niiiAPAPAPAAAP nkjiAPAPAPAAAP njiAPAPAAP nm 2121 21 1)( 1 1 2121 个个随随机机事事件件相相互互独独立立这这，则则称称n n AAA 21 第一章 习题课 n重Bernoulli 试验中恰好成功k次的概率 而对于每一种指定好的方法，由前面的讨论可知样本 点 因此，的概率都为 knk qp pqqpCBP knkk nk

13、n 1 ， nk，210 5 n重贝努里概型 n , 21 ，取个，其余取个在此样本点中，有AknAk ii 例例1 已知已知 A、B、C 是三个是三个两两独立的两两独立的事件，且事件，且 则则, )()()(CPBPAP , 16 9 )( CBAP , ABC 解解 )()()( )()()()( ABCPBCPAC ABPCPBPAP 2 )( 3)(3APAP ?)( AP )( 16 9 CBAP 第一章 习题课 例例2 , 16 9 )()( CBAPAP . 4 1 )( AP ,2 . 0)( ABP 又又 ,1)()( BAPBAP 故故 , 4 1 )( 4 3 )( AP

14、orAP解之得解之得 已知已知 A、B是是两两事件，且事件，且 ,4 . 0)( AP 则则?)( BAP 第一章 习题课 ,1)()( BAPBAP解解 , )( )( )( )( BP BAP BP ABP )()()(1)(BAPBPBPABP 知知 故故 )()()(BPAPABP 由由 , )()(1)(BAPBAPBAP 从而从而 （A、B独立）独立） , 5 . 0 )( )( )( AP ABP BP )()()()(ABPBPAPBAP 7 . 0 第一章 习题课 )(BAP )()()(ABPBPAP . cba 则则 )()()(ABPAPBAP )(ABP )()()(

15、BAPBPAP . bccbaa 例例3 已知已知,)(,)(,)(cBAPbBPaAP ?)( BAP 解解 第一章 习题课 则则 , 9 1 )( BAP 例例4 已知已知 ?)( AP. )()(BAPBAP A、B独立，独立， ) 3 2 (答：答： 第一章 习题课 例例 5 5 在 12000 的整数中随机的取一个数，问取 到的整数既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概 率是多少？ 解：解：设 A 为事件“取到的整数能被 6 整除”， B 为 “取到的整数能被 8 整除”，则所求的概率为： ,334 6 2000 333由于 ).()()()( ),(1)()( ABPBPAPB

16、AP BAPBAPBAP 其中 为：6，12，181998 共 333 个， 所以能被 6 整除的整数 第一章 概率论的基本概念等可能概型 AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除” . 2000 83 )(, 2000 250 )(:ABPBP同理得 . 4 3 2000 500 1 2000 83250333 1 )()()(1 ABPBPAPp 于是所求的概率为： 其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ， ,)( 2000 333 AP 第一章 概率论的基本概念等可能概型 例 5 袋中有10个黑球，5个白球现掷一枚均匀的骰子，掷 出

17、几点就从袋中取出几个球若已知取出的球全是白 球，求掷出3点的概率 解： 设：B= 取出的球全是白球 621，点掷出iiAi 则由Bayes公式，得 6 1 33 3 i ii ABPAP ABPAP BAP 第一章 概率论的基本概念 3条件 概率 例5（续） 0 6 1 6 1 6 1 5 1 15 5 3 15 3 5 i i i C C C C 04835. 0 第一章 概率论的基本概念 3条件 概率 有两箱同种类的零件。第一箱装有两箱同种类的零件。第一箱装50只，其中只，其中 10只一等品；只一等品；第二箱装第二箱装30只，其中只，其中18只一等品。只一等品。 今从今从两箱中任挑出一箱，

18、然后从该箱中取零件两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件 两次，每次任取一只，作不放回抽样。求：两次，每次任取一只，作不放回抽样。求： （1）第一次取到的零件是一等品的概率；）第一次取到的零件是一等品的概率； （2）第一次取到的零件是一等品的条件下）第一次取到的零件是一等品的条件下 ， 第二次取到的也是一等品的概率；第二次取到的也是一等品的概率； （3）已知第一次取到的零件是一等品，）已知第一次取到的零件是一等品，求它求它 是第一箱是第一箱的的零件的零件的概率；概率； 例3 ?)( 1 AP ?)( 12 AAP 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 ?)( 11 ABP 第一章 习题课

19、 解解 ： 设设 Ai 表示表示“第第i次取到一等品次取到一等品”(i=1,2)， Bi ( i= 1,2)表示表示“取到的是第取到的是第 i箱箱中的产品中的产品”, 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式 例3（续） 1）由全概率公式，有）由全概率公式，有 ,)()()()()( 2121111 BAPBPBAPBPAP 50 10 ( 2 1 ) 30 18 ; 5 2 第一章 习题课 )( )( )|( 1 21 12 AP AAP AAP 例3（续） )()()()()( 2221112121 BPBAAPBPBAAPAAP 2 50 2 10 ( 2 1 P P ) 2 30

20、2 18 P P ) 29 51 49 9 ( 10 1 4856. 0) 29 51 49 9 ( 4 1 )( )()( )|( 1 111 11 AP BPBAP ABP 4 1 4 . 0 1 . 0 2）由全概率公式和条件概率公式，有）由全概率公式和条件概率公式，有 3）由）由贝叶斯公式贝叶斯公式，有，有 第一章 习题课 例 4 三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标三门火炮向同一目标射击，设三门火炮击中目标 的概率分别为的概率分别为0.3，0.6，0.8若有一门火炮击中若有一门火炮击中 目标，目标被摧毁的概率为目标，目标被摧毁的概率为0.2；若两门火炮击中；若两门火炮击中 目标

21、，目标被摧毁的概率为目标，目标被摧毁的概率为0.6；若三门火炮击中；若三门火炮击中 目标，目标被摧毁的概率为目标，目标被摧毁的概率为0.9试求目标被摧毁试求目标被摧毁 的概率的概率 解：设：解：设：B = 目标被摧毁目标被摧毁 321，门火炮击中目标门火炮击中目标有有 iiAi 321，门门火火炮炮击击中中目目标标第第 iiCi 第一章 概率论的基本概念 1-6 独立性 由全概率公式，得由全概率公式，得 n i ii ABPAPBP 1 而而 3213213211 CCCPCCCPCCCPAP 321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP 8 . 04 . 07 . 02 . 06

22、 . 07 . 02 . 04 . 03 . 0 332. 0 第一章 概率论的基本概念 1-6 独立性 3213213212 CCCPCCCPCCCPAP 321321321 CPCPCPCPCPCPCPCPCP 8 . 06 . 07 . 08 . 04 . 03 . 02 . 06 . 03 . 0 468. 0 3213 CCCPAP 321 CPCPCP 8 . 06 . 03 . 0 144. 0 所以所以 9 . 0144. 06 . 0468. 02 . 0332. 0 BP 4768. 0 第一章 概率论的基本概念 1-6 独立性 例例5（ （配对问题配对问题） 某人写了某人

23、写了n封不同的信，欲寄往封不同的信，欲寄往n个不同的地个不同的地 址。现将这址。现将这n封信随机的插入封信随机的插入n只具有不同通信地只具有不同通信地 址的信封里，求至少有一封信插对信封的概率。址的信封里，求至少有一封信插对信封的概率。 -加法公式的应用问题加法公式的应用问题 解解设：设： =“第第 封信插对信封封信插对信封” i ), 2 , 1(ni B=“至少有一封信插对信封至少有一封信插对信封” 则则 n AAAB 21 n n nkji kji nji ji n i i n AAAPAAAP AAPAP AAAPBP 21 1 1 11 21 1 )()( 第一章 习题课 i A 例

24、例5(续）续） )( i AP !n )( ji AAP )!1( n ), 2 , 1(ni n 1 !n )!2( n 1)( 1 n i i AP )1(nji ! 2 1 ! )!2( )!2( ! 2 ! ! )!2( )( 2 1 n n n n n n CAAP n nji ji ! )!( )( 21 n kn AAAP k iii )1( 1 nii k 第一章 习题课 例例5(续）续） ! 1 )1( ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 1)( 1 n BP n ! 1 ! )!( )( 21 21 1 kn kn CAAAP k n niii iii k k ), 2 ,

25、 1(nk 第一章 习题课 例例6（可列可加性的应用问题）（可列可加性的应用问题） 设有甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射设有甲、乙两名射手轮流独立地向同一目标射 击，甲的命中率为击，甲的命中率为 ，乙的命中率为，乙的命中率为 ，甲先，甲先 射，谁先命中谁得胜。试分别求甲获胜的概率和乙射，谁先命中谁得胜。试分别求甲获胜的概率和乙 获胜的概率。获胜的概率。 1 p 2 p 第一章 习题课 设设 =“轮流射击轮流射击,第第 次次射中，前射中，前 次未中次未中” i Bi1 i 则则 表示表示“甲在甲在第第 次次才才射中射中”), 2 , 1( 12 kB k 12 k 解：解： 且且两两互不相容

26、。两两互不相容。 , 531 BBB 设设 =“甲获胜甲获胜”，则，则B 531 BBBB 设设 =“第第 次次射中射中”，则，则 i Ai, 321 AAA 且且 1222112 kkk AAAAB 相互独立，相互独立， 例例6（续）（续） 第一章 习题课 )()()()()( 1222112 kkk APAPAPAPBP 121 )1()1(ppp kk )()( 12 0 k k BPBP 121 0 )1()1(ppp kk k )1)(1(1 21 1 pp p 例例 7 设在N件产品中有M件次品，每次从中任意取出一 件，有放回地取n次试求取出的n件产品中恰有k 件次品的概率 解：

27、B= 取出的n件产品中恰有k件次品 每取一次只有两种结果： ，取出次品A 因此每取一次产品可看作是一次Bernoulli试验 ，取出正品A n重贝努里概型 例 7（续） 并且， ， N M AP N M AP1 因此，有放回地取 n 件产品可看作是一个 n 重 Bernoulli试验由前面的讨论，可知 knk k n N M N M CBP 1 n重贝努里概型 例 8 某病的自然痊愈率为 0.25，某医生为检验某种新药 是否有效，他事先制定了一个决策规则：把这药给 10 个病人服用，如果这 10 病人中至少有4 个人痊 愈，则认为新药有效；反之，则认为新药无效求： 新药有效，并且把痊愈率提高到 0.35，但通过试验 却被否定的概率 新药完全无效，但通过试验却被判为有效的概率 n重贝努里概型 例 8（续） 给10个病人服药可看作是一10重Bernoulli试验 某病人痊愈令： A 35. 0AP 若新药有效，则 此时若否定新药，只有在试验中不到4人痊愈因此 3 0 10 10 65. 035. 0 i iii CP 否定新药 5138. 0 n重贝努里概型 解： 例 8（续） 由