行列式的计算技巧及其应用毕业论文

1、行列式的计算技巧及其应用毕 业论文作者: 日期：训4?鼻燈护煽本科生毕业论文（设计）题 目：行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学 号：2专业班级：数学与应用数学1210 1班指导教师:颜亮完成时间：2 016年5月目录摘要1关键词10、前言11、基础知识及预备引理21.1行列式的由来及建义21.2行列式的性质31. 3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义42、行列式的计算方法42 . 1定义法42. 2利用行列式的性质（化三角型）计算52. 3拆行（列）法62. 4加边法（升阶法）62.5范德蒙德行列式的应用73、n阶行列式的计算84、行列式的应用94.1行列式在代数中的应用94.2行列式在几

2、何中的应用10参考文献10致谢11行列式的计算技巧及应用数学与应用数学12 101班 谢芳指导老师颜亮摘要：行列式的计算是高等代数中一个重要的知识点，也是我们学好高等代数的重要工 具.无论是高等数学领域还是现实生活中的实际问题，都或多或少的包含了行列式的思 想，所以学好行列式尤为重要.本文主要介绍几种行列式的思想，并从实例进行具体说明, 介绍方法的同时加以应用.并通过举例说明行列式在代数和几何方而的应用，从而更好 的了解行列式的普遍性.关键词：行列式，线性方程组，计算，方法Abs t ra c t: th e calcu 1 a t i o n of th e de t e r min a n

3、 t i s an imp o rtan t part of the k no wledg e o f h i gher a Igebra, a 1 so a n important tool for u s to I e ar n adva n ced algebra. Both h igher m a t hem a t ics and p r actica 1 p roblem s i n real life, more or less con tains th e i d e as of the determinant, so 1 e aming determi nant i s pa

4、r t ic u la r ly imp o r t a nt. This paper mai n I y in tro d u c es s e v e ral k i n d s o f determi nan t, a n d il 1 u s t r a t e the appli c ation of t h e d e term inant in a Ig eb ra and geo me t r y, so we can understand t h e u ni v e rsa 1 i t y of the d et e rmin a n t be t t er.K e ywo

5、rd s : determi n ant, system o f 1 in e a r e q uat i on s , c a lc u 1 ation, the met h od0前言行列式是学习线性代数的基本工具，行列式的解法有很多种，在解题过程中我们先要 观察行列式的特征，然后再考虑用什么样的方法解.本文主要介绍儿种常用的解行列式 的方法，如定义法、化三角型法、拆行（列）法、加边法、利用范徳蒙德行列式计算相关 行列式的方法，并通过一定的例题对所介绍的方法进行透彻的讲解，使之更好的理解. 当然，解行列式的方法还有很多，只要我们善于总结行列式在数学的很多领域都有广泛的应用，在线性代数和高等

6、数学中更是一个重要的解题工具本文主要介绍行列式在代 数和儿何方面的应用.1线性方程组与行列式1. 1行列式的由来及定义在中学数学中，我们学习了含有一个未知数和两个未知数的方程的解法，那在这里 我们来讨论含n个未知数n个方程的多元一次方程组即线性方程组的解法.首先我们先 来看未知数的个数不多的时候的情形.我们先讨论n=2时的二元线性方程组_1_- o（l2X + a22 X2 = （1）为了解这一类方程，我们将引入一个很重要的工具一一行列式我们把线性方程组（1）的系数作成二阶行列式如G2I12C122112142工06/22时,方程组（1）有唯一解b anbi and21 Clllaw b21

7、“2aw anai an同样的，对于三元线性方程组aX + a1xi + aiXi = ban Xi + 6/22 XI + (123X3 = bi31 XI + 6732 X2 + 033 %3 = bi的系数作成三阶行列式(2)Qll012013D 二321Cl 22Q23d313233dl 1022 033 + dl2 0231 + dl3 021032 一 dl3d22 d31 一 dl2 021 d33 一 dl 1 d23032当DhO时，那么方程组(3)有解D _ Di _ Ds其中bi f/12 anClw bl 0137116712 bDi =bia 22 cii，D?=cm

8、 bl Cliy,D3 =ai ail blby 0326/33031 bi 033031032 bi我们的U的是要把二阶、三阶行列式推广到n阶行列式，然后用这一工具来解含有n个未知量n个方程的线性方程组.定义11Clw6/12ClnU122Cl2n心】给2 dnn用符号表示n阶行列式指的是n!项的代数和,这些项是所有取自该行列式不同行与不同列上的n个元素的乘积332）3 -anjn，项的符号为（1）”皿）,也就是说，当从人为偶排 列时，这一项的符号为正，当hj2-jn为奇排列时符号为负.定义还可以表示成awd】2anaiai2 am如2Clnn1. 2a”久a%n阶行列式性质：引理1把行列式

9、的行变成列、列变成行，行列式的值不变.引理2引理3把一个行列式的两行（或两列）交换位置，行列式的值改变符号.把行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以某个数c,等于用数c乘原行列式.引理4 若一个行列式的两行（或两列）的对应元素成比例，那么行列式的值等于零.引理5把行列式某一行(或列)的所有元素同乘以一个数c,加到另一行(或一列)的对 应元素上，所得行列式的值与原行列式的值相等.引理6 行列式某一行(或列)的各元与另一行(或列)对应元的代数余子式的乘积之和 等于零.13拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义拉普拉斯定理 设D为一 n阶行列式，任意取定D中的k( 1 kn)行，由这k行元素所构成的一切

10、k阶子式与它们所对应的代数余子式的乘积的和等于行列式D的值用m符号可以表示为D =其中m=rfj-i行列式aU叫作一个n阶范徳蒙徳行列式.2行列式的计算2. 1定义法计算行列式a00h0fc0e00d山定义可知,D是一个4 !二2 4项的和，展开式的一般项为alha2j2在这个彳亍列式中，除了 abed, a fgd , e b c h, e f gh外，其余各项均含有0 ,故乘积为0,与上 面四项相对应列标的排列依次为12 3 4,1 3 24,4231,4 3 2 1,而tt(1234) = 0, tt ( 13 24) =1,11(4231) = 5, 71(4321) = 6,故 D=

11、a b c d +e f gh-afgd-ebc h .利用定义法求解行列式时，只适合一些比较简单的行列式，如对角线行列式,三角行 列式等，定义法常用于解低阶的行列式，对于一些高阶的行列式,我们将介绍其他方法 来求解2.2利用行列式的性质计算例2证明n阶上三角行列式（主对角线以下的元素都为零）141aw ai2 an an ain _:01142 如如。证明 在这个行列式中，当j； 整理得 Dn-aDn.=b (Dtl- - D,.-i)由递推关系可以得ill ： ),.-aDn.=b1-2(Di-Dd= bn2 (a+b)2-ah a(a+b) = bn在上式中，。和b的地位是相等的，因此有

12、D.-Dn.(in /r nj n-t-1 _ 口十 1两式联立解得Dn. =可以得出Dn = h ab _ub _递推法一般用于n阶行列式的求解,递推法的关键是找出d”与di或d”与的关系除了上面讲到的递推法，我们还常用归纳法来证明某些行列式.例2证明cosa2cosa112cosaDn =2cosa112cosa证明当n二1时,d二cos a,等式成立当 n=2 时,Di =cosa 11 2cosa=2 c o s a - 1 =co s 2 a ,等式成立假设n=k时等式仍然成立，即Dk = coska , D-i = cos(k - l)a那么，当n二k+1时，把行列式按最后一行展开

13、得D+i = 2cosGDT r_2代入得 Z)ki = cos(k + )a 由归纳法得Dn = cosna行列式的讣算方法多种多样，本文中所提到的方法也只是解题过程中的一些常用方 法，不同的题口有不同的计算方法，至于要采用哪种方法要视具体题口而定，只要我们 多观察行列式的特征就能找到合适的方法来汁算.4行列式的应用4. 1行列式在代数中的应用行列式在代数中的应用主要有利用行列式解含n元线性方程组厂11XI + 6/12 X2 + + Clin Xfl = b21 七 + 022 兀2 + + din = b2Yj Cln X + att2 X2 + + Clnn Xn = bft当系数行列

14、式D工0时,有唯一解：总= 2(k=l, 2,，n).D对于齐次线性方程组，若D#=0,则对应的方程组只有零解.4. 2行列式在几何中的应用X1过两点M （“,”），N（X2*2）的直线方程1乂21我们还可以用行列式来表示直线方程，例如证明山两点式,我们可以得出过MN的直线方程为(1)x- x2 y- y2把上式化简得A儿一兀儿+ 口儿一小 +3 -血” =0再进一步进行化简得X-yXIX21 X21二 0即为（1）式按第一行展开所得的结果，命题得证.行列式有着很广泛的应用，上面只是讲的比较特殊的两种，在儿何方面，还有许多应用，还可利用行列式表示三角形的面积例如 以平面内三点P（m”），QCc），R（心儿）为顶点的APQR的面积S 是1八|厂力1X3旳1参考文献1 张禾瑞，郝鍋新高等代数（第五版）M 北京：高等教育出版社,2000任功全，封建湖，薛仁智线性代数M北京：科学出版社，200 53 姚慕生高等代数M上海：复旦大学出版社，2002.84 马菊霞，吴云天线性代数题型归纳与方法点拔考研辅导M 北京：国防工业出版社，2 0005毛纲源线性代数解题方法技巧归纳M 武汉：华中科技大学出版社，20006王丽霞N阶行列式的几种常见的计算方法J山西大同大学学报（自然科学版