直线系方程汇编

1、 直线系方程的分类直线系方程的分类 直线系方程的定义直线系方程的定义 直线系方程的应用直线系方程的应用 课堂结构 一、直线系方程的定义一、直线系方程的定义 直线系直线系： 具有某种共同性质的所有直具有某种共同性质的所有直 线的集合线的集合. .它的方程叫直线系它的方程叫直线系 方程方程。 二、直线系方程的种类二、直线系方程的种类1 1: : 1 1: :与直线与直线L L：Ax+By+C=0Ax+By+C=0平行的直线系方程为：平行的直线系方程为： Ax+By+m=0 Ax+By+m=0 （其中（其中mCmC，m m为待定系数）为待定系数）； y o x 直线系方程的种类直线系方程的种类2 2

2、: : 2:与直线与直线L L：Ax+By+C=0Ax+By+C=0垂直的直线系方程为垂直的直线系方程为: : Bx-Ay+m=0 Bx-Ay+m=0 （m m为待定系数）为待定系数）. . y x o 直线系方程的种类直线系方程的种类3 3: : 3. . 过定点过定点P P（x x0 0，y y0 0）的直线系方程为：）的直线系方程为： A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0) )0 0 设直线的斜率为设直线的斜率为 A(x-xA(x-x0 0)+B(y-y)+B(y-y0 0) )0 (1)0 (1) )( 00 xx B A yy y-yy-y0 0k(x-xk(

3、x-x0 0) (2) (2) 说明说明:(2)比比(1)少一条直线少一条直线 即即:(2)应考虑应考虑k不存在的情况不存在的情况 y x o 问题：问题： 若直线若直线L L1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与直线与直线L L2 2： A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0相交，交点为相交，交点为P P（x x0 0，y y0 0），则），则 过两直线的交点的直线系方程为：过两直线的交点的直线系方程为： m(Am(A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1)+n( A)+n( A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0)=0 其中其中

4、m m、n n为待定系数为待定系数. . 证明：证明： ,0 x A0CyBxA),(x 22211100 的的交交点点与与是是设设 CyBy , 0 xA0CyBxA :,),(x 2020210101 00 CyB y 且且 得得入入二二方方程程代代 所以所以m(Am(A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1)+n(A)+n(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0 直线直线m(A A1 1x x0 0+B+B1 1y y0 0+C+C1 1)+n(A)+n(A2 2x x0 0+B+B2 2y y0 0+C+C2 2)=0)=0 经过点

5、（经过点（x0，y0） 直线系方程的种类直线系方程的种类4 4: : 4. 若直线若直线L L1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与直线与直线L L2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0 相交，交点为相交，交点为P P（x x0 0，y y0 0），则过两直线的交点的），则过两直线的交点的 直线系方程为直线系方程为:m(A:m(A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1 )+n( A )+n( A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(1),)=0(1), 其中其中m m、n n为待定系数为待定系数. . A A1 1x+Bx+

6、B1 1y+Cy+C1 1 +k( A +k( A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0(2) )=0(2) 其中其中k k为待定系为待定系 数数. .方程方程(2)(2)比比(1)(1)少一条直线。少一条直线。 y o x 例例.求证：无论求证：无论m m取何实数时，直线取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，恒过定点， 并求出定点的坐标。并求出定点的坐标。 0144 0104 x y 解法解法2：令 令m=1，m= -3代入方程，得：代入方程，得： 2 5 y 2 7 x 解得：解得： 2 5 2 7 y

7、 x 解得：解得： 所以直线恒过定点所以直线恒过定点 2 5 , 2 7 又因为又因为: 3.5(m-1)- (m-1)- 2.5(m+3)-(m-11)=0(m+3)-(m-11)=0 三、直线系方程的应用三、直线系方程的应用: : 例例1.求证：无论求证：无论m m取何实数时，直线取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点，恒过定点， 并求出定点的坐标。并求出定点的坐标。 0)1(113 yxmyx 解法解法1： 将方程变为：将方程变为： 解得： 01 0113 yx yx 2 5 2 7 y x 即： 故直线恒过故直

8、线恒过 2 5 , 2 7 若证明一条直线恒过定点或求一条直线必若证明一条直线恒过定点或求一条直线必 过定点，通常有两种方法：过定点，通常有两种方法： 方法小结：方法小结： 法二：从特殊到一般，先由其中的两条特法二：从特殊到一般，先由其中的两条特 殊直线求出交点，再证明其余直线均过此殊直线求出交点，再证明其余直线均过此 交点。交点。 法一法一: :分离系数法，即将原方程改变成：分离系数法，即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与的形式，此式的成立与 m m的取值无关，故从而解出定点。的取值无关，故从而解出定点。 例例2: 求过

9、两直线求过两直线x-2y+4=0 x-2y+4=0和和x+y-2=0 x+y-2=0的交点，的交点， 且满足下列条件的直线且满足下列条件的直线L L的方程。的方程。 (1) (1) 过点过点(2, 1) (2, 1) (2) (2) 和直线和直线3x-4y+5=03x-4y+5=0垂直。垂直。 0)2(42 yxyx 代（代（2，1）入方程，得：）入方程，得： 4 所以直线的方程为：所以直线的方程为： x+2y-4=0 解（解（1）：设经二直线交点的直线方程为：）：设经二直线交点的直线方程为： 0)212(422 例例2: 求过两直线求过两直线x-2y+4=0 x-2y+4=0和和x+y-2=

10、0 x+y-2=0的交点，的交点， 且满足下列条件的直线且满足下列条件的直线L L的方程。的方程。 (1) (1) 过点过点(2, 1) (2, 1) (2) (2) 和直线和直线3x-4y+5=03x-4y+5=0垂直。垂直。 0)24()2()1( yx 解得：解得： 2 1 k 由已知：由已知：1 4 3 2 1 11 故所求得方程是：故所求得方程是： 4x+3y-6=0 解（解（2）：将（）：将（1）中所设的方程变为：）中所设的方程变为： 本题采用先用直线系方程表示所本题采用先用直线系方程表示所 利用待定系数法来求解利用待定系数法来求解. 函数或曲线类型问题中函数或曲线类型问题中,我们

11、都可以我们都可以 这种方法称之为待定系数法这种方法称之为待定系数法,在已知在已知 待定常数待定常数,从而最终求得问题的解从而最终求得问题的解. 求直线方程求直线方程,然后再列式然后再列式,求出方程的求出方程的 方法小结：方法小结： 练练 习习 1 1 一一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程：已知直线分别满足下列条件，求直线的方程： _: 09-2yx032y-x.1 的的直直线线方方程程是是 的的交交点点和和原原点点和和过过两两直直线线 _:042-3 ,02-4yx30103y-x2.2 的的直直线线是是且且垂垂直直于于直直线线 的的交交点点和和过过两两直直线线 yx _:073-4

12、 ,012yx08yx2.3 的的直直线线是是且且平平行行于于直直线线 的的交交点点和和过过两两直直线线 yx _: ,02y-x332xy.4 直直线线方方程程是是且且垂垂直直于于第第一一条条直直线线的的 的的交交点点和和过过两两直直线线 y=x 2x+3y-2=0 4x-3y-6=0 x+2y-11=0 5 5若直线方程为若直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0 求证：无论求证：无论m m为何值时，所给直线恒过定点。为何值时，所给直线恒过定点。 05218)-3ym(2x yx 得: 052 01832 yx yx 解得: 2

13、/9 4 y x 所以无论所以无论m为何值为何值,直线均经过定点直线均经过定点(4,9/2) 解解: 将方程化为将方程化为: 两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程, 如如:L1:x+2y-1=0,L2:x-y=0,相乘后就得相乘后就得: x2 +xy-2y2-x+y=0 那么那么,反过来反过来,如果已知一个二元二次方程是由如果已知一个二元二次方程是由 两条直线的方程相乘所得两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这我们也可以先设出这 两条直线的方程两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们再利用待定系数法求出它们. 请看下面的例子请看下面的例子: 四、

14、一个二次方程表示四、一个二次方程表示 两条直线的问题两条直线的问题: : 例例3:问问k k为何值时，方程为何值时，方程3x3x2 2+2xy-y+2xy-y2 2+7x-5y+k=0+7x-5y+k=0 表示两条直线？表示两条直线？ 解（待定系数法）：将方程化作：解（待定系数法）：将方程化作： 0)57()(3( kyxyxyx 设：设：0)(3( nyxmyx 则则0)()3()(3( mnnmynmxyxyx 所以：所以： kmn nm nm 5 73 解得：解得： 6 3 2 mnk n m 即：即：k= -6 时方程表示两条直线。时方程表示两条直线。 1方程方程x x2 2-y-y2 2=0=0表示的图形是：表示的图形是： 2直线系直线系6x-4y+m=06x-4y+m=0中任一条直线与直线中任一条直线与直线 系系2x+3y+n=02x+3y+n=0