平面曲线的曲率PPT学习教案

1、会计学1 平面曲线的曲率平面曲线的曲率 12 问题在于问题在于: s s , 即两弧段不等长即两弧段不等长 （2）的弧段）的弧段AB的弯曲程度的弯曲程度 (1)的弧段的弧段 AB 的弯曲程度的弯曲程度 （b）弧）弧A B 与与AB 的转角的转角 相等，但相等，但A B 的弯曲的弯曲 程程 度度 AB的弯曲程度的弯曲程度 所以刻画一段弧的弯曲程度应考虑它的平均所以刻画一段弧的弯曲程度应考虑它的平均 弯曲程度才是合理的弯曲程度才是合理的 第1页/共19页 K s 称为称为 AB 的的平均曲率平均曲率 00 limlim ss KK s 称为曲线在称为曲线在 A 点的点的曲率曲率 绝对值称为曲线在绝

2、对值称为曲线在 A 点的曲率点的曲率 即当即当 B 沿弧段趋于沿弧段趋于 A 点时，平均曲率的极限的点时，平均曲率的极限的 第2页/共19页 下面考虑如何计算曲率下面考虑如何计算曲率 K 解解 由于由于 = K s RR 1 曲曲 率率 00 11 limlim ss KK RR 求半径为求半径为R 的圆的平均曲率与曲率的圆的平均曲率与曲率例例 ,ABs 设设sR 则则 A B R 每一点都相等）并且与半径每一点都相等）并且与半径 R 呈倒数关系呈倒数关系 即圆在任一点处的曲率都是相等的（即弯曲程度即圆在任一点处的曲率都是相等的（即弯曲程度 第3页/共19页 一般地，设平面曲线为一般地，设平面

3、曲线为 )( )( : tyy txx L t 并假定并假定 x(t) , y(t) 在在 , 上有连续的导数上有连续的导数 P A 在曲线在曲线 L上，取一定点上，取一定点 P，并选取曲线的一并选取曲线的一 方向作为曲线的正向方向作为曲线的正向 对于曲线上的一点对于曲线上的一点 A , 若若 PA 与曲线的正向一致，与曲线的正向一致， 反之取负值反之取负值 - - PA . 弧的概念：弧的概念： 而且是而且是 t 的单调函数的单调函数 于是于是 s = s(t) , t 则则 s 取正值取正值 PA ， x y 0 第4页/共19页 A B P A 即若曲线的正向与即若曲线的正向与 t 上升

4、描绘上升描绘 图形的方向一致时图形的方向一致时, s(t) 单调增加单调增加 , 反之反之 s(t) 单调减少单调减少 至此我们有下对应关系至此我们有下对应关系: As x y 0)(s s 则则 AB = s设设 s 对应于点对应于点 A, s + s 对应于对应于B , 我们把切线上向着弧我们把切线上向着弧 s 增加的方向叫做切线的增加的方向叫做切线的 正方向正方向 (正切向正切向) 记切线记切线 A与与 x 轴正向的夹角为轴正向的夹角为 (s), 切线切线 B 与与 x 轴正向轴正向的夹角为的夹角为 (s+ s) ss B 第5页/共19页 )()(sss - s K s 0 lim s

5、 sss s )()( lim - 0 即曲即曲 率率 ds d K 由于由于 tany dx y y d 2 1) ( ) arctan(y 第6页/共19页 下面考虑计算弧微分下面考虑计算弧微分ds 设设 A (x , y) , B (x+ x , y+ y) , B s x y 22 00 1lim ()lim() xx AB y xx 2 1() dy dx 22 2 )()(yxAB 则则 x y 0 A x x+ x 第7页/共19页 可以证明可以证明: 0 1lim x s AB 2 1 dy dx 22 0 lim x AB s x AB 22 0 ()lim () x dss

6、 dxx 所所 以以 2 1 dsdy dxdx (1) 所以所以 , 有有 第8页/共19页 若我们进一步约定若我们进一步约定 x 增加时增加时, 描绘图形的方向描绘图形的方向 为曲线的正方向为曲线的正方向(今后总是这样约定今后总是这样约定), 此时此时 0( ) , ds s x dx 所以有所以有 2 1 dsdy dxdx 式式 (2) 称为称为弧微分公式弧微分公式 (直角坐标情形直角坐标情形) 2 1 dy dsdx dx (2) 即即 第9页/共19页 说明说明: (a) 从式从式 (2) 可得可得 222 )()()(dydxds（微分三角勾股定理）（微分三角勾股定理） x dy

7、 C Bs x y 0 A x x+ x 弧微分弧微分 ds 为为 斜边斜边AB 的长的长ABC 22 1 dxdy dsds 同时可得同时可得 22 ()()dsdxdy(3) 第10页/共19页 (b) 若曲线为参数方程若曲线为参数方程 ，则由，则由 ( ) ( ) xx t yy t ( ) , ( )dxx t dtdyy t dt (c) 若曲线若曲线 rr),( , 从从(4)可得以下可得以下 极坐标情形的弧微分公式极坐标情形的弧微分公式 从从(3) 可得以下可得以下参数方程情形的弧微分公式参数方程情形的弧微分公式 22 ( ) ( )dsx ty tdt (4 ) drrds 2

8、2 )( ()( (5) 第11页/共19页 设曲线由设曲线由bxa xfy),(给出给出 , f (x) 在在 a , b 上有二阶连续导数上有二阶连续导数, 则则 dxyds 2 1) ( dx y y d 2 1) ( 得到直角坐标情形的得到直角坐标情形的曲率计算公式曲率计算公式 2 3 2 1) ( y y ds d K (3) 第12页/共19页 求曲线求曲线 在点在点 2 1ln()yxx 例例 处的曲率处的曲率 323(,ln()M 解解 222 11 1 111 () x y xxxx 2 32 3 2 211 ()() xx y xx - - - - 曲率曲率 33 22 2

9、2 12 ( ) () yx k yx 将将 代入得曲线在代入得曲线在 M 点的曲率点的曲率3x 315 25 5 5 k 第13页/共19页 , aey aex n n sin cos 将曲线表为参数方程将曲线表为参数方程:此时此时 )sincos( )sincos( nn nn enea neea d dx d dy dx dy - sincos sincos - n n 解解 )sincos( sincos sincossincos nn enea n nn - - - 2 22 d dx d dx dy d dx yd )( 2 2 求极坐标方程为求极坐标方程为 )(00n ,a ,

10、aer n 例例 的曲线上任一点处的曲率的曲线上任一点处的曲率 . 第14页/共19页 3 2 1 )sincos( - nae n n 所以曲率所以曲率 1 1 1 2 2 3 2 nae y y K n ) ( 实际应用中，在曲线上一点处常用与此曲线实际应用中，在曲线上一点处常用与此曲线 有相同曲率的圆来近似地代替曲线在这一点附近有相同曲率的圆来近似地代替曲线在这一点附近 的一段弧的一段弧 第15页/共19页 下面考虑曲率半径的计算下面考虑曲率半径的计算: ) ( y y K R 2 3 2 11 （直角坐标情形）（直角坐标情形） 定义定义如果一圆如果一圆 （2）与曲线在点）与曲线在点 A

11、 处有相同的凹凸性；处有相同的凹凸性； （3）与曲线在点）与曲线在点A处有相同的曲率处有相同的曲率 , 则称这个圆为曲线在则称这个圆为曲线在 A 点处的点处的曲率圆曲率圆，曲率圆的，曲率圆的 中中 （1）与曲线相切于点）与曲线相切于点 A 心叫做心叫做曲率中心曲率中心，曲率圆的半径称为，曲率圆的半径称为曲率半径曲率半径 如果曲线在如果曲线在A点处的曲率为点处的曲率为K，由于圆的曲率，由于圆的曲率 所以曲线在点所以曲线在点 A处的曲率半径处的曲率半径就是它的半径的倒数就是它的半径的倒数 , 第16页/共19页 曲线曲线 y = f (x) 在原点处的曲率半径为在原点处的曲率半径为 )( )( ( 0 011 2 3 2 f f K R 由于由于 y =f (x) 在原点与在原点与 x 轴相切轴相切 f (0) = 0 )( 0 1 f R 设曲线设曲线 y=f(x)与与 x 轴相切于原点，又轴相切于原点，又f (x)在点在点x =0 xf x R x 2 2 0 lim 的某领域内具有二阶连续导数的某领域内具有二阶连续导数,且且 f (x) 0， 试证明：试证明： 例例 证明证明 第17页/共19页 为了求出为了求出 f (0) 的表达式的表达式 , 我们利用泰勒公式我们利用泰勒公式 2 2 00 x f xffxf ! )(