平的微积分函数的微分PPT学习教案

1、会计学1 平的微积分函数的微分平的微积分函数的微分 实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2 0 xA 0 x 0 x , 00 xxx 变到变到设边长由设边长由 , 2 0 xA 正方形面积正方形面积 2 0 2 0 )(xxxA .)(2 2 0 xxx )1()2( ;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax .,0很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小时时当当xxx :)1( :)2( x x 2 )( x xx 0 xx 0 第1页/共35页 再例如再例如, ., 0 3 yx xxy 求函数的改变量求函数的改变

2、量时时为为 处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数 3 0 3 0 )(xxxy .)()(33 32 0 2 0 xxxxx )1()2( ,很小时很小时当当 x .3 2 0 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是 既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值 问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否 所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求? 第2页/共35页 定义定义 .d,dd ,)( ,)( , )0( )(, )( )()()( , ,)( 000 0 0 00 00 xAyfy

3、 xxxfy xAxxfy x xxoxA xoxAxfxxfy xxx xfy xxxxxx 即即或或记作记作 的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点 为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点 则称函数则称函数时时当当高阶的无穷小量高阶的无穷小量 是比是比无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立 如果如果在这区间内在这区间内及及 在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数 .d的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分yy ( (微分的实质微分的实质) ) 第3页/共35页 由定义知由定义知: : ;d)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量x

4、y ;d,0)3(是等价无穷小是等价无穷小与与时时当当yyA y y d xA xo )( 1 ).0(1 x ;)(,)4( 0有关 有关和和但与但与无关的常数无关的常数是与是与xxfxA ).(d,0)()5( 0 线性主部线性主部时时很小且很小且当当yyxfx ;)(d)2(高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比 xxoyy ).0( x 第4页/共35页 ).(,)( )( 00 0 xfAxxf xxf 且且处可导处可导在点在点数数 可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理 证证(1) 必要性必要性,)( 0可 可微微在在点点xxf ),( xoxAy , )( x x

5、o A x y x xo A x y xx )( limlim 00 则则.A ).(,)( 00 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数 第5页/共35页 (2) 充分性充分性 )()( 0 xxxfy 从而从而 ,)( 0 xf x y 即即 ,)( 0可 可导导在在点点函函数数xxf),(lim 0 0 xf x y x ,0lim 0 x 其中其中 ),()( 0 xoxxf .)(,)( 00 Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数 ).(. 0 xfA 可微可微可导可导 .可微可导连续 第6页/共35页 例例 解解 .02. 0, 2 3 时的增量与微分时的增量与微分当

6、当求函数求函数 xxxy xxdy )( 3 .3 2 xx 02. 0 2 2 02. 0 2 3 x x x x xxdy .24. 0 33 2)02. 02( y 242408. 0 000008. 00024.24. 0 第7页/共35页 .d,d , xxx xx 即即记作记作 称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量 .d)(dxxfy ).( d d xf x y . dd 导数也叫“微商”导数也叫“微商”该函数的导数该函数的导数 之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分xy .)(d),(dd, ,)( xxfyxfy

7、xxfy 即即或或记作记作微分微分 称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数 .)(, )(,)( 内的可微函数内的可微函数是是且称且称内可微内可微区间区间 在在就称就称内处处可微内处处可微在区间在区间如果函数如果函数 IxfI xfIxfy 第8页/共35页 )(xfy 0 x M N T dy y )( xo ） x y o x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ) . , 对应的增量对应的增量 就是切线纵坐标就是切线纵坐标 坐标增量时坐标增量时 是曲线的纵是曲线的纵当当 dy y xx 0 P . , MNMP Mx 可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段 的附近

8、的附近在点在点很小时很小时当当 Q 第9页/共35页 d( )dyfxx 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式 xxxxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxC dcotcsc)(cscddtansec)(secd dcsc)(cotddsec)(tand dsin)(cosddcos)(sind d)(d0)(d 22 1 第10页/共35页 x x xx x x x x xx x x x x xx ax x xeexaaa a xxxx d 1 1 )arccot(dd 1 1 )(arc

9、tand d 1 1 )(arccosdd 1 1 )(arcsind d 1 )(lndd ln 1 )(logd d)(ddln)(d 22 22 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 2 dd ddd)(d d)(ddd)(d v vuuv v u vuuvuv uCCuvuvu arc 第11页/共35页 例例1 1 解解 .d),ln( 2 yexy x 求求设设 , 21 2 2 x x ex xe y .d 21 d 2 2 x ex xe y x x 例例2 2 解解 .d,cos 31 yxey x 求求设设 )(cosd)(dcosd 3131 x

10、eexy xx .sin)(cos,3)( 3131 xxee xx xxexexy xx d)sin(d)3(cosd 3131 .d)sincos3( 31 xxxe x 第12页/共35页 ;d)(d,)1(uufyu 是自变量时是自变量时若若 则则微函数微函数 的可的可即另一变量即另一变量是中间变量时是中间变量时若若 ),( ,)2( xu xu ),()(ufufy 有导数有导数设函数设函数 xxufyd)()(d ,dd)(uxx .d)(duufy 结论结论 ： 的微分形式总是的微分形式总是 函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量无论无论 )( , ufy u 一阶微分

11、形式的不变性一阶微分形式的不变性 uufyd)(d 第13页/共35页 例例4 4 解解 .d,sinybxey ax 求求设设 )(dcossin)(ddbxbxebxaxey axax xbbxebxxae axax dcossind)( .d)cossin(xbxbbxae ax 例例3 3 解解 2 sin(1),d . x yxey设求 2 sin ,1 x yu uxe uuydcosd 22 cos(1)d(1) xx xexe 2 (2)cos(1)d . xx xexex 第14页/共35页 例例5 5 2 sin() ,d ,. xx yey y 设求 第15页/共35页

12、例例6 6 解解 在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使 等式成立等式成立. .d ln )(d)2(;dcos)(d)1( 2 x x x tt ,dcos)(sind)1(ttt )(sind 1 dcosttt .dcos)sin 1 (dttCt );sin 1 (dt ( (C为任意常数为任意常数) ) ,d ln )(ln 4 1 (d)2( 2 22 x x x x ( (C为任意常数为任意常数) ),d ln )(ln 4 1 (d 2 22 x x x Cx 第16页/共35页 例例7 7 解解 在等式左端的括号中填入适当的函数在等式左

13、端的括号中填入适当的函数,使等式使等式 成立成立. ).(d)()(sind 2 xx 22 d(sin)2 cosd 1 d() d 2 xxxx x x x ,cos4 2 xxx ).(d)cos4()(sind 22 xxxxx 第17页/共35页 xx ed)d(arctane x2 e1 1 xd x x 2 e1 e dtan 2. dsin x x x 3 sec 3. d( )sin2 dxxCx2cos 2 1 第18页/共35页 )(xyy 由方程063sin 33 yxyx确定, .d 0 x y 解解: 方程两边求微分, 得 xx d3 2 当0 x时,0y由上式得x

14、y x d 2 1 d 0 求 yy d3 2 xxd3cos30d6y 第19页/共35页 例例1.的微分的微分求函数求函数 x xy 例例2.0 2 的微分的微分求隐函数求隐函数 xexy y 例例3.)(arcsin,)(的的微微分分求求函函数数可可微微设设xfyufy 第20页/共35页 )()( 0 xoxxfy 当x很小时, )()( 00 xfxxfyxxf)( 0 xxfxfxxf)()()( 000 xxx 0 令 使用原则使用原则:;)(, )() 1 00 好算xfxf .)2 0 靠近与xx )()()( 000 xxxfxfxf 得近似等式: 七、近似计算七、近似计算

15、 第21页/共35页 180 x 29sin的近似值 . 解解: 设,sin)(xxf 取 30 0 x, 6 29x 则 180 29 180 29 sin 6 sin 6 cos 2 1 2 3 )0175. 0( 485. 0 ) 180 ( 29sin 4848. 029sin 第22页/共35页 xx,0 0 很小时, xffxf)0()0()( 常用近似公式常用近似公式: x1 )1 () 1 (x 很小)x( x x x x1 xsin)2( x e)3( xtan)4( )1ln()5(x 证明证明: 令 )1 ()(xxf 得, 1)0(f )0(f ,很小时当 xxx 1)

16、1 ( 第23页/共35页 5 245的近似值 . 解解: 24335 5 245 5 1 )2243( 5 1 ) 243 2 1(3 3) 243 2 5 1 1( 004938. 3 xx 1)1 ( 004942. 3245 5 第24页/共35页 为了提高球面的光洁度 , 解解: 已知球体体积为 3 3 4 RV 镀铜体积为 V 在01. 0, 1RR时体积的增量,V VVd 01. 0 1 R R RR 2 4 01. 0 1 R R )(cm13. 0 3 因此每只球需用铜约为 16. 113. 09 . 8 ( g ) 用铜多少克 . )cmg9 . 8:( 3 铜的密度 估计

17、一下, 每只球需要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm , 第25页/共35页 练习练习1.)1ln(,|xxx 很很小小时时证证明明：当当 2.03. 1arctan的的近近似似值值求求 第26页/共35页 微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题函数的变化率问题 函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念 导数的概念导数的概念 求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法. 研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学, 叫做叫做微分学微分学. 导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 第27页/共35页

18、 导数与微分的区别导数与微分的区别: ., ,)(d ),()(. 1 00 00 它是无穷小它是无穷小实际上实际上定义域是定义域是 它的它的的线性函数的线性函数是是而微分而微分 处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数 R xxxxfy xfxxf )(limdlim 00 00 xxxfy xxxx . 0 . )(,()()( )(,)(,( )()(,. 2 0 000 000 0 的纵坐标增量的纵坐标增量方程在点方程在点 处的切线处的切线在点在点是曲线是曲线 而微分而微分处切线的斜率处切线的斜率点点 在在是曲线是曲线从几何意义上来看从几何意义上来看 x xfxxfyxx

19、xfdyxfx xfyxf 第28页/共35页 思考思考 题题 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在 0 x的的可可微微性性与与 可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导 数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？ 第29页/共35页 思考题解答思考题解答 说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引从概念上讲，微分是从求函数增量引 出线性主部而得到的，导数是从函数变化出线性主部而得到的，导数是从函数变化 率问题归纳出函数增量与自变量增量之比率问题归纳出函数增量与自变量增量之比 的极限，它们是完全不同的概念的极限，它们是完全不同的概念. 第30页/共35页 一、一、 填空题：填空题： 1 1、 已知函数已知函数 2 )(xxf 在点在点x处的自变量的增量为处的自变量的增量为 0.20.2，对应的函数增量的线性全部是，对应的函数增量的线性全部是dy=0.8=0.8，那，那 么自变量么自变量x的始值为的始值为_._. 2 2、 微分的几何意义是微分的几何意义是_._. 3 3、 若若)(xfy 是可微函数，则当是可微函数，则当0 x时，时， dyy 是关于是关于x 的的_无穷小无穷小. . 4