24.1.2垂直于弦的直径(第1课时)

1、 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径（ 第第1课时）课时） 难点：垂径定理及其推论的题设和难点：垂径定理及其推论的题设和 结论的区分结论的区分 知识点知识点: 1.圆的对称性圆的对称性 2.垂径定理及其推论垂径定理及其推论 重点：垂径定理及其推论重点：垂径定理及其推论 实践探究实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到 什么结论？什么结论？ 可以发现：可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是 它的对称轴它的对称轴 如图，如图，

2、AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为E （1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ O A B C D E 活活 动动 二二 （1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的 直线是它的对称轴直线是它的对称轴 （2） 线段：线段： AE=BE 弧弧:AC=BC,AD=BD 把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个两侧的两个 半圆重合，点半圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与

3、BE重合，重合， AC , AD分别与分别与BC 、BD重合重合 O A B C D E 垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧所对的两条弧 即直径即直径CD垂直于弦垂直于弦AB，平分弦，平分弦AB, 并且平分并且平分AB及及ACB “知二推三知二推三” (1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧 注意注意: :当具备了当

4、具备了(1)(3)(1)(3)时时, ,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制. . n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗? n相信自己是最棒的相信自己是最棒的! 垂径定理的推论垂径定理的推论 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中: 只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论. O AB C D M CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC, AD=BD. 垂径定理及推论垂径定理及推论 O AB C D M 条件 结论命题 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦

5、所的两条弧. 平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的 另一条弧另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平 分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直

6、于弦 ,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦. E E O O A AB B D D C C E EA A B B C C D D E E O O A AB B D D C C O O B BA A E E E E O O A A B B C C E E O O C C D D A A B B 练习练习在下列图形中，你能否利用垂径定理在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧找到相等的线段或相等的圆弧 一、判断是非：一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的

7、弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定过圆心。 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。 A B CDO (1) AB C D O (2) AB C D O (3) (4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 AB C O (4) A B C D O (5) AB C D

8、O (6) E （7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦 填空： 1、如图：已知AB是 O的直径，弦CD与AB相交于点E，若 _， 则CE=DE（只需填写一个你认为适当的条件） 2、如图：已知AB是 O的弦，OB=4cm，ABO=300，则O 到AB的距离是_cm，AB=_cm. 。 O A E DC B 。 O A B 第1题图第2题图 ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD） 2 4 H 选择： 如图：在 O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1） ABCD （2）AB平分CD （3）AB平分CD所对的弧。若以其 中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的 个

9、数为 （ ） A、3 B、2 C、1 D、0 。 O CD B A A 1如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O 到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径 O AB E 练习练习 解：解： OEAB 222 AOOEAE 2222 = 3 +4 =5cmAOOEAE 答：答： O的半径为的半径为5cm. 活活 动动 三三 11 84 22 AEAB 在RtAOE中 2如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的 两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形 ADOE是正方形是正方形 D O A

10、B C E 证明：证明： OEAC ODAB ABAC 90 90 90OEAEADODA 四边形四边形ADOE为矩形，为矩形， 又又AC=AB 11 22 AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形. OEAC ODAB 判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦平分弧的直径必平分弧所对的弦 平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必

11、垂直这条弦 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分的两条弧分别三等分 D A B O 5 3cm 在直径是在直径是20cm的的 O中，中，AB的度数是的度数是60， 那么弦那么弦AB的弦心距是的弦心距是_ 弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则，则 这弓形所在的圆的半径为这弓形所在的圆的半径为. D C A B O 13 4 cm 2 5cm 已知已知P为为 O内一点内一点,且且OP=2cm,如果如果 O 的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的最短的弦等点的最短的弦等 于于_ 小小 结结 直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦= 直径平分弦所对的