复旦大学-经济学院-谢识予-计量经济学-第九章-分布滞后和自回归模型

1、1 第九章第九章 分布滞后和自回归模型分布滞后和自回归模型 2 前言前言 n前面各章基本上没有区别所用的数据究竟是时 间序列数据还是截面数据。但这两类数据在计 量经济分析中还是有明显差异的。 n时间序列数据是经济运动动态过程的数量记录， 包含不同于横截面数据的特殊信息，可以进行 动态计量分析，但时间序列数据的内在联系也 可能给计量经济分析带来问题和困难。 n本章介绍利用时间序列数据进行动态计量分析 的几个专题。下一章我们将对时间序列数据计 量分析的一些问题进行分析。 3 本章结构本章结构 第一节 分布滞后模型 第二节 自回归模型 第三节 因果关系检验 4 第一节 分布滞后模型 一、经济中的滞后

2、效应和分布滞后模型 二、分布滞后模型参数估计 5 （一）经济中的滞后效应（一）经济中的滞后效应 n由于信息滞后、交易周期和心理因素等多方面 的原因，经济行为、政策的作用，经济变量之 间相互影响的效果，常常不是立即体现出来， 而是有时间延滞性或持续作用，会在以后一个 时期内逐步体现出来。 n这种现象就是滞后效应。滞后效应在经济问题 中是普遍存在的。 n例如人们获得后通常不会立即全部花掉，而是 会在以后一个阶段分次花费，因此收入对人们 消费的影响往往有时间滞后和持续的影响。 6 n滞后效应对经济问题的影响非常重要。要准确 把握经济关系，特别是长期动态关系，避免预 测和决策偏差，必须重视这种滞后效应

3、。 n滞后效应可以直接通过滞后作用的描述来反映。 n例如若某地消费者平均来说在获得20000元收 入后，会在当年消费掉8000元，下一年消费 6000元，再下一年又消费4000元，余下2000 元储蓄起来以备不时之需，那么意味着当年收 入一般对当年消费会产生40%的作用，对下年 消费会产生30%的作用，对再下年消费则有 20%的作用。 7 n为了横向比较方便等原因，滞后效应也可以通 过滞后期长度、短期效应、中期相应、半效应 长度等进行衡量。 n例如上述收入对消费滞后效应的滞后期长度， 也就是滞后效应的持续时间，总滞后效应完全 实现的时间，为2年。滞后的短期效应（当年 效果）为4/9，中期效应（

4、当年加次年效果） 为7/9。半效应长度，也就是滞后效应过半的 时间长度，则在1年之内。 8 n从另一个角度，滞后效应也可以反过来 理解为当期某指标受上期、再上期其他 某指标的影响。 n例如上述消费滞后效应也可理解为，当 年消费不仅受到当年收入（40%）的影 响，而且受到上年收入（30%）、再上 年收入（20%）的影响。用公式表示就 是： 21 2 . 03 . 04 . 0 tttt IIIC 9 n当然，消费者的消费行为一般不可能满足严格 函数关系，必然会因素随机因素干扰而有波动。 n此外人们有维持消费水平相对稳定的倾向，在 收入很低时也会设法保持基本的生活水平，因 此会有不受收入直接影响的

5、基本消费。 n但上述公式反映了滞后效应的主要特征，只要 进一步了解了基本消费，以此为基础就可以对 消费发展的趋势和收入政策效果等作出有效的 预测和分析。 10 （二）分布滞后模型 n已知存在滞后效应以及滞后效应的时间 长度和结构时，对滞后作用的分析预测 是比较简单的。 n但现实中的问题常常是只知道可能存在 滞后效应，滞后效应是否确实存在，滞 后效应的持续长度，及其结构模式都是 未知的。 11 n例如消费滞后效应问题可能是： 或： 模型中的 是反映基本消费的常数， 等 是反映滞后效应结构的系数，这些参数 的数值，是否显著都是未知的，需要根 据收入和消费数据通过计量分析估计。 n有时反映滞后期长度

6、的K也是未知的，也 需要通过分析确定。 ttttt IcIcIccC 231210 tKtKtttt IcIcIcIccC 1231210 0 c 1 c 12 n这种模型正是分析判断滞后效应的存在性及其 模式，研究经济行为、经济关系中滞后作用的 基本模型，称为“分布滞后模型” 。 n理论上可以考虑有无限多滞后项的分布滞后模 型： n这种分布滞后模型通常称为“无限分布滞后模 型”，相比之下，只有有限个滞后项的分布滞 后模型则称为“有限分布滞后模型”。 ttttt IcIcIccC 231210 13 n一般可采用下列标准化表达式分别表示有限分 布滞后模型和无限分布滞后模型： n无限分布滞后模型

7、：有无限多滞后项 n有限分布滞后模型：有限个滞后项 tKtKtttt XXXXY 22110 ttttt XXXY 22110 14 n此外，在考虑一个解释变量对被解释变量的影 响和滞后作用（如收入对消费）以外，还可以 同时考虑其他解释变量对被解释变量的影响， 甚至同时考虑多个解释变量作用的滞后效应等。 n分布滞后模型形式上是含有解释变量滞后项的 多元回归模型。 n但分布滞后模型主要用来研究经济变量作用的 时间滞后效应、长期影响，以及经济变量之间 的动态影响关系，可用于评价经济政策的中长 期效果，属于动态计量分析的范畴。 15 二、分布滞后模型参数估计 n用分布滞后模型研究滞后效应，进行预测分

8、析 和评估政策效果之前，先要估计模型中的未知 参数。 n分布滞后模型形式上与一般的多元线性回归相 似，但因为引进多个滞后变量和滞后期长度难 以确定，分布滞后模型的参数估计与一般多元 线性回归模型有所不同。 n分布滞后模型的参数估计首先要解决的问题是 滞后长度确定，或者如何在未知滞后长度时估 计参数。 16 （一）现式估计法 n现式估计法适用滞后长度不确定的分布滞后模 型。 n为了解决滞后长度不定的困难，可以依次估计 有滞后效应变量的一期滞后、两期滞后， 当发现滞后变量（加入的最多期滞后）的回归 系数在统计上开始变得不显著，或至少有一个 变量的系数改变符号（由正变负或由负变正） 时，就不再增加滞

9、后期，把此前一个模型作为 分布滞后模型的形式，相应参数估计作为模型 的参数估计。 17 n这种分布滞后模型的参数估计方法就是现式估 计法。这种参数估计方法只是普通最小二乘估 计的重复应用，易于掌握。 n但现式估计法也有问题。首先滞后长度的确定 没有明确的标准、根据；其次是引进较多期滞 后会降低自由度，回归分析的有效性会降低； 第三是滞后变量之间的相关性可能引发共线性 问题；此外被认为有数据开采的嫌疑。 18 （二）先验约束估计 n分布滞后模型参数估计的另一类方法， 是利用某种先验信息和经验设定分布滞 后模型的滞后模式，从而简化分布滞后 模型的函数形式，方便参数估计。这类 方法称为“参数约束法”

10、。 n最重要的参数约束法是阿尔蒙多项式法 和考伊克方法。 19 1. 阿尔蒙多项式法 n适用于已知滞后长度，但滞后长度较长的有限 分布滞后模型。 n这类模型的主要困难是参数数量较多，导致估 计困难。 n基本思想：以滞后期i 的一个适当次数的多项 式，模拟分布滞后模型的系数。 n可分别模拟单调下降、先升后降，以及循环变 化等不同的滞后效应类型。 20 n设一个有限分布滞后模型为： n也可以写成： n阿尔蒙认为可以用如下i 的多项式模拟 的变化： tKtKttt XXXY 110 t K i itit XY 0 i m mi iaiaiaa 2 210 21 n当 时，即： n当 时，即： 等。其

11、余依次类推。 n不难看出，阿尔蒙多项式所设定的滞后 参数变化模式，根据所选择的多项式次 数m的不同，分别对应线性变化（衰 减），先增后减的二次函数变化，以及 较复杂的高次曲线变化等。衰减速度则 取决于 、 等参数。 1m 2m iaa i10 2 210 iaiaa i 0 a 1 a 22 n反过来说，当我们通过对具体问题滞后 效应的分析，初步判断滞后效应的变化 模式符合上述线性变化，先增后减二次 曲线变化，或其他高次曲线形态变化时， 就可以选定相应的m和滞后参数多项式。 n一般来说，常见的滞后参数变化模式的 m在1到4之间。 23 n确定了滞后参数多项式以后，将这些多 项式代入分布滞后模型

12、进行变换。 n以m2的情况为例。 n把 代入前述分布滞后模 型，可得： 2 210 iaiaa i K i titt XiaiaaY 0 2 210 )( t K i it K i it K i it XiaiXaXa 0 2 2 0 1 0 0 24 n若令 ， ， n则模型变为： n很显然，上述 、 和 只是 及其各 期滞后的线性组合，因此仍是非随机的 或与误差项无关。 n因此可用OLS法对该式进行参数估计，得 到估计值 K i itt XZ 0 0 K i itt iXZ 0 1 K i itt XiZ 0 2 2 ttttt ZaZaZaY 221100 t Z0 1t Z t Z2

13、t X 25 n最后，只需要把这些估计值代入滞后参数多项 式，就可以得到得到各个滞后参数的估计值： 00 a 2101 aaa 2102 42 aaa 2 2 10 aKaKa K 26 n阿尔蒙多项式法可以把需要估计的参数 数量减少到有限的几个，是解决滞后效 应较长的分布滞后模型参数较多困难的 有效方法。 n但这种方法也有局限性。首先运用阿尔 蒙多项式法必须先知道分布滞后模型的 滞后长度，因为X变量变换为变量Z时K必 须是已知的。 27 n其次是滞后效应的模式，对应于m，也 必须预先知道，这就很难以避免判断的 主观偏差。 n最后上述变量变换会缩短样本长度，因 此并不能完全解决分布滞后模型参数

14、估 计的自由度问题。 n当样本容量并不是很大，滞后期长度较 长时，仍然无法得到有效的估计结果。 28 2. 考伊克方法 n考伊克方法在一定程度上可以弥补阿尔蒙多项 式法的不足，解决其部分问题。 n考伊克方法形式上是针对无限分布滞后模型： n但由于一般来说随着滞后期的增加滞后效应总 是不断减小，滞后期很大的项非常接近0。因 此无限分布滞后模型与滞后长度较长的有限分 布滞后模型并没有很大差别，考伊克方法也可 处理有限分布滞后模型，特别是滞后长度较长 的有限分布滞后模型。 ttttt XXXY 22110 29 n思路是：假设分布滞后模型中的未知参 数 都有相同的符号，并按照几何级数 衰减。其中 。

15、 n这种 函数有以下基本特点： （1） 不变号； （2） 是k的减函数； （3） 越小，衰减速度越快，称为衰减率 （4）长期乘数有限。 k k k 0 10 k k 0 k k 30 图9.2 考伊克方法参数衰减模式 4/3 2/1 4/1 滞后时间 k 31 n考伊克方法模型设定的滞后参数模型， 与现实经济中许多滞后效应变化规律确 实是一致的，因此有重要的价值。 n有了上述滞后参数变化模式，就可以对 分布滞后模型进行变换。 n首先作考伊克变换，即把 代入模 型，得到： k k 0 ttttt XXXY 2 2 0100 32 n该模型仍然含有无限多项，但其中的参 数已经只有3个了。只要我们再

16、把模型滞 后一期得： n进一步得： n整理得： 13 2 020101 ttttt XXXY )()1 ( 101 ttttt XYY )1 ( 10tttt YXY 1 ttt 33 n这就得到了一个比较简单的，只有两个 解释变量，三个未知参数的多元回归模 型。 n只要先把这三个未知参数估计出来，再 代回滞后系数函数，就可以得到原模型 所有参数的估计值，从而克服无限分布 滞后模型参数估计的困难。 34 n不过，上述模型中出现了一个新的问题， 那就是被解释变量的滞后变量 作为 解释变量的情况，而且因为模型的误差 项改变后肯定与 有关，因此普通最小 二乘估计不再适用，必须用工具变量法 等进行估计

17、。 n其实，存在被解释变量的滞后变量作为 解释变量的模型，也是我们要专门讨论 的，称为“自回归模型”。 1t Y 1t Y 35 考伊克方法的优劣性 n考伊克方法通过引进特定的滞后结构，把包含无穷多 参数的无限分布滞后模型，转化为仅含三个未知参数 的线性回归模型，并能最大限度地降低共线性等问题， 因此在一定程度上是比阿尔蒙多项式法更好的一种方 法。 n不过，考伊克方法仍然有自身的弱点和局限性。因为 这种方法中所设定的滞后结构模式也有主观性，而且 只能反映所有系数同号，滞后系数单调下降，按几何 级数下降的滞后效应，对于其他情况则无法反映。 n此外把无限分布滞后模型转化为自回归模型，实际上 又会引

18、起新的问题，需要进一步的克服解决方法。 n例91。详见Eviews演示。 36 第二节第二节 自回归模型自回归模型 一、自回归效应和自回归模型 二、自回归模型的理论导出 三、自回归模型参数估计 四、自回归模型的误差序列相关检验 37 一、自回归效应和自回归模型 n上一节运用考伊克方法解决无限分布滞后模型 参数估计问题时，得到了一个含有被解释变量 一阶滞后变量的模型。 n其实，被解释变量的滞后变量作为模型解释变 量的情况，在时间序列数据计量分析中经常会 涉及到。这种特定经济变量自身的跨期影响称 为“自回归效应”。 n考虑这种影响，把被解释变量的滞后变量作为 解释变量的回归模型，通常称为“自回归模

19、 型”。 38 n自回归模型对我们来说其实并也不是全新的概 念，因为前面讨论的线性回归模型的误差序列 相关就是误差项的自回归模型。 n经济变量之间的自回归效应并不是只有在变量 的相邻两期水平之间存在，相隔较远的时期之 间也可能存在。这时候就是带更多阶滞后项的 自回归模型，例如： tttt YYY 22110 ttttt XYYY 22110 39 n 一般地，可以考虑带S期滞后被解释变量和K 个其他解释变量的自回归模型： n此外，如果我们考虑同时存在自回归效应和分 布滞后效应，则模型可进一步发展为： n这种模型也可以称为“自回归分布滞后模型”。 自回归分布滞后模型一般都可以通过适当方法 转变为

20、纯粹的自回归模型，或完全的分布滞后 模型。 tKtKtStStt XXYYY 11110 tKtKtStStt XXYYY 11110 40 二、自回归模型的理论导出 n这里我们以适应性预期理论的计量经济模型为 例，来说明这种自回归模型的建模途径。 n根据预期理论，人们的经济行为很大程度上与 人们对经济变量未来水平的预期有关，甚至有 些情况下完全取决于这种预期。 n这可以通过下列预期模型反映： n其中 即人们在t 时期对X变量t+1时期水平的 预期。 ttt XY * 10 * t X 41 n运用这种模型必须先解决一个问题，那 就是模型中的预期变量无法观测的问题。 n解决这个问题的通常方法是

21、设定预期形 成（或修正）的模式，代入预期模型从 而设法消除模型中的预期变量。 n常见的预期模式有理性预期和适应性预 期两种，这里采用其中的适应性预期。 42 n适应性预期可以用下列公式来表示： n其中 和 分别是当期和前期对后一 期X水平的预期， 是t 时期X的实际水平， 称为“预期系数”。 n该预期模型的意义是，人们形成新预期 的方式，是在前期预期的基础上，根据 前期预期的偏差作适当的修正。 )( * 1 * 1 * tttt XXXX * t X * 1t X t X 43 n为了用这种适应性预期解决预期模型中 预期变量无法观测的问题，首先把适应 性预期模型改写为： n将该式代入前述预期模

22、型得： * 1 * )1 ( ttt XXX tttt XXY )1 ( * 110 ttt XX * 1110 )1 ( 44 n为了进一步消去模型中预期变量的滞后 变量 ，将原预期模型滞后一期得： n进一步得到： n这个模型中不包含任何预期变量，是一 个带一阶自回归项的自回归模型。 * 1t X 1 * 1101 ttt XY 1110 )1 ()1 ( ttttt YXY )1 ( 110ttt YX 45 三、自回归模型参数估计 n一般自回归模型中考虑的自回归效应长 度，也就是被解释变量的滞后期长度， 不象分布滞后模型的滞后期那么长。 n而且一阶自回归效应占很大比重，因此 自回归模型的

23、参数估计一般不存在参数 数量方面的困难。 n但自回归模型的参数估计仍然可能存在 问题。 46 n因为自回归模型的自回归项，也就是被 解释变量的滞后变量，必然是随机变量。 n如果这些自回归项与误差项有关 ，那么 普通最小二乘估计就不适用，必须采用 工具变量法或其他方法进行参数估计。 n我们先用两变量线性回归模型介绍工具 变量法。 47 n设模型为： 其中解释变量X不仅是随机变量，而且与 误差项有强相关性。 n工具变量法的思路是利用既与X相关性较 强，又与误差项没有相关性或渐近不相 关的一个“工具”变量Z，构造模型参数 的一致估计量。 XY 10 48 n首先对模型作离差变换： n两边再乘 的离差

24、 并求和，得 n然后两边除以 ，有： iii XXYY 1 i ZZZi i i ii i i i ii ZZXXZZYYZZ 1 XXZZ i i i XXZZ ZZ XXZZ YYZZ i i i i i i i i i i ii 1 49 n由于Z与X的相关性强，而与误差项渐近 不相关，因此当样本容量增大时上式最 后一项越来越小，其概率极限为0。 n因此把上式左边取作 的估计量，一定是 的一致估计量。这个估计量称为 的 “工具变量法估计”，记作： 1 1 1 XXZZ YYZZ i i i i ii IV 1 50 n用“工具变量法”称这种参数估计方法 的原因是，变量Z本身并不是影响Y的

25、解 释变量，只是在估计 的过程中起“工 具”作用。 n得到 的工具变量法估计以后， 的估计 仍然可以利用 的估计得到： n我们也称它为 的工具变量法估计。 1 1 1 0 XY IVIV10 0 51 n多元线性回归分析同样可以用工具变量 法进行参数估计，方法同样是用一组工 具变量的离差乘模型的离差形式求和， 再取概率极限后求解方程组。 n每个与误差项有强相关性的解释变量都 要找一个工具变量，与误差项相关性不 强的解释变量则可以作自己的工具变量。 52 n工具变量的选择是很有讲究的。 n一般原则是工具变量必须与所“替代” 的解释变量相关性较强，而与模型误差 项相关性弱。 n要符合这样的要求，必

26、须对变量的性质， 及它们与模型全体变量的关系等有较多 的了解。并要特别注意避免引起多重共 线性问题。 53 n上述自回归模型通常用解释变量的相应滞后变 量作被解释变量滞后变量的工具变量，或者先 对原模型进行回归以后，用被解释变量的理论 值（内插检验值）的相应滞后作工具变量。 n工具变量法参数估计量的具体计算实际上也可 以由计量软件完成。在EViews中工具变量法估 计的功能，包含在两阶段最小二乘估计中。 n例92。详见Eviews演示。 54 四、自回归模型的误差序列相关检验 n自回归模型中随机变量作解释变量遇到的另一 个问题是，对模型误差项的误差序列自相关性 检验。自回归模型的特点表明，这一

27、类模型存 在误差序列相关问题的可能性很大。 n要保证估计的有效性，必须进行误差序列相关 性检验。 n但问题是自回归模型必然有随机解释变量，而 对于有随机解释变量的模型，通常检验误差序 列自相关性的DW检验是不适用的。 55 n杜宾提出了一种适用检验这种模型一阶 自相关性的H 统计量，也称为“杜宾H 检验”。 n这种H统计量的计算公式为 其中 为模型误差项的一阶自回归系数 估计量。 ) ( 1 2 cVarn n H 56 n可以用DW 值计算： nn为样本容量， 为模型中一阶自回归 项 系数估计量的方差。 n杜宾证明在不存在误差序列相关时，上 述H统计量服从标准正态分布，可以根据 正态分布表进

28、行H的显著性检验，而H的 显著性检验则可以代表误差序列一阶自 相关存在性的检验。 2 1 DW ) ( 2 cVar 1t Y 57 n杜宾H检验具体方法如下： 给定显著性水平 ，查正态分布表得临 界值 。 若 ，认为模型存在一阶自相关； 若 ，则认为不存在一阶自相关。 h hH hH 58 第三节第三节 因果关系检验因果关系检验 一、经济变量之间的因果性问题 二、格兰杰因果性检验 59 一、经济变量之间的因果性问题 n经济变量的因果性其实是很复杂的问题，理论 上存在因果关系的变量现实中并不一定存在因 果关系，有因果关系的变量之间谁为因谁为果 也并不容易清楚。 n由于没有因果关系的变量之间常常

29、有很好的回 归拟合，把回归模型的解释、被解释变量倒过 来常常也能够拟合得很好，因此回归分析本身 不能检验因果关系的存在性，也无法识别因果 关系的方向。 60 n通过对变量关系更深入、细致的分析，排除因 果关系的误设，加强对回归模型中变量间因果 关系的信心，是解决上述因果关系疑问的方法 之一。 n采用联立方程组模型也是解决上述因果关系疑 问的一种方法。因为联立方程组模型中可包含 不同变量相互作为原因和结果的情况，可以在 一定程度上回避确定经济变量之间究竟谁为因 谁为果的困难。 61 n解决上述因果关系疑问的第三种方法是忽略计 量回归模型的因果性隐含，前提是可以进行有 效的预测。经济变量间因果关系的疑问，往往 导致计量回归分析的基础和价值受到影响。 n当然，如果能够对经济变量之间的因果性进行 检验，为理论上的因果关系寻找统计、实证方 面的支持和根据，对于计量经济回归分析价值 显然是有力的支持。 62 二、格兰杰因果性检验 n格兰杰检验就是运用统计技术检验经济变量因 果性的方法。 n基本原理是利用经济关系发挥作用的时间差和 滞后效应，根据经济变量各自的前期指标（滞 后变量反映）相互在解释、影响对方指标中的 显著程度，来判断因果关系的存在性和方向。 n格兰杰检验的特点决定了它只能适用于时间序 列数据模型的因果性检