点的轨迹方程的求法汇编

1、 求点的轨迹方程的步聚：求点的轨迹方程的步聚： 1 1、建立适当的直角坐标系，、建立适当的直角坐标系， 设动点的坐标为设动点的坐标为(x,y)(x,y) 2 2、列出动点满足的几何等式、列出动点满足的几何等式 3 3、列方程（即将几何等式代数化）、列方程（即将几何等式代数化） 4 4、化简化简 5 5、检验（除去不满足题意的点）、检验（除去不满足题意的点） 1 1、直接法、直接法 一、求动点的轨迹方程的常用方法一、求动点的轨迹方程的常用方法 1. 1. 已知点已知点M M与两个定点与两个定点O O(0(0，0)0) 、A A(3(3，0)0) 距离的比为距离的比为 求点求点M M的轨迹方程的轨

2、迹方程, ,说明它是什么图形说明它是什么图形 2 1 解解:设点设点M的坐标是的坐标是 ( , )x y 由题意得由题意得 1 2 MO MA 22 22 1 2 (3) xy xy 即 两边平方，得两边平方，得 22 22 1 (3)4 xy xy 化简，得化简，得 22 230 xyx 即为点即为点M M的轨迹方程。的轨迹方程。 22 (1)4xy即 点点M M的轨迹是圆心为的轨迹是圆心为(-1,0),(-1,0),半径长是半径长是2 2的圆的圆 2. 2. 长为长为2a2a的线段的两个端点的线段的两个端点A A和和B B分别在分别在 x x轴轴,y,y轴上滑动，求线段轴上滑动，求线段AB

3、AB中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。 解解:设设AB中点中点M坐标是坐标是( , )x y 由题意得由题意得 1 2 MOAB 22 1 2 2 xya即 两边平方，得两边平方，得 222 xya 即为即为ABAB中点的轨迹方程。中点的轨迹方程。 a 点点M M的轨迹是以（的轨迹是以（0 0，0 0）为圆心，）为圆心，a a为半径长的圆为半径长的圆 3. 3. 等腰三角形的顶点是等腰三角形的顶点是A A（4 4，2 2），底边一个），底边一个 端点是端点是B B（3 3，5 5），求另一个端点），求另一个端点C C的轨迹方程，的轨迹方程， 并说明它是什么图形？并说明它是什么图形？ 解解:设另一

4、个端点设另一个端点C的坐标是的坐标是( , )x y 因为因为 是等腰三角形是等腰三角形ABC ABAC所以 2222 (43)(25)(4)(2)xy 22 10(4)(2)xy 22 (4)(2)10 xy 画图检验画图检验 所以点所以点C C的轨迹是以（的轨迹是以（4 4，2 2）为圆心，）为圆心， 半径长是半径长是 的圆，除去点的圆，除去点(5,-1)(5,-1)和点和点(3,5)(3,5)10 点点B(3,5)B(3,5)关于点关于点A(4,2)A(4,2)对称的点对称的点B B/ /的坐标是的坐标是 (5,-1)(5,-1) 因为因为ABCABC构成三角形构成三角形 所以点所以点C

5、 C不能与点不能与点B B、点、点B B/ /重合重合 4、已知线段、已知线段AB的端点的端点B的坐标的坐标 是是(4,3),端点端点A在圆在圆 上运动上运动,求线段求线段AB的中点的中点M的轨的轨 迹方程，并说明轨迹的形状迹方程，并说明轨迹的形状 22 (1)4xy 图像 点点A的坐标是的坐标是 00 (,)xy 解解:设点设点M的坐标是的坐标是( , )x y 因为因为M是是AB的中点，的中点， 所以，所以， 0 0 4 2 3 2 x x y y 0 0 24 23 xx yy 因为点因为点A 在圆在圆 上运动上运动 22 (1)4xy 00 (,)xy 22 00 (1)4xy 将代入

6、中将代入中, ,得得 22 (24 1)(23)4xy 化简，得化简，得 22 33 ()()1 22 xy 所以点所以点M M的轨迹是以的轨迹是以 为圆心，半径长是为圆心，半径长是1 1的圆的圆 3 3 ( , ) 2 2 【小结小结】 求一个随着已知曲线上的动点而动的点的求一个随着已知曲线上的动点而动的点的 轨迹方程用的方法叫轨迹方程用的方法叫相关点法 相关点法 1 1、直接法、直接法: : 2 2、相关点法、相关点法 ( (也称坐标转移法也称坐标转移法): ): 所求动点所求动点M M 的运动依赖于一已知曲线上的一个动点的运动依赖于一已知曲线上的一个动点M M0 0的的 运动运动, ,将

7、将M M0 0的坐标用的坐标用M M的坐标表示的坐标表示, ,代入已知代入已知 曲线曲线, ,所得的方程即为所求所得的方程即为所求. . 求动点的轨迹方程的常用方法求动点的轨迹方程的常用方法 练习：练习： 1 1、已知点、已知点P P是圆是圆x x2 2+y+y2 2=1=1上的一个动点，又上的一个动点，又A(3A(3，0)0) 求线段求线段APAP的中点的中点M M 的轨迹方程；的轨迹方程； 22 31 () 24 xy 练习：练习： 2 2、过点、过点A(4,0)A(4,0)作直线作直线l l交圆交圆O O：x x2 2+y+y2 2=4=4于于B,CB,C两点，两点， 求线段求线段BCBC的中点的中点P P的轨迹方程的轨迹方程 解解:设设BC中点中点P坐标是坐标是( , )x y 由题意得由题意得OPBC OPAP即 1 OPA