正弦函数、余弦函数的性质(二)汇编

1、 函数函数y=sinxy=cosx 图形图形 定义域定义域 值域值域 最值最值 周期周期 奇偶性奇偶性 单调性单调性 对称性对称性 2 5 2 2 3 2 0 x y 2 1 - -1 xRxR 1,1y 1,1y 2 2 xk 时，时，1 max y 2 2 xk 时，时，1 min y 2xk时，时，1 max y 2xk时，时，1 min y 2 5 2 2 3 2 0 x y 1 - -1 2 2 奇函数奇函数 偶函数偶函数 1、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是增增函数函数. )()( 21 xfxf 复习回顾：复习回顾： 函数函数( ),yf x若在指定区间任取若在指

2、定区间任取 ， 12 x x、且且 ，都有：，都有： 21 xx 函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。函数的单调性反映了函数在一个区间上的走向。 观察正余弦函数的图象，探究其单调性观察正余弦函数的图象，探究其单调性 2、_，则，则f（x）在这个区间上是）在这个区间上是减减函数函数. )()( 21 xfxf 增函数：上升增函数：上升减函数：下降减函数：下降 一、探究：正弦函数的单调性一、探究：正弦函数的单调性 2 5 2 3 22 2 3 , 2 5 ，、，、 当当 在区间在区间 上时， 上时，x 曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，sin的值由的值由 增大到增大到 。11 753357 , ,

3、 22222222 、，、 ，、当当 在区间在区间x 上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。11 x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 一、探究：正弦函数的单调性一、探究：正弦函数的单调性 x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 正弦函数在每个闭区间正弦函数在每个闭区间)(2 2 ,2 2 Zkkk 都是增函数，其值从都是增函数，其值从1增大到增大到1； 而在每个闭区间而在每个闭区间 3 2,2() 22 kkkZ 上都是上都是 减函数，其值从减函数，其值从1减小到减小到1。 3 , 2

4、0 2 3 ,4 、 ，、 ， 当当 在区间在区间x上时，上时， 曲线逐渐上升，曲线逐渐上升，cos的值由的值由 增大到增大到 。11 曲线逐渐下降，曲线逐渐下降， sin的值由的值由 减小到减小到 。11 2 , 0 23 、，、 ， 当当 在区间在区间x 上时，上时， x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 一、探究：余弦函数的单调性一、探究：余弦函数的单调性 x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 由余弦函数的周期性知：由余弦函数的周期性知： 其值从其值从1减小到减小到1。 而在每个闭区间而在每个闭区间 上都是减函数，上都是

5、减函数，2,2kk 其值从其值从1增大到增大到1 ； 在每个闭区间在每个闭区间2,2kk都是都是增函数增函数， 一、探究：余弦函数的单调性一、探究：余弦函数的单调性 例例3 3 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: : (1)sin()sin(); 1810 与 2317 (2)cos()cos(). 5 与 学以致用学以致用 例例4.求函数的单调求函数的单调增增区间区间 解： 1 23 sinyx sinyz 22 22 zkk 1 22 2223 xkk 5 44 33 kxk 4,4 33 , 5 kkkZ 求函数的单调增区间求函数的单调增区间 5 33 4,4kk 1 2 sin

6、, 2 ,2 3 xyx 1,k 2 2 1711 , 33 0,k 5 , 33 1,k 711 , 33 1 4sin() 2 ,2 23 yxx 例 ：求函数，的单调递增区间。 1 :,sin 23 xyz 解令z=函数的单调递增区间是2,2. 22 kk 1 2x2, 2232 kk 由 5 4x4,k. 33 kkZ 得 A 2 ,2 , 设 5 A,. 33 B 易知 15 sin() 2 ,2 2333 yxx 则函数，的单调递增区间是-, 。 5 |4x4,k. 33 BxkkZ 求函数的单调求函数的单调增增区间区间 1 sin 23 yx 求函数的单调求函数的单调增增区间区间

7、 1 sin 23 yx sin()sin 1 sin 23 yx sinyz sinyz cos()cos 1 sin() 2 ,2 32 yxx 你能求函数，的单调递增区间吗？ 1 ,sin 23 xyz 令z=函数的单调递减区间是 3 2,2. 22 kk 13 2x2, 2232 kk 由 511 4x4,k. 33 kkZ 得 A 2 ,2 , 设 5 A 2 ,2 33 B 易知 1 sin() 2 ,2 332 5 3 yxx 则函数，的增-2 ,- ,单调递区间2是。 511 |4x4,k. 33 BxkkZ 11 : y=sin()sin(), 3223 xx 另解 ;)2

8、6 sin()1 (的单调递增区间求函数xy 的单调递减区间。求函数)2 3 cos()2(xy 练习练习 求下列函数的单调区间：求下列函数的单调区间： x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1P P 正弦函数的图象正弦函数的图象 53113 , 22222 x 对称轴：对称轴： , 2 xkkZ (,0),(0,0),( ,0),(2 ,0) 对称中心：对称中心： (,0)kkZ 二、探究正弦、余弦函数的对称性二、探究正弦、余弦函数的对称性 余弦函数的图象余弦函数的图象 , 0, 2x 对称轴：对称轴： ,xkkZ 35 (,0),(,0),(,0),(,0)

9、2222 对称中心：对称中心： (,0) 2 kkZ P P x 2 2 3 2 25 2 3 y O 2 32 2 5 3 1 1 二、探究正弦、余弦函数的对称性二、探究正弦、余弦函数的对称性 x 6 y o- -1 2345-2-3-4 1 x 6 o- -1 2345-2-3-4 1 y )(sinRxxy )(cosRxxy y=sinx的图象对称轴为：的图象对称轴为： y=sinx的图象对称中心为：的图象对称中心为： y=cosx的图象对称轴为：的图象对称轴为： y=cosx的图象对称中心为：的图象对称中心为： ；，Zkkx 2 .)0 (Zkk， ；，Zkkx .)0 2 (Zkk

10、， 任意两相邻对称轴任意两相邻对称轴( (或对称中心或对称中心) )的间距为半个周期；的间距为半个周期； 二、探究正弦、余弦函数的对称性二、探究正弦、余弦函数的对称性 例题例题 求求 函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心 sin(2) 3 yx 2 3 zx 解解（1）令）令 则则 sin(2)sin 3 yxz sinyz 的对称轴为的对称轴为, 2 zkkZ 2 32 xk 解得：解得：对称轴为对称轴为, 122 xkkZ (2)sinyz 的对称中心为的对称中心为(,0) ,kkZ 2 3 xk 对称中心为对称中心为 62 xk zk (,0) ,Z 62 kk 练习练习 求求

11、函数的对称轴和对称中心函数的对称轴和对称中心 1 cos() 24 yx C 4 5 842 ) 4 5 2sin(1 xDxCxBxA xy 、 的一条对称轴是、 （ ） 3 想一想：想一想： 的一个对称中心是函数) 2 5 2(siny. 2 x ），（0 8 .A ），（0 4 .B ），（0 8 3 .D ），（0 3 -.C （ ） B 0, 6 思考：思考： ）写出其单调区间。（ ）求其周期；（ 判断其奇偶性； ）求其值域；（ ）求其定义域；（ 已知函数 5 4 ) 3( 2 1 .sinlog)( 2 1 xxf 函数函数y=sinxy=cosx 图形图形 定义域定义域 值域值域 最值最值 单调性单调性 奇偶性奇偶性 周期周期 对称性对称性 2 5 2 2 3 2 0 x y 2 1 - -1 xRxR 1,1y 1,1y 2 2 xk 时，时，1 max y 2 2 xk 时，时，1 min y 2xk时，时，1 max y 2xk时，时，1 min y -2,2