正弦稳态的相量分析(精)完整版

1、 一、相量法分析正弦稳态的主要步骤一、相量法分析正弦稳态的主要步骤 ( (一一) ) 画出电路的相量模型画出电路的相量模型 根据电路时域模型画出电路相量模型的方法是根据电路时域模型画出电路相量模型的方法是 1. 将时域模型中各正弦电压电流，用相应的相量表示，将时域模型中各正弦电压电流，用相应的相量表示， 并标明在电路图上。对于已知的正弦电压和电流，按照下并标明在电路图上。对于已知的正弦电压和电流，按照下 式计算出相应的电压电流相量。式计算出相应的电压电流相量。 e )cos(2)( e )cos(2)( i j i u j u i u IIItUti UUUtUtu 正弦电流 正弦电压 相量形

2、式时域形式 2. 根据时域模型中根据时域模型中RLC元件的参数，用相应的阻抗元件的参数，用相应的阻抗(或或 导纳导纳)表示，并标明在电路图上。表示，并标明在电路图上。 j j 1 j 1 j G C C C L LL R R 或电容 或电感 或电阻 相量形式时域形式 (二二) 根据根据KCL、KVL和元件和元件VCR相量形式，建立复系相量形式，建立复系 数电路方程或写出相应公式，并求解得到电压电流的相量数电路方程或写出相应公式，并求解得到电压电流的相量 表达式。表达式。 UYIIZU U I n k k n k k 0 0 1 1 欧姆定律 基尔霍夫电压定律 基尔霍夫电流定律 (三三) 根据所

3、计算得到的电压相量和电流相量，写出相根据所计算得到的电压相量和电流相量，写出相 应的瞬时值表达式。应的瞬时值表达式。 ) cos(2)( e ) cos(2)( e ii j uu j i u tUtiIII tUtuUUU 正弦电流 正弦电压 时域形式相量形式 例例9-1 电路如图电路如图9-1(a)所示，已知电感电流所示，已知电感电流 10rad/s ,A cos2)( L tti 解：解：1.画出电路图画出电路图(a)的相量模型，如图的相量模型，如图(b)所示。其中所示。其中 1 j 1 . 010 1 j j 1 Zj20.2j10jZ j60.6j10j Z A 1A01 C2L2

4、1L1L C L LI 图图 9-1 试用相量法求电流试用相量法求电流i(t), 电压电压uC(t)和和uS(t)。 2. 观察相量模型，用相量形式的观察相量模型，用相量形式的KVL和电感和电感VCR方程方程 求出电感电压和电容电压相量求出电感电压和电容电压相量 j2V1j2j L2LC ILUU 根据相量形式的电容根据相量形式的电容VCR方程求出电容电流相量方程求出电容电流相量 A2A02 j1 j2 Cj 1 C C U I 图图 9-1 根据相量形式的根据相量形式的KCL方程求出电阻电流相量方程求出电阻电流相量 A121 CL III V9 .1265j43 j21)(j6) 1(3 j

5、 C1S UILIRU 根据相量形式的根据相量形式的KVL方程和电阻及电感方程和电阻及电感VCR方程，求方程，求 出电压源电压相量出电压源电压相量 根据电流相量根据电流相量 ,电容电压相量电容电压相量 和电和电 压相量压相量 以及角频率以及角频率 =10rad/s，求得，求得 电流电流i(t)，电压，电压uC(t)和和uS(t)的瞬时值表达式为的瞬时值表达式为 A 1I j2V C U V9 .1265 S U )V9 .12610cos(25)( )V9010cos(22)( )A18010cos(2)( S C ttu ttu tti 图图 9-1 图图 9-2 二、阻抗串联和并联电路分析

6、二、阻抗串联和并联电路分析 1.阻抗串联电路分析阻抗串联电路分析 图图9-2(a)表示表示n个阻抗的串联，流过每个阻抗的电流相个阻抗的串联，流过每个阻抗的电流相 同，根据相量形式的基尔霍夫电压定律和欧姆定律得到以同，根据相量形式的基尔霍夫电压定律和欧姆定律得到以 下关系下关系 ) 19( )( 321 321 321 IZIZZZZ IZIZIZIZ UUUUU n n n 以上计算结果表明以上计算结果表明n个阻抗串联组成的单口网络，就个阻抗串联组成的单口网络，就 端口特性来说，等效于一个阻抗，其等效阻抗值等于各串端口特性来说，等效于一个阻抗，其等效阻抗值等于各串 联阻抗之和，即联阻抗之和，即

7、 ) 29 ( 1 321 n k kn ZZZZZ I U Z n个阻抗串联的电流相量与其端口电压相量的关系为个阻抗串联的电流相量与其端口电压相量的关系为 ) 39 ( 1 321 n k k n Z U ZZZZ U I 第第k个阻抗上的电压相量与端口电压相量的关系为个阻抗上的电压相量与端口电压相量的关系为 ) 49 ( 1 321 U Z Z U ZZZZ Z IZU n k k k n k kk 这个公式称为这个公式称为n个阻抗串联时的分压公式。当两个阻个阻抗串联时的分压公式。当两个阻 抗串联时的分压公式为抗串联时的分压公式为 5)(9 21 2 2 21 1 1 U ZZ Z UU

8、ZZ Z U 读者可以看出以上几个公式与读者可以看出以上几个公式与n个电阻串联时得到的个电阻串联时得到的 公式相类似。公式相类似。 ) 49 ( 1 321 U Z Z U ZZZZ Z IZU n k k k n k kk 下面用相量法对图下面用相量法对图9-3示示RLC串联电路进行分析。已知串联电路进行分析。已知 电压电压u(t)=Umcos( t+u)，求各电压电流。，求各电压电流。 图图(a)所示电路的相量模型如图所示电路的相量模型如图(b)所示。单口网络相量所示。单口网络相量 模型的等效阻抗模型的等效阻抗 ) 1 j( j 1 j CLR C LR C LRZZZZ 图图 9-3 电

9、流相量电流相量 i u ) 1 ( j I C LR U Z U I 其中其中 R C L C LR U I 1 arctan ) 1 ( ui 22 用分压公式计算用分压公式计算RLC元件上的电压相量元件上的电压相量 U C LR C U U C LR L U U C LR R U ) 1 ( j 1 j ) 1 ( j j ) 1 ( j C L R 根据计算得到的电流相量和电压相量写出电流和电压根据计算得到的电流相量和电压相量写出电流和电压 的瞬时值表达式。的瞬时值表达式。 例例9-2 已知图已知图9-4(a)所示电路的所示电路的u(t)=10 cos2t V, R=2 , L=2H,

10、C=0.25F。试用相量方法计算电路。试用相量方法计算电路 中的中的i(t), uR(t), uL(t),uC(t)。 2 解：图解：图(a)电路的相量模型，如图电路的相量模型，如图(b)所示。求出所示。求出RLC串联电串联电 路的等效阻抗路的等效阻抗 4522)2 j2()2 j4 j2( CLR ZZZZ 图图 9-4 求出求出RLC元件的相量电流元件的相量电流 A4525 . 2 4522 010 Z U I 用分压公式计算用分压公式计算RLC元件上的电压相量元件上的电压相量 V13507. 7010 4522 j2 V4514.14010 4522 4 j V4507. 7010 45

11、22 2 C L R U U U 根据以上电压电流相量得到相应的瞬时值表达式根据以上电压电流相量得到相应的瞬时值表达式 V)1352cos(10V)1352cos(207. 7)( V)452cos(20V)452cos(214.14)( V)452cos(10V)452cos(207. 7)( A)452cos(5A)452cos(225 . 2)( C L R tttu tttu tttu ttti V13507. 7010 4522 j2 V4514.14010 4522 4 j V4507. 7010 4522 2 C L R U U U 各电压电流的相量图如图各电压电流的相量图如图(

12、c)所示。从相量图上清楚地所示。从相量图上清楚地 看出端口电压看出端口电压u(t)的相位超前于端口电流相位的相位超前于端口电流相位i(t) 45，表，表 明该明该RLC串联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电感串联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电感 的串联，即单口网络具有电感性。从相量图还可以看出的串联，即单口网络具有电感性。从相量图还可以看出 图图 9-4 U=10VUR+UL+UC=(7.07+14.14+7.07)V=28.28V 其中电感电压其中电感电压UL=14.14V比总电压比总电压U=10V还要大，这还要大，这 再次表明电压有效值之间不服从再次表明电压有效值之间不服从KVL定

13、律。定律。 )69()( 21 2121 UYUYYY UYUYUYIIII n nn 图图 9-5 2. 导纳并联电路分析导纳并联电路分析 图图 9-5(a) 表示表示n个导纳的并联，每个导纳的电压相同，个导纳的并联，每个导纳的电压相同， 根据相量形式的基尔霍夫电流定律和欧姆定律得到以下关根据相量形式的基尔霍夫电流定律和欧姆定律得到以下关 系系 以上计算结果表明以上计算结果表明n个导纳并联组成的单口网络，等个导纳并联组成的单口网络，等 效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即效于一个导纳，其等效导纳值等于各并联导纳之和，即 ) 79 ( 1 21 n k kn YYYY U I Y

14、得到得到n个导纳并联的电压相量与其端口电流相量的关个导纳并联的电压相量与其端口电流相量的关 系为系为 ) 89 ( 1 21 n k k n Y I YYY I U 求得第求得第k个导纳中的电流相量与端口电流相量的关系为个导纳中的电流相量与端口电流相量的关系为 ) 99 ( 1 21 I Y Y I YYY Y UYI n k k k n k kk 这个公式称为这个公式称为n个导纳并联时的分流公式。常用的两个导纳并联时的分流公式。常用的两 个阻抗并联时的分流公式为个阻抗并联时的分流公式为 )01(9 21 1 2 21 2 1 I ZZ Z II ZZ Z I 以上几个公式与以上几个公式与n个

15、电导并联时得到的公式相类似。个电导并联时得到的公式相类似。 下面用相量法对图下面用相量法对图(a)所示所示RLC并联电路进行分析。已并联电路进行分析。已 知电压知电压i(t)=Imcos( t+i)，求各电压电流。，求各电压电流。 图图(a)所示电路的相量模型如图所示电路的相量模型如图(b)所示。计算出单口网所示。计算出单口网 络相量模型的等效导纳络相量模型的等效导纳 ) 1 j( j 1 j LCR L CG L CGYYYY 图图 9-6 计算出电压相量计算出电压相量 u i ) 1 ( j U L CG I Y I U 其中其中 G L C L CG I U 1 arctan ) 1 (

16、 iu 22 图图 9-6 用分流公式计算用分流公式计算RLC元件中的电流相量元件中的电流相量 I L CG L I I L CG C I I L CG G I ) 1 ( j 1 j ) 1 ( j j ) 1 ( j L C R 根据电压相量和电流相量可以写出电压和电流的瞬时根据电压相量和电流相量可以写出电压和电流的瞬时 值表达式。值表达式。 例例9-3 已知图已知图9-7(a)所示电路的所示电路的 F5 . 0,H2,1A, 2cos215)( S CLRtti 试用相量方法计算电路中的试用相量方法计算电路中的u(t), iR(t), iL(t), iC(t)。 解：图解：图(a)所示电

17、路的相量模型如图所示电路的相量模型如图(b)所示。求出所示。求出RLC并联并联 电路的等效导纳电路的等效导纳 S9 .3625. 1S)75. 0 j1 (S) 1 j 4 1 j1 ( CLR YYYY 图图 9-7 求出相量电压求出相量电压 V9 .3612V 9 .3625. 1 015 Y I U 用分流公式计算用分流公式计算RLC元件上的电流相量元件上的电流相量 A1 .5312A015 9 .3625. 1 1 j A9 .1263A015 9 .3625. 1 j0.25 A9 .3612A015 9 .3625. 1 1 C L R I I I 根据以上电压电流相量得到相应的瞬

18、时值表达式根据以上电压电流相量得到相应的瞬时值表达式 A)1 .532cos(212)( A)9 .1262cos(23)( A)9 .362cos(212)( V)9 .362cos(212)( C L R tti tti tti ttu A1 .5312A015 9 .3625. 1 1 j A9 .1263A015 9 .3625. 1 j0.25 A9 .3612A015 9 .3625. 1 1 C L R I I I 各电压电流的相量图如图各电压电流的相量图如图(c)所示。从相量图上清楚地所示。从相量图上清楚地 看出端口电流的相位超前于端口电压相位看出端口电流的相位超前于端口电压相

19、位36.9，表明该，表明该 RLC并联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电容的并并联单口网络的端口特性等效于一个电阻与电容的并 联，该单口网络具有电容性。从计算结果和相量图均可以联，该单口网络具有电容性。从计算结果和相量图均可以 看出看出 图图 9-7 I=15AIR+IL+IC=(12+3+12)A=27A 再次表明电流有效值之间不服从再次表明电流有效值之间不服从KCL定律。定律。 例例9-4 图图9-8示电路与例示电路与例9-1中讨论的电路完全相同。中讨论的电路完全相同。 已知电压源电压为已知电压源电压为 10rad/s ,V cos210)( S ttu 试求各电压电流。试求各电压电流。 图图 9-8 解：该电路既有阻抗的串联，又有阻抗的并联，我们可以解：该电路既有阻抗的串联，又有阻抗的并联，我们可以 用阻抗联和并联的等效阻抗公式，求出连接于电压源用阻抗联和并联的等效阻抗公式，求出连接于电压源 的阻抗混联单口网络的等效阻抗的阻抗混联单口网络的等效阻抗 1 .535) 4 j3 (j2)6 j3 ( j1j2 j1)(j2 6 j3Z 计算出电流相量计算出电流相量 A1 .532A 1 .5