证券市场期权定价的理论

1、第十章第十章 衍生资产定价：衍生资产定价： 期权定价理论及其应用期权定价理论及其应用 4期权定价的技巧被广泛的应用到许多金融领域 和非金融领域，包括各种衍生证券定价、公司 投资决策等。 4学术领域内的巨大进步带来了实际领域的飞速 发展。期权定价的技巧对产生全球化的金融产 品和金融市场起着最基本的作用。 4近年来，从事金融产品的创造及定价的行业蓬 勃发展，从而使得期权定价理论得到不断的改 进和拓展。 4所以，无论从理论还是从实际需要出发，期权 定价的思想都具有十分重要的意义。 1. 一些基本定义一些基本定义 4例子：投资者B和W计划签定一份合同：现在 B支付给W 200元，交换条件是在接下来的六

2、个 月的任何时间，允许B自愿从W那里以150元/ 股的价格购买100股IBM公司股票。 IBM公司 股票现在的价格为145元/股。问题： B和W为什么都愿意签定这个合同？ B如果不支付给W 200元，W是否愿意签定这个合同？ 4例子：投资者B和W计划签定一份合同：现在 B支付给W 200元，交换条件是在接下来的六个 月的任何时间，允许B可自愿以135元/股的价 格卖给W 100股IBM公司股票。 IBM公司股票 现在的价格为145元/股。问题： B和W为什么都愿意签定这个合同？ B如果不支付给W 200元，W是否愿意签定这个合同？ 4看涨期权、看跌期权 4一种期权具有四个特征： 1）这种期权能

3、够买（对于看涨期权而言）或者卖 （对于看跌期权而言）的对象，或者说，合约是关 于哪种资产的合约，我们称这种资产为标的物标的物 (underlying asset)。 以股票为标的物的期权，每份期权通常包括100份特定的股票。 例如，持有一份以IBM公司股票为标的物的看涨期权，是一份可 以买100份IBM公司股票的权利。 2）执行价格）执行价格(exercise price, 或者strike price)。 这个价格是执行期权合约时，可以以此价格购买标的物的价格。 对于以IBM公司股票为标的物的看涨期权，如果执行价格为150 美元，则在执行这种期权时，按每份股票150美元购买。 3）期权有效的

4、时间区间由到期日）期权有效的时间区间由到期日(expiration date)来 确定。 这段时间区间可以是一天、一个星期、或者一年。以IBM公司股 票为标的物的看涨期权，如果到期日为六个月，则在这六个月里， 这份权利都是有效的。 4）期权应该包括是否可以在到期日之前执行这种 权利。 如果在到期日之前的任何时间以及到期日都能执行，我们称这种 期权为美式期权美式期权。如果只能在到期日执行，称为欧式期权欧式期权。 美式和欧式这两个名词曾代表了以股票为标的物的期权在美洲和 欧洲的结构形式。但是现在，它们已成为反映两种不同结构的期 权的标准名词，而不管期权是在哪儿发行的。 4看涨期权(call opt

5、ion)、看跌期权(put option)、 鞍式期权(straddle option)、蝶式期权(butterfly spread option)、实值期权(in the money option)、 两平期权(at the money option)、虚值期权(out of the money option) 4所有合约都是由看涨期权、看跌期权、股票和 债券四种基本证券构成地。 4Exotic option: Asian option Barrier option Lookback option Currency-translated option Binary option 4所有股票期

6、权合约在标的股票发生拆股 或者分红股的情况时，执行价格和合约 中规定的股数都要作相应的调整。 例子：假如在购买上述期权的当天， IBM公司股票的价格为 145元，第二天，1股拆成6股。股价变为145/6元。 4 期权的这四个特征标的物、是看涨 还是看跌、执行价格、到期日（包括是 美式还是欧式）说明了一种期权的 各个细节。 4期权是两人之间的一种合约，其中的一 人给予另外一人在规定的一段时间内， 可以以规定的价格买或者卖某种规定的 资产的权利。 4获得权利的一方需要做出是否接受该权 利的决定，我们称这一方为期权的买者期权的买者 (option buy)，因为他需要付钱来获得这 种权利。 4提供权

7、利的一方称为期权的写者期权的写者(option writer)。 4例如，欧式看涨期权是一种证券，这种 证券给出了期权持有者在到期日以执行 价格购买标的物的权利。 4何时买看涨期权，何时买看跌期权？ 4既然期权的持有者获得的是权利而不需 要承担什么义务，他就必须花钱购买这 个权利，那么，公平的价格应该是多少？ 这是证券投资学研究的重要内容。 2 影响欧式期权价格的因素影响欧式期权价格的因素 4本章的主要目的：如何确定以金融证券 为标的物的欧式期权的价格。 4在整个一章中假设：如果无特殊说明，在整个一章中假设：如果无特殊说明， 标的物在到期日以前不支付红利。标的物在到期日以前不支付红利。 4期权

8、理论之所以重要，不仅仅因为期权 在证券市场结构中具有重要的作用，也 因为期权理论说明了投资学的基本原理 被提高到了一个新的水平在以动态 结构为基本结构的经济环境中应用这些 原理。 4假设一种欧式看涨期权，它以某种股票为标的 物，该股票在时间 t 的价格以 表示，期权的 执行价格为 ，到期日为 ，期权在时间 t 的 价格为 。 t S KT t c 4第一，在到期日 T，期权的价值为多少。 1） 2） 把期权在 T 时的价格显示地表示成股票价格的函数。 这个函数如下图所示。该图说明当 ，期权 的价值为零，当 时，期权的价值随着股票 价格的增加而线性增加。 例子： 期权不可能有负的价值，责任有限金

9、融工具。 KST KST KSKSc TTT , 0max KST KST 图1看涨期权在到期日的收益 T S K T c 4对于欧式看跌期权而言，上述结果正好 反过来。假设一种看跌期权，它以某种 股票为标的物，该股票在时间 t 的价格 以 表示，期权的执行价格为 ，到期 日为 T，期权在时间 t 的价格为 t SK t p 4在到期日 T，期权的价值。 1） 2） 把期权在 T 时的价格显示地表示成股票价格的函数。 这个函数如下图所示。该图说明当 ，期权的 价值为零，当 时，期权的价值随着股票价格 的增加而线性减少。 KST KST TTT SKSKp, 0max KST KST T S K

10、 p 图图2 看跌期权在到期日的收益 4注意，看跌期权在 时的价值是有界的， 而看涨期权在 时的价格是无界的。相 反，当写一份看涨期权时，可能的损失 是无界的。 T T 4期权的写者的收益 看涨期权的写者在到期日的收益 看跌期权的写者在到期日的收益 4 对于看涨期权而言，如果分别有 、 、 ，则称一份看涨期权分别 为实值期权实值期权(in the money option)、两平期两平期 权权(at the money option)、虚值期权虚值期权(out of the money option)。这些名称适用于任何 时间，但在到期日，这些名称描述了期 权价值的特征。对于看跌期权，我们也

11、有类似的名称。 KST KSTKST 4第二，期权的时间价值。 即使在到期日以前的任何时间，欧式期权均 有价值，因为它提供了将来执行权利的可能 性。 例如，以GM公司股票为标的物的一种期权，其执 行价格为40美元，到期日为三个月。假设GM公股 票现在的价格为37美元。显然，在接下来的三个月 中，该股票的价格有可能上涨而超过40美元，从而 有执行该期权而获得利润的可能。从这儿可以看出， 即使现在期权是虚值的，它也具有价值。 4在到期日以前的任何时间 t ，这里 ， 作为股票价格的函数，欧式看涨期权的 价格 是 t 时股票价格 的光滑函 数，其图形如图3所示。 Tt )( tt Sc t S 6个

12、月 3个月 图3 具有不同到期日的 期权价格曲线 t S )( tt Sc 时 间 价 值 4这条光滑曲线可以利用历史的实际数据，通过 回归分析来得到。在图中，粗的折线表示在到 期日，期权的价格曲线。这条线上面的曲线对 应于到期日不同的期权的价格曲线。在粗折线 上的第一条对应的到期日为三个月，紧接着的 一条曲线对应的到期日为六个月，到期日越长 的曲线越在上面。这表明，在到期日以前的任 何时间，对于同一股票价格，到期日越长的期 权，其价格越高。这是因为，到期日越长，标 的股票价格上扬，从而增加最后支付的可能性 越大。 4当股票的价格远远大于或者小于执行价格时， 随着到期日的增加，期权价格增加的幅

13、度越 来越小。 当股票的价格远远大于执行价格时，持有期权并 不比持有股票占多大的优势。 当股票的价格远远小于执行价格时，股票价格上 涨超过的可能性很小，从而期权的价格为零。 4第三，还有哪些因素影响期权的价格？ 1）执行价格 从(1)和(2)式可以看出，一种看涨期权，其执行价格越小， 股票价格超过的可能性就越大，这种看涨期权也就越有价 值。对于看跌期权，结果正好相反。 2）标的股票价格的方差 在投资的过程中，投资者偏好以方差较大的股票为标的物 的期权。方差越大，股票价格超过执行价格的概率越大， 这种期权对投资者也就越有价值。 假设有两种期权，具有相同的执行价格，但标的股 票价格的分布不同，如图

14、4，这两个分布的期望值 相同，方差不同。我们偏好于哪一种期权？ 图4 股票价格的分布 S Sf 因为只有当股票的价格大于执行价格时，我们才能 从期权合约中获得收益。股票价格分布的方差越大， 股票价格超过执行价格的概率也就越大，我们获得 收益的概率也就越大。所以，我们偏好以方差较大 的股票为标的物的期权。 期权的价值与标的资产的价值之间的重大差别：如 果持有标的资产，我们获得收益的可能性由标的资 产价格的整个概率分布决定。作为风险厌恶者，我 们不喜欢高风险。如果我们持有期权，我们获得收 益的可能性由标的资产价格的尾部概率分布决定。 期权的这种性质使得大的方差更具有吸引力。 4例子：假设某家公司得

15、到一笔长期贷款， 每年应支付的利息为8000元。该公司可 以把这笔贷款用于下面两个项目中的一 个。这两个项目具有相同的5000元的期 望现金流。 4 项目1 项目2 4概率 现金流 概率现金流 40.2 4,0000.40 40.6 5,0000.25,000 40.2 6,0000.410,000 如果投资到第一个项目，该公司将破产，因为所 有可能的现金流都比偿还利息所需的8000元少。 由于第二个项目的方差较大，所以有40%的机会， 除能够偿还利息外，还有2000元的剩余。显然， 该公司将选择第二个项目。尽管它的风险更大， 但是存在40%的机会给公司带来正的利润。 这个例子形象地说明了期权

16、的持有者为什么更偏好大的方 差。同时，这个例子也引入了一种重要的观点。一个公司 的股东实际上是一种期权的持有者，这种期权以公司的市 场值为标的物。当公司的市场值比它所需偿还的债务低时， 公司破产。这时，股东允许期权到期而不执行，股东所持 有的股票的价值为零；股东把公司移交给债权人，债权人 获得公司作为补偿。当公司的市场值比它所需偿还的债务 高时，股东执行期权，偿还债权人的债务后，股东获得剩 余的利润。 3）无风险利率。 在所有的因素里，这个因素是最不直观的。一般 说来，无风险利率越大，执行价格的现值也就越 小，这样的期权也就越有价值。而且，当市场处 于均衡状态时，无风险利率越大，股票的回报率

17、也应该越高。从而，在到期日，股票的价格也应 该越高，这时，期权的价格也应该越高。 在确定欧式看涨期权的价格时，有五种因素 是重要的：标的资产的价格，期权的执行价 格，标的资产价格的方差，到期日（实际应 该是剩下的到期时间），以及无风险利率。 把欧式看涨期权的价格写成如下的函数形式： (3) ftt rtTKSfc, 2 3 期权在证券市场中的作用期权在证券市场中的作用 4金融市场中一个引人注目的发展就是衍生证券 的日趋普遍。在许多情况下，套期保值者和投 机者都发现交易某项资产的衍生证券比交易资 产本身更具有吸引力。原因在于，衍生证券往 往具有现有上市证券所不具备的特点，从而能 够满足一些套期保

18、值者和投机者的特殊要求， 所以，证券公司经常根据客户的需要，开发一 些衍生证券来满足要求。 4衍生行业的蓬勃发展，说明了现有的证券市场 并不是完备的市场，因为作为一个完备的市场， 总能通过构造证券组合来满足投资者的各种要 求。同时，也说明了衍生产品在资源配置有效 化中所起的作用。 4 期权组合策略，图形表示期权组合策略，图形表示 4假设：欧式看涨期权和欧式看跌期权具假设：欧式看涨期权和欧式看跌期权具 有相同的到期日和相同的标的股票，并有相同的到期日和相同的标的股票，并 且假设执行价格等于标的股票期初的价且假设执行价格等于标的股票期初的价 格。格。 当 时欧式看涨期权在到期日的利润 0 SK S

19、 W Trf ec0 Trf ec0 当 时欧式看跌期权在到期日的利润 0 SK S W Trf ep0 Trf ep0 股票在到期日的利润 S W 债券在到期日的利润 S W Trf Be Trf Be 上述证券可以按下面的关系任意组合 S W BcpS 买一份股票并买一份以此股票为标的物的看 跌期权所获得的收益，和持有一份债券并买 一份以同样股票为标的物的看涨期权所获得 的收益是一样的。 鞍式期权 S W 5 欧式看涨期权与看跌期权价格之间欧式看涨期权与看跌期权价格之间 的平价关系的平价关系(put-call parity) f f r KSr pc 1 1 0 00 4假设欧式看涨、看跌

20、期权具有相同的标的物、 相同的到期日、相同的执行价格 4简单一期模型 4连续复利 Tr f eSpc 000 4买一份股票，买一份看跌期权，再卖一 份看涨期权，在到期日，该证券组合的 收益为 4有红利时欧式期权的平价关系 4美式期权不存在平价关系 6 关于期权价格界的定理关于期权价格界的定理 4看涨期权价格的界。 定理1：以不支付红利的股票为标的物的美 式看涨期权不会提前执行。 证明：买一份欧式看涨期权，买面值为K 债券， 再卖空一份股票。 定理2：当标的股票支付红利时，美式看涨 期权可能被提前执行。 定理3：无论标的股票是否支付红利，美式 看跌期权都有可能提前执行。 1 S 2 S 2 S

21、7 期权定价理论期权定价理论二项式方法二项式方法 4Black-Scholes 模型模型 4等价鞅测度模型等价鞅测度模型 4二项分布方法二项分布方法 在应用这种方法时，最重要的是套期保值套期保值的概念。 套期保值最形象、最简单的例子是有关保险中的定 价问题。 可用于对美式期权的定价 可用于对标的物有红利的期权定价 4假设1：标的股票不支付红利 4假设2：证券市场是无摩擦的和完全竞争 的，且不存在套利机会。 4A. 以股票为标的物的看涨期权的简单二项模型 标的股票的价格服从二项分布产生的过程： 4 4 图9 一期二项式生成过程 S uS dS q q1 4这里 =股票现在的价格 =股票价格上涨的

22、概率 =一期的无风险利率 =股票价格上涨的幅度 =股票价格=下跌的幅度 S q f r u d 例子： 4 4 20S 24uS 4 .13dS q q1 1 . 0 f r 21K2 . 1u67. 0d 4注：对 的假设，在这个假设之下，不 管经过多少期，股票的价格永远不会跌 到零以下。但是，对股票价格上涨的界 没有限制。 d 4每期的无风险利率为 。对 的限制 为 ，这是无套利条件。直观 地可以看出，无论是 （这时，无 风险利率总比股票的风险回报率高）还 是 （这时，无风险利率总比股 票的风险回报率低），都存在套利机会。 不失一般性，假设 。 f r f r dru f 1 durf1

23、f rdu1 0 f r 4以股票为标的物的欧式看涨期权，执行 价格为 ，到期日为一期，它的现价以 表示。该期权在到期日的支付如下图 4 4 图10 欧式看涨期权的支付 K c q q1 c KuSc u , 0max KdScd, 0max 构造无风险套期保值证券组合：以价格 买一份股票，写 份以股票为标的物的看涨期权（ 称为套期保值比率）。下 图说明了这个套期保值证券组合的到期支付。如果这个套期 保值证券组合在每种状态下的到期支付都相等，则这个证券 组合是无风险的。 图11 套期保值证券组合的到期支付 S m m q q1 mcS u mcuS d mcdS 4让支付相等，得到： 4 =

24、4从上式中解出看涨期权的份数 ： 4 (21) 4把例子里的数字代入，得到 =3.53 4因此，无风险套期保值证券组合包括买一份股票，写 3.53份看涨期权。在两个状态下的支付相等，如下表： 不确定状态 证券组合 支付 好状态 1.2(20元)-3.53(3元)=13.40元 坏状态 0.67(20元)-3.53(0元)=13.40元 u mcuS d mcdS m du cc duS m m u mcuS d mcdS 4因为套期保值证券组合是无风险的，它的终端支付应 该等于它的现价乘以 ，即， 从这个式子得出期权的价格： 4 (22) 4设 4则 f r1 uf mcuSmcSr1 f f

25、 d f u r du ru c du dr c c 1 11 du dr P f 1 du ru P f 1 1 4 f du r pcpc c 1 1 4这里定义 的总是大于0而小于1，具有概率的性质， 我们称之为套期保值概率套期保值概率。 4从 的定义可以看出，无套利条件 成立 当且仅当 大于0而小于1（即，保证 是概率）。 P P dru f 1 PP 4 是当市场达到均衡时，风险中性者所认为 的 值，即，股票价格上涨的概率。作为风 险中性者，投资者仅仅需要投资在风险股票上 的回报率为无风险利率： 4从中解出值，得到： 4所以，对一个风险中性者来说， = ，而(24) 式中看涨期权的价

26、格可以解释为，在一个风险 中性环境中，期权的期望终端支付的折现值。 P q dSqquSSrf)1 (1 du dr q f 1 P q 4在求得看涨期权价格的过程中，有两点 是至关重要的： 套期保值证券组合的存在性； 无风险的套期保值证券组合的的回报率为无 风险利率。 4 看涨期权的定价公式具有以下三个有趣 的特征： 1该公式不依赖于股票价格上涨的概率。这 使得，即使投资者对的预期不一致，只要他们 对别的参数的估计一致（包括 ）， 他们就会有一样的定价公式。 2该公式的获得不依赖个体对风险的偏好。 所需的假设仅仅只是无套利。 3该公式依赖的唯一随机变量是标的股票。 （例如，与市场证券组合无关

27、） f rKSdu, 4B. 两期模型 4 图12 股票价格 S q q1 uS dS udS Su2 Sd 2 4 4 图13 欧式看涨期权的支付 c q q1 u c d c duud cc uu c dd c 4假设两期的无风险利率为 。利用一 期期权的定价公式(24)得到期权在一期末 的价值 和 ： 4 (25) 4 (26) 2 1 f r u c d c f uduu u r pcpc c 1 1 f dddu d r pcpc c 1 1 4把和当作一期模型的终端支付，再一次 利用一期期权的定价公式(24)得到期权的 现在价格： f du r pcpc c 1 1 4把(25)和

28、(26)式代入得到： (27) 2 2 2 1 1)1 (1 f ddduuduu r cppcpcppcp c 4可以把(27)式中的分子部分看成是一期模 型的定价公式(24)式的分子的二项展开。 4(27)式的另外一种解释是，看涨期权的价 格等于期权在两期末的期望支付的折现 值，这里所用的概率为套期保值概率， 折现利用无风险利率。 C. 看涨期权定价的完全二项式模型看涨期权定价的完全二项式模型 4T期模型 这里 T f T n nTn r KSdupTnB c 1 ,0max, 0 pTanBrKpTanSB T f ,1, du dr p f 1 p r u p f 1 41. 在0时刻

29、，买 份股票，卖空 份债券所构成的证券组合在到期日的支付，即为以该 股票为标的物，以 为执行价格的欧式看涨期权在到 期日的支付。以此观点，如果把到期日以前任意的第 t 期当作起始时刻，则欧式看涨期权在到期日以前的任 意第 t 期的价格为： (32) 4所以，(32)式不但给出了欧式看涨期权在第 t 期的定价 公式，而且给出了第 t 期为了模拟欧式看涨期权在到 期日的支付所应该采用的策略。 , pTanBpTanKB, K ptTanBSc tt , ptTanBrK tT f ,1 42从(31)式可以看出，当股票价格 增加，执行价格 减少时，期权的价格都会增加。另外，当无风险利率 增加时，它

30、的主要影响是减少执行价格的现值，从而 增加期权的价格（尽管无风险利率增加时，会导致 p、 p 减少，但这种影响是次要的）。至于到期日和股 票价格的方差，它们的变化对期权价格的绝对影响并 不是显然的，需要通过严格的数学证明来得到。 0 S D. 二项模型推广到连续时间二项模型推广到连续时间Black- Scholes 期权定价模型期权定价模型 4在实际操作中应该注意，Black-Scholes期 权定价公式仅仅适用于标的股票不支付 红利的情形。 4只适用于欧式期权 4用途 4连续时间看涨期权定价公式，Black和 Scholes（1973）： 4 (33) 4这里 4 21 dNKedNSc t

31、Tr tt f tT tT tTr K S d f t 2 1 ln 1 tT tT tTr K S d f t 2 1 ln 2 4连续时间看跌期权定价公式： 4这里 21 dNKedNSp tTr tt f tT tT tTr K S d f t 2 1 ln 1 tT tT tTr K S d f t 2 1 ln 2 4与二项式模型的对照 4比较静态分析 看涨期权 看跌期权 4标的股票风险的估计 样本方差 市场估计 4Hedging ratio 股票价格变化导致期权价格的变化 为了构造无风险组合，一份期权需要多少份 股票 当期权的到期日变小，股票价格变化时， Hedging ratio

32、也发生变化，所以为了套期保 值需要连续调整组合策略。 4期权价格的渐进行为 1 dN S c 图14 期权价格曲线 t S )( tt Sc tTr tt f KeSc 4在实际应用中注意： 股票实际是一种期权 风险是随时间变化的 9 美式期权的定价 10. 指标期权(index option) 11 Portfolio insurance 4一个投资者持有风险高度分散的证券组 合，现价100000元，投资者目标：从牛 市中充分获利，但从熊市中免遭损失。 购买保险 购买看跌期权 构造合成看跌期权 4购买保险 4 100 4 Uninsured portfolio value A B 4购买看跌期权 4 100 4 Uninsured portfolio value A B Create a synthetic put A 100000 B 125000 C 80000 D F E G Uninsured portfolio 156250 Insured portfolio 156250 100000100000 100000 100000 64000