2018寒假半角模型44304.doc

1、半角模型过等腰 ABC（AB=AC）顶角 A 引两条射线且它们的夹角为 A，这两条射线与底角顶点的相关直线交于 M 、N 两点，则 BM、 MN 、NC 之间必然存在固定的关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角 A 相关解决办法：以 A 为中心，把 CAN（顺时针或逆时针）旋转度，至 ABN，连接 MN结论： 1、 AMNAMN，MN=MN2、若 BM、MN、 NB共线，则存在 x+y+z型的关系若不共线，则 BMN中， MBN必与 A 相关应用环境：1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为 30、45、 60、 7590，或它们的补角为这些特殊角度的时候；2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形3、

2、过底角顶点的两条相关直线：底边、底角两条角平分线、腰上的高、底角的邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边4、此等腰三角形的相关弦半角模型1且1800.条件：2思路：（1）、延长其中一个补角的线段（延长 CD到 E，使 ED=BM，连 AE或延长 CB到 F，使 FB=DN，连 AF）结论： MN=BM+DN C CMN2AB AM、AN分别平分 BMN 和 DNM（2）对称（翻折）思路 :分别将 ABM 和 ADN 以 AM 和 AN 为对称轴翻折，但一定要证明 M 、P、N 三点共线 .（B+D=1800 且 AB=AD ）例题应用：例1、在正方形 ABCD中，

3、若 M、 N分别在边 BC、CD上移动，且满足 MN=BM+DN，求证： . MAN= 45 . C CMN2AB . AM、AN分别平分 BMN 和DNM.思路同上略 .例 2 拓展：在正方形ABCD中，已知 MAN= 45 ，若 M、N 分别在边CB、DC的延长线上移动，. 试探究线段 MN、BM 、DN之间的数量关系 . . 求证： AB=AH.（提示）例 3.在四边形 ABCD中， B+D=180，AB=AD ，若 E、F 分别在边BC、CD上，且满足 EF=BE+DF.求证：EAF1BAD.2（提示）例 4，在 ABC中， AB=AC， BAC=2DAE=120，若 BD=5， CE

4、=8，求 DE。例五 . 请阅读下列材料：已知：如图两动点，若1 在 Rt ABC 中，BAC90 ，DAE45 探究线段 BD 、 DEABAC，点 D 、 E分别为线段 BC上、 EC 三条线段之间的数量关系小明的思路是：把AEC 绕点A 顺时针旋转90，得到ABE，连结E D，使问题得到解决请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（ 1）猜想 BD 、 DE 、 EC 三条线段之间存在的数量关系式， 并对你的猜想给予证明；（ 2）当动点 E 在线段 BC 上，动点 D 运动在线段 CB 延长线上时， 如图 2，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明AACDCBDE

5、BE图1图 2例6探究：（ 1）如图 1，在正方形试判断 BE、DF 与果：ABCD中， E、F 分别是 BC、CD上的点，且 EAF45， EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结；（ 2）如图 2，若把 (1)问中的条件变为 “在四边形 ABCD 中， ABAD，B D 180，E、F 分别是边 BC、 CD 上的点，且 EAF=1 BAD”，则（ 1）问中的结2论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；（ 3）在（ 2）问中，若将 AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点分别E、F 运动到 BC、CD延长线上时，如图 3 所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？

6、若变化，请给出结论并予以证明 .练习巩固 1：如图，在四边形 ABCD中，B=D= 90 ，AB=AD ，若 E、EAF1BAD.2F 分别在边 BC、CD 上的点，且. 求证： EF=BE+DF.（提示）练习巩固 2，已知：正方形 ABCD 中，MAN45o ，绕点 A 顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或它们的延长线）于点M、N（ 1）如图 1，当MAN 绕点 A 旋转到 BMDN 时，有 BMDNMN 当MAN绕点 A 旋转到 BMDN 时，如图 2，请问图 1 中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（ 2）当 MAN 绕点 A 旋转到如图 3 的位置时

7、，线段 BM ，DN 和 MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明ADADADNNBMCBMCMBCN练习巩固 3如图，在四边形ABCD中， ABAD ,BD 90 ，E,F 分别是(1)边 BC, CD 上的点，且 EAF =1BEFD ;BAD 求证： EF2ADFBEC(2) 如图在四边形 ABCD 中， AB AD , B+D 180 ， E, F 分别是边 BC,CD 上的点，且 EAF1中的结论是否仍然成立？不用证明BAD ， (1)2ADFBEC(3) 如图，在四边形 ABCD 中，ABAD， BADC 180 ，分别是边BC ,CDE , F延长线上的点，且1， (1

8、) 中的结论是否仍然成立？若成立，请证EAFBAD2明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明FADBCE（ 4）如图 ，将边长为 4cm 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠（点 E、F 分别在边 AB 、CD上），使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处， MN 与 CD 交于点 P，连接 EP（1）如图 ，若 M 为 AD 边的中点， AEM的周长 =6cm； 求证： EP=AE+DP ；（2）随着落点M 在 AD边上取遍所有的位置（点M 不与A、 D重合）， PDM的周长是否发生变化？请说明理由（ 5） .如图 17，正方形 ABCD，E、F 分别为 BC、

9、CD边上一点（ 1）若 EAF=45o求证： EF=BE+DF（ 2）若 AEF绕 A 点旋转，保持 EAF=45o，问 CEF的周长是否随 AEF位置的变化而变化？（ 3）已知正方形 ABCD的边长为 1，如果 CEF的周长为 2求 EAF的度数DFCEAB图 17练习巩固 4. 如图，五边形 ABCDE中， AB=BC=CD=DE=EA， CAD1BAE ，求2 BAE练习巩固 5. 如图，已知在正方形ABCD中，MAN=45，连接 BD与 AM， AN分别交于 E、 F 两点。求证：（1）MN=MB+DN；（2）点 A 到 MN的距离等于正方形的边长；（3） VCMN的周长等于正方形AB

10、CD边长的 2 倍；SW2AB（4）ABCD；SVCMNMN（5）若MAB=20，求AMN；（6）若MAB0 pp 45o，求AMN；（7） EF2EB2DF2 ；（8） VAEN与 VAFM是等腰三角形；S AEF1（9） V。SVAMN2练习巩固 6ABC 的两边 AB ， AC 所在直线上分别有两点为. 在等边M，N，DABC 外一点，且 MDN60 ， BDC 120 ， BD CD ，探究：当点 M ，N 分别爱直线 AB ，AC 上移动时， BM ，BN ，MN 之间的数量关系及AMN 的周长 Q 与等边ABC 的周长 L 的关系NAAAMNNMBBCBCCMDDD图图图（ 1）如

11、图，当点 M ，N 在边 AB ，AC 上，且 DMDN 时， BM ，NC ，MN 之间的数量关系式 _；此时 Q_L（ 2）如图，当点 M ，N 在边 AB ，AC 上，且 DMDN 时，猜想 (1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（ 3）如图，当点 M ，N 分别在边 AB ，CA 的延长线上时，若 ANx ，则Q _(用 x，L 表示 )练习巩固 7. 如图所示， ABC是边长为 1 的等边三角形， BDC是顶角为 120 的等腰三角形，以 D为顶点作一个 60的 MDN，点 M，N分别在 AB，AC上，求 AMN的周长练习巩固 8. 如图，在正方形 ABCD中， BE=

12、3，EF=5，DF=4，求 BAE+ DCF为多少度。巩固练习 9、（三新练习册 P131）如图 1，RtABC RtEDF ，ACB= F=90， A=E=30EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转， DE，DF 分别交线段 AC 于点 M，K(1)如图 2、图 3，当 CDF=0或 60时，AM+CK_MK(填 “ ，”“ 或” “”)(2)猜想：如图 1，当 0 CDF 60时，AM+CK_MK ，证明你所得到的结论(3)如果 MK 2CK 2AM 2 ，请直接写出 CDF 的度数和 MK 的值EAMEF CCK(F,K)MMLBADBAD图 1图 2FCF CEKKEA (M)DBMB

13、DA图 3图 4* 必会结论 - 图形研究正方形半角模型【例】已知：正方形 ABCD ， E 、 F 分别在边 BC 、 CD 上，且 EAF 45 ，AE、 AF分别交 BD于H 、G，连 EF.一、全等关系（1）求证： DFBEEF ； DG 2BHHG2 ； AE 平分 BEF， AF 平分 DFE .二、相似关系（2）求证： CE2DG ； CF2BH ； EF2HG .（3）求证： AB 2BG DH ； AG2BG HG ； BEDF1 .CECF2三、垂直关系（4）求证： AGEG ；AHFH；tanHCFABBE.（5)、和差关系求证： BGDG2BE ； ADDF2DH ；

14、|BEDF |2|BHDG|.中考链接 - 正方形二相关题型 -半角模型1，（2016 石景山 28）在正方形 ABCD中， E 为边 CD上一点，连接 BE（ 1）请你在图 -1 画出 BEM，使得 BEM 与 BEC关于直线 BE对称；（ 2）若边 AD 上存在一点 F，使得 AF+CE=EF，请你在图 2 中探究 ABF与CBE的数量关系并证明；（ 3）在（ 2）的条件下，若点 E 为边 CD的三等分点，且 CEDE，请写出求cos FED的思路（可以不写出计算结果 ）BABABAFCEDCEDCD图1图2备用图答案石景山 28（1）补全图形，如图1 所示BAMCED1分（ 2）ABF

15、与CBE 的数量关系：ABFCBE45 2分证明：连接 BF ， EF ，延长 DC 到 G ，使得 CGAF ，连接 BG 3分A四边形 ABCD 为正方形，BAB BC， ABCDABC90FBAF BCG GCEDBF BG， ABFCBG AF CE EF， EF GE 4分BEF BEG FBE = MBEABFCBE ABFCBE45 5分（ 3）求解思路如下：a设正方形的边长为3a ， AF 为 x ，则 EFxa ， DF3ax ；b在 RtEFD 中，由 EF 2DF 2DE 2 ,222可得 x a3a x2a从而得到x 与 a 的关系2x3a ；c根据cosFEDDE2a

16、，可求得结果 7分EFxa2，（2016 门头沟 28）在正方形 ABCD中，连接 BD（1）如图 1，AEBD 于 E直接写出 BAE的度数（ 2）如图 1，在（ 1）的条件下，将 AEB以 A 旋转中心，沿逆时针方向旋转 30后得到 ABE，AB与 BD交于 M， AE的延长线与 BD 交于 N 依题意补全图 1； 用等式表示线段 BM、DN 和 MN 之间的数量关系，并证明（ 3）如图 2， E、F 是边 BC、CD 上的点， CEF周长是正方形 ABCD周长的一半， AE、AF 分别与 BD 交于 M 、 N，写出判断线段 BM、DN、MN 之间数量关系的思路（不必写出完整推理过程）A

17、DADENFMBCBEC门头沟 28（本小题满分 7 分）解：（1） BAE=451分（2） 依题意补全图形（如图 1）；2分BM、DN 和 MN 之间的数量关系是B M2+ N D2= M N23分证明：如图 1，将 AND 绕点 A 顺时针旋转 90，得 AFB ADB=FBA， 1=3，DN=BF，AF=AN正方形 ABCD，AE BD， ADB=ABD=45ADFBM=FBA +ABD3 E1 2N=ADB+ ABD=90EMFB由勾股定理得 FB2+BM2=FM2BC旋转 ABE得到 ABE， EAB=45，图 1 2+3=90 45=45，又 1= 3， 2+1=45ADNFMGB

18、EC即 FAM=45 FAM =EAB=45又AM=AM，AF=AN，AFM ANM图 2FM=MN又FB2+BM2=FM2，DN2+BM2=MN 2 5分（3）判断线段 BM、DN、MN 之间数量关系的思路如下：a如图 2，将 ADF绕点 A 瞬时针旋转 90得 ABG，推出 DF=GB；b由 CEF的周长等于正方形ABCD周长的一半，得EF=DF+BE；c 由 DF=GB和 EF=DF+BE推出 EF=GE，进而得AEG AEF；d由AEG AEF推出 EAF=EAG=45；e与同理，可证MN 2 =BM 2 +DN 2 7 分3（. 2016 一模（ 1）如图 1，点 E、F 分别是正方形 ABCD的边 BC、CD上的点， EAF=45，连接 EF，则 EF、BE、 FD之间的数量关系是： EF=BE+FD连结 BD，交 AE、 AF 于点 M 、 N，且 MN、BM、DN 满足 MN 2BM 2DN 2 ，请证明这个等量关系；（ 2）在 ABC中， AB=AC，点 D、 E 分别为 BC边上的两点如图 2，当 BAC=60， DAE=30时， BD、DE、EC应满足的等量关系是_；如图3，当 BAC=，(0 90)，DAE= 1时， BD、DE、EC应满足的等量2关系是 _【 参考：sin 2cos21】BAAAEMNCFDB DECBDEC图1图2图35（ 1）