一微积分产生的历史背景

1、第第5讲讲 微积分的诞生微积分的诞生 人类精神的最高胜利人类精神的最高胜利 导入新课导入新课 17世纪中叶，微积分诞生了，它是世纪中叶，微积分诞生了，它是 继欧几里得几何学后数学中最伟大的创造，继欧几里得几何学后数学中最伟大的创造， 它的诞生掀开了数学乃至整个科学发展史它的诞生掀开了数学乃至整个科学发展史 崭新的一页崭新的一页. 那么微积分是在怎样的那么微积分是在怎样的 背景下产生的呢？背景下产生的呢？ 教学目标教学目标 知识与能力知识与能力 理解微积分产生的历史背景理解微积分产生的历史背景. 了解促使微积分产生的科学问题了解促使微积分产生的科学问题. 了解微积分诞生之前，众多数学家所作了解微

2、积分诞生之前，众多数学家所作 出的不懈努力出的不懈努力. 过程与方法过程与方法 结合学生已经学过的数学知识，对微积分结合学生已经学过的数学知识，对微积分 产生的历史背景有更深的了解产生的历史背景有更深的了解. 情感态度与价值观情感态度与价值观 通过对本课的学习，使大家了解历史的发通过对本课的学习，使大家了解历史的发 展需要伟人的推动展需要伟人的推动. 教学重难点教学重难点 重点重点 理解微积分产生的历史背景理解微积分产生的历史背景. 了解促使微积分产生的科学问题了解促使微积分产生的科学问题. 难点难点 理解微积分产生的历史背景理解微积分产生的历史背景. 微积分微积分是描述运动过程的数学，它的是

3、描述运动过程的数学，它的 产生为力学、天文学以及后来的电磁学等产生为力学、天文学以及后来的电磁学等 提供了必不可少的工具提供了必不可少的工具. 微积分并不是凭空产生的，它经历了微积分并不是凭空产生的，它经历了 长时间的酝酿过程长时间的酝酿过程. 内容解析内容解析 微积分产生的前提有两个：几何坐微积分产生的前提有两个：几何坐 标和函数概念标和函数概念.这两个方面由于笛卡儿和这两个方面由于笛卡儿和 费马等人的工作，其基础已基本具备费马等人的工作，其基础已基本具备. 恩格斯说：恩格斯说：“社会一旦有技术上的需社会一旦有技术上的需 要，则这种需要就会比十所大学更能把科要，则这种需要就会比十所大学更能把

4、科 学推向前进学推向前进”. 到了到了17世纪，由于解析几何的世纪，由于解析几何的 创立，使自然科学研究的中心转向创立，使自然科学研究的中心转向 自然界的运动和变化，古典算术或自然界的运动和变化，古典算术或 几何、代数方法，甚至解析几何，几何、代数方法，甚至解析几何， 对自然界的运动和变化都无能为力对自然界的运动和变化都无能为力 了，这就激起不少数学家致力寻找了，这就激起不少数学家致力寻找 解决这些问题的新方法解决这些问题的新方法. 那么，促使微积分产生的科那么，促使微积分产生的科 学问题都有什么呢学问题都有什么呢? 瞬时速度问题瞬时速度问题 切线问题切线问题 函数的最值问题函数的最值问题 面

5、积、体积、曲线面积、体积、曲线 长、重心和引力的计算长、重心和引力的计算 瞬时速度问题瞬时速度问题 已知物体移动的距离表示为时间的函已知物体移动的距离表示为时间的函 数的公式，求物体在任意时刻的速度和加数的公式，求物体在任意时刻的速度和加 速度；反过来，已知物体的加速度表示为速度；反过来，已知物体的加速度表示为 时间的函数的公式，求速度和距离，时间的函数的公式，求速度和距离， 如何如何 求不做匀速运动物体的瞬时速度就成为数求不做匀速运动物体的瞬时速度就成为数 学家们的一个当务之急学家们的一个当务之急. 如果物体的运动是匀速的，那如果物体的运动是匀速的，那 么计算它的瞬时速度就是用运动时么计算它

6、的瞬时速度就是用运动时 间去除运动距离间去除运动距离. 如果物体的运动不是匀速时，它如果物体的运动不是匀速时，它 的瞬时速度就不能用运动时间去除运的瞬时速度就不能用运动时间去除运 动距离，因为在给定的瞬间，移动的动距离，因为在给定的瞬间，移动的 距离和所用的时间都是距离和所用的时间都是0，而，而0除以除以0 是没有意义的是没有意义的. 分析分析 已知物体的速度公式求运动的距离也已知物体的速度公式求运动的距离也 会遇到同样的问题会遇到同样的问题.求变速运动物体的瞬求变速运动物体的瞬 时速度或运动距离可以说是微分或积分概时速度或运动距离可以说是微分或积分概 念最基本的现实原型之一念最基本的现实原型

7、之一. 切线问题切线问题 马克思曾指出：马克思曾指出：“全部微分学本来产生全部微分学本来产生 于求任意一条曲线上任意一点的切线问题于求任意一条曲线上任意一点的切线问题”. 切线概念，古希腊时代已有切线概念，古希腊时代已有.例如欧几里得例如欧几里得 的的原本原本对圆的切线定义为与圆仅接触一对圆的切线定义为与圆仅接触一 点的直线点的直线. 希腊时代的这种切线定义，只是希腊时代的这种切线定义，只是 一种静态的直觉定义，即是一种定性一种静态的直觉定义，即是一种定性 的描述，没有给出求切线的一般方法的描述，没有给出求切线的一般方法. 后来根据圆的切线意义拓展到了后来根据圆的切线意义拓展到了 曲线的一般定

8、义曲线的一般定义:“一条与曲线如此相一条与曲线如此相 切的直线，使得在这条直线与曲线之切的直线，使得在这条直线与曲线之 间的空间中不能插进其他的直线间的空间中不能插进其他的直线.” 17世纪，光学成为非常重世纪，光学成为非常重 要的研究领域，要研究光线通要的研究领域，要研究光线通 过透镜的通道，必须知道光线过透镜的通道，必须知道光线 射入透镜的角度以便应用反射射入透镜的角度以便应用反射 与折射定律，而重要的角是光与折射定律，而重要的角是光 线与镜面曲面法线（过曲线的线与镜面曲面法线（过曲线的 切点与切线垂直的直线）的夹切点与切线垂直的直线）的夹 角，法线是垂直于切线的，所角，法线是垂直于切线的

9、，所 以问题在于求法线或切线以问题在于求法线或切线. 另一个涉及曲线的切线的科学问另一个涉及曲线的切线的科学问 题出现在运动的研究中，运动物体在题出现在运动的研究中，运动物体在 它的轨迹上任一点处的运动方向，是它的轨迹上任一点处的运动方向，是 轨迹的切线方向轨迹的切线方向. 函数的最值问题函数的最值问题 早在早在16世纪，西欧各世纪，西欧各 军事强国的火炮制造技术军事强国的火炮制造技术 就已经非常先进就已经非常先进.那么，那么， 一个现实的问题就是，发一个现实的问题就是，发 射角多大时炮弹获得最大射角多大时炮弹获得最大 射程射程. 16世纪的榴弹炮世纪的榴弹炮 17世纪初，意大利科学家伽利略世

10、纪初，意大利科学家伽利略 （Galileo Galilei，15641642）认识到）认识到 炮弹弹道的抛物线性质，并断言，在不考炮弹弹道的抛物线性质，并断言，在不考 虑空气阻力的情况下，当发射角为虑空气阻力的情况下，当发射角为45时时 炮弹的射程最大炮弹的射程最大.此外，他还得到了发射角此外，他还得到了发射角 变化时炮弹所能达到的最大高度变化时炮弹所能达到的最大高度. 研究行星的运动也涉及到求最大、最研究行星的运动也涉及到求最大、最 小值的问题，比如求行星离太阳最远和最小值的问题，比如求行星离太阳最远和最 近的距离近的距离. 面积、体积、曲线长、面积、体积、曲线长、 重心和引力的计算重心和引

11、力的计算 面积与体积计算问题古来有之：如曲面积与体积计算问题古来有之：如曲 线围成的面积；曲面围成的体积线围成的面积；曲面围成的体积.17世纪上世纪上 半叶，随着天文学的长足进步，这方面的半叶，随着天文学的长足进步，这方面的 问题变得更为突出问题变得更为突出. 如德国天文学家开普勒给出的行星运动如德国天文学家开普勒给出的行星运动 三大定律和其他许多天文问题都涉及到行星三大定律和其他许多天文问题都涉及到行星 运动的轨道、行星矢径扫过的面积以及物体运动的轨道、行星矢径扫过的面积以及物体 重心与引力等计算重心与引力等计算. 公元前公元前4世纪，欧多克索斯（世纪，欧多克索斯（Eudoxus， 约公元前

12、约公元前400约前约前347）提出计算曲边形）提出计算曲边形 面积和体积的方法，此法在面积和体积的方法，此法在17世纪时称世纪时称“穷穷 竭法竭法”. 古希腊人曾用穷竭法计算出一些面古希腊人曾用穷竭法计算出一些面 积和体积，尽管他们只是对于比较简单积和体积，尽管他们只是对于比较简单 的面积和体积应用了这个方法，但也必的面积和体积应用了这个方法，但也必 须加上很多技巧，所以这个方法缺乏一须加上很多技巧，所以这个方法缺乏一 般性般性.这些长度、面积和体积计算问题就这些长度、面积和体积计算问题就 成为积分学的基本来源成为积分学的基本来源. 在微积分诞生之前，有众多数学家为在微积分诞生之前，有众多数学

13、家为 解决上述问题做出了不懈努力解决上述问题做出了不懈努力. 1615年，为了研究旋转体的体积，开普年，为了研究旋转体的体积，开普 勒引入了无穷大和无穷小概念，并指出：圆勒引入了无穷大和无穷小概念，并指出：圆 是由无数个顶点在圆心的三角形构成，圆周是由无数个顶点在圆心的三角形构成，圆周 是由这些三角形的无穷小底边构成，把无限是由这些三角形的无穷小底边构成，把无限 小的弧看成直线，把无限窄的面看成直线，小的弧看成直线，把无限窄的面看成直线， 把无限薄的体看做面把无限薄的体看做面. 开普勒的求积术开普勒的求积术 意大利数学家卡瓦列利系统地运用意大利数学家卡瓦列利系统地运用 无穷小方法计算面积和体积

14、无穷小方法计算面积和体积.他假定：他假定： 线是由无穷多个点组成，面是由无穷多线是由无穷多个点组成，面是由无穷多 条线组成，体是由无穷多个面组成条线组成，体是由无穷多个面组成.卡卡 瓦列利利用几何方法巧妙地求得若干曲瓦列利利用几何方法巧妙地求得若干曲 边图形的面积，还证明了旋转体的表面边图形的面积，还证明了旋转体的表面 积和体积公式积和体积公式. 卡瓦列里不可分量原理卡瓦列里不可分量原理 法国的笛卡儿的求切线方程的法国的笛卡儿的求切线方程的“圆圆 法法”、费马、帕斯卡的求极大、极小值的、费马、帕斯卡的求极大、极小值的 方法以及英国的巴罗的方法以及英国的巴罗的“微分三角形微分三角形”和和 沃利斯

15、的沃利斯的“无穷算术无穷算术” 为解决上述问题为解决上述问题 都作出了独特的贡献都作出了独特的贡献. 虽然众多数学家的研究工作为微积虽然众多数学家的研究工作为微积 分的诞生做了积极的准备，但他们的方分的诞生做了积极的准备，但他们的方 法粗糙且缺乏一般性法粗糙且缺乏一般性.当时还无人认识当时还无人认识 到求面（体）积、求极值、求瞬时速度到求面（体）积、求极值、求瞬时速度 和求切线四者之间的内在联系，更未能和求切线四者之间的内在联系，更未能 意识到微分与积分之间的互逆关系意识到微分与积分之间的互逆关系.历历 史的发展需要伟人的推动，在时代的召史的发展需要伟人的推动，在时代的召 唤下，牛顿与莱布尼茨

16、脱颖而出，担负唤下，牛顿与莱布尼茨脱颖而出，担负 起这项伟大的任务起这项伟大的任务. 课堂小结课堂小结 微积分产生的历史背景微积分产生的历史背景: 微积分产生的前提有两个：几何坐标微积分产生的前提有两个：几何坐标 和函数概念和函数概念. 近代微积分的产生经过了半近代微积分的产生经过了半 个多世纪的准备与酝酿，有着深刻的社会个多世纪的准备与酝酿，有着深刻的社会 背景背景.随着资本主义社会生产力的蓬勃发展，随着资本主义社会生产力的蓬勃发展， 17世纪上半叶出现了许多重大的科学问题，世纪上半叶出现了许多重大的科学问题， 这些问题的解决需要新的数学工具这些问题的解决需要新的数学工具. 促使微积分产生的科学