线性代数习题及答案(复旦版)88页

1、线性代数习题及答案习题一1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n(n-1)321； (4) 13(2n-1)(2n)(2n-2)2.【解】(1) (341782659)=11;(2) (987654321)=36;(3) (n(n-1)321)= 0+1+2 +(n-1)=;(4) (13(2n-1)(2n)(2n-2)2)=0+1+(n-1)+(n-1)+(n-2)+1+0=n(n-1).2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 本行列式的展开式中包含和的项.解： 设 ，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开

2、式中含项有展开式中含项有.5. 用定义计算下列各行列式.(1)； (2).【解】(1) D=(-1)(2314)4!=24; (2) D=12.6. 计算下列各行列式.(1)； (2) ；(3)； (4) .【解】(1) ;(2) ;7. 证明下列各式.(1) ；(2) ； (3) (4) ；(5) .【证明】(1) (2) (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故(4) 对D2n按第一行展开，得据此递推下去，可得(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.当n=2时，可直接验算结论成立，假定

3、对这样的n-1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：但由归纳假设从而有8. 计算下列n阶行列式.(1) (2) ；(3). (4)其中 ；(5).【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n-1),得将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得(2) 按第二行展开(3) 行列式按第一列展开后，得(4)由题意，知 .(5) . 即有 由 得 .9. 计算n阶行列式.【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得将第一行乘（-1）后加到其余各行，得10. 计算阶行列式（其中）.【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.11. 已知

4、4阶行列式;试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式.【解】同理 12. 用克莱姆法则解方程组.(1) (2) 【解】方程组的系数行列式为故原方程组有惟一解，为13. 和为何值时，齐次方程组有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式即故或时，方程组有非零解.14. 问：齐次线性方程组有非零解时，a,b必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足即(a+1)2=4b.15. 求三次多项式，使得【解】根据题意，得这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于故得于是所求的多项式为16. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为

5、ax+by+c=0 (a,b不同时为0)按题设有则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.习题 二1. 计算下列矩阵的乘积.（1）； （2）；（3）； （4）；（5） ； （6）.【解】(1) (2); (3) (10);(4) (5); (6) .2. 设，求(1);(2) ；(3) 吗?【解】(1) (2) (3) 由于ABBA,故(A+B)(A-B)A2-B2.3. 举例说明下列命题是错误的.(1) 若， 则； (2) 若， 则或；(3) 若， 则.【解】(1) 以三阶矩阵为例，取,但A0(2) 令,则A2=A,但A0且A

6、E(3) 令则AX=AY,但XY.4.设, 求A2，A3，Ak.【解】5. ，求并证明：.【解】今归纳假设那么所以，对于一切自然数k,都有6. 已知，其中求及.【解】因为|P|= -10,故由AP=PB,得而7. 设，求|. 解：由已知条件，的伴随矩阵为又因为，所以有，且，即 于是有 .8.已知线性变换利用矩阵乘法求从到的线性变换.【解】已知从而由到的线性变换为9. 设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A=A,所以 (BAB)=BAB=BAB,故也为对称阵.10.设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.【证明】已知A=A,

7、B=B，若AB是对称阵，即(AB)=AB.则 AB=(AB)=BA=BA,反之，因AB=BA,则(AB)=BA=BA=AB,所以，AB为对称阵.11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：(1) B2是对称矩阵.(2) AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.【证明】因A=A,B= -B,故(B2)=BB= -B(-B)=B2;(AB-BA)=(AB)-(BA)=BA-AB= -BA-A(-B)=AB-BA;(AB+BA)=(AB)+(BA)=BA+AB= -BA+A(-B)= -(AB+BA).所以B2是对称矩阵，AB-BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.12. 求与A=可

8、交换的全体二阶矩阵.【解】设与A可交换的方阵为,则由=,得.由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.13. 求与A=可交换的全体三阶矩阵.【解】由于A=E+,而且由可得由此又可得所以即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.14.求下列矩阵的逆矩阵.(1) ； (2) ；(3)； (4)；(5)； (6)，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.【解】(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) .15. 利用逆矩阵，解线性方程组【解】因,而故16. 证明下列命题：(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2) 若A

9、可逆，则A*可逆且（A*）-1=（A-1）*.(3) 若AA=E,则（A*）=(A*)-1.【证明】（1） 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得|A|B|B*A*=|AB|E(B*A*)=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A*=(AB) *A|B|EA*=|A|B|(AB) *. |A|0,|B|0, (AB) *=B*A*.(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A-1,从而(A-1) *=|A-1|(A-1)-1=|A|-1A.于是A* (A-1) *=|A|A-1|A|-1A=E,所以 (A-1) *=(A*)-1.(3) 因

10、AA=E，故A可逆且A-1=A.由(2)(A*)-1=(A-1) *,得(A*)-1=(A) *=(A*).17.已知线性变换求从变量到变量的线性变换.【解】已知且|A|=10,故A可逆，因而所以从变量到变量的线性变换为18.解下列矩阵方程.(1) ；(2)；(3) ；(4) .【解】(1) 令A=;B=.由于故原方程的惟一解为同理(2) X=; (3) X=; (4) X=19. 若 (k为正整数)，证明：.【证明】作乘法从而E-A可逆，且20.设方阵A满足A2A2EO，证明A及A2E都可逆，并求A-1及(A+2E)-1.【证】因为A2-A-2E=0,故由此可知，A可逆，且同样地由此知，A+

11、2E可逆，且21. 设，,求.【解】由AB=A+2B得(A-2E)B=A.而即A-2E可逆，故22. 设.其中， 求.【解】因可逆，且故由得23. 设次多项式，记,称为方阵的次多项式.(1)， 证明，；(2) 设， 证明，.【证明】(1)即k=2和k=3时，结论成立.今假设那么所以，对一切自然数k，都有而(2) 由(1)与A=P -1BP,得B=PAP -1.且Bk=( PAP -1)k= PAkP -1,又24. ，证明矩阵满足方程.【证明】将A代入式子得故A满足方程.25. 设阶方阵的伴随矩阵为，证明：(1) 若，则；(2) .【证明】（1） 若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*

12、|0，则有A*( A*)-1=E,由此又得A=AE=AA*( A*)-1=|A|( A*)-1=0,这与| A*|0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0.(2) 由A A*=|A|E，两边取行列式，得|A| A*|=|A|n,若|A|0，则| A*|=|A|n-1若|A|=0,由(1)知也有| A*|=|A|n-1.26.设.求(1) ; (2); (3) ；(4)k (为正整数).【解】(1); (2) ;(3) ; (4).27. 用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）； （2）;（3）.【解】(1) 对A做如下分块 其中的逆矩阵分别为所以A可逆，且同理(2)

13、(3) 习题 三1. 略.见教材习题参考答案.2. 略.见教材习题参考答案.3. 略.见教材习题参考答案.4. 略.见教材习题参考答案.5.，证明向量组线性相关.【证明】因为所以向量组线性相关.6. 设向量组线性无关，证明向量组也线性无关，这里【证明】 设向量组线性相关，则存在不全为零的数使得把代入上式，得.又已知线性无关，故该方程组只有惟一零解，这与题设矛盾，故向量组线性无关.7. 略.见教材习题参考答案.8. .证明：如果，那么线性无关.【证明】已知,故R(A)=n,而A是由n个n维向量组成的，所以线性无关.9. 设是互不相同的数，rn.证明：是线性无关的.【证明】任取n-r个数tr+1,

14、tn使t1,tr,tr+1,tn互不相同，于是n阶范德蒙行列式从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量也线性无关.10. 设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组.【证明】若 (1)线性相关，且不妨设 (tr) (2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是的一个极大无关组，这与的秩为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组.11. 求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.当k=1时，的秩为为其一极大无关组.当k1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12. 确

15、定向量,使向量组与向量组=(0,1,1),=(1,2,1),=(1,0,-1)的秩相同，且可由线性表出.【解】由于而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a-2=0,即a=2,又要使可由线性表出，需b-a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0).13. 设为一组n维向量.证明：线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n维向量都可由线性表示，则单位向量，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组的秩为n，因此线性无关.必要性：设线性无关，任取一个n维向量,则线性相关，所以能由线性表示.14. 若向量组（1，0，0

16、），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组,线性表出，也可由向量组,线性表出，则向量组,与向量组,等价.证明：由已知条件，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组,线性表出，即两向量组等价，且，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组,线性表出，即两向量组等价，且，所以向量组,与向量组,等价.15. 略.见教材习题参考答案.16. 设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.【解】设向量组 (1)与向量组 (2)的极大线性无关组分别为 (3)和 (4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出

17、，即因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|0，可由（*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.17. 设A为mn矩阵，B为sn矩阵.证明：.【证明】因A,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示，故同理故有又设R(A)=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R（B）=k, 是B的行向量组的极大线性无关组.设是中的任一行向量，则若属于A的行向量组，则可由表示，若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示，故所

18、以有.18. 设A为sn矩阵且A的行向量组线性无关，K为rs矩阵.证明：BKA行无关的充分必要条件是R(K)=r.【证明】设A=(As,Ps(n-s),因为A为行无关的sn矩阵，故s阶方阵As可逆.()当B=KA行无关时，B为rn矩阵.r=R(B)=R(KA)R(K),又K为rs矩阵R(K)r, R(K)=r.()当r=R(K)时，即K行无关，由B=KA=K(As,Ps(n-s)=(KAs,KPs(n-s)知R(B)=r,即B行无关.19. 略.见教材习题参考答案.20. 求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)； (2).【解】(1) 矩阵的行向量组的一个极大无关组为;(2) 矩阵的

19、行向量组的一个极大无关组为.21. 略.见教材习题参考答案.22. 集合V1()R且0是否构成向量空间?为什么?【解】由（0,0,0）V1知V1非空，设)则因为所以,故是向量空间.23. 试证：由,生成的向量空间恰为R3.【证明】把排成矩阵A=(),则,所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3.24. 求由向量所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵是一组基，其维数是3维的.25. 设,证明:.【解】因为矩阵由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以.26. 在R3中求一个向量，使它在下面两个基下有

20、相同的坐标.【解】设在两组基下的坐标均为()，即即求该齐次线性方程组得通解 (k为任意实数)故27. 验证为R3的一个基，并把用这个基线性表示.【解】设又设,即记作 B=AX.则因有,故为R3的一个基，且即.习题四1. 用消元法解下列方程组.(1) (2) 【解】(1) 得所以(2) 解-2得 x2-2x3=0- 得 2x3=4得同解方程组由得 x3=2,由得 x2=2x3=4,由得 x1=2-2x3 -2x2 = -10,得 (x1,x2,x3)T=(-10,4,2)T.2. 求下列齐次线性方程组的基础解系.(1) (2) (3) (4) 【解】(1) 得同解方程组得基础解系为.(2) 系数

21、矩阵为 其基础解系含有个解向量.基础解系为(3) 得同解方程组取得基础解系为(-2，0，1，0，0)T,(-1，-1，0，1，0).(4) 方程的系数矩阵为 基础解系所含解向量为n-R(A)=5-2=3个取为自由未知量 得基础解系 3. 解下列非齐次线性方程组.(1) (2) (3) (4) 【解】（1） 方程组的增广矩阵为得同解方程组(2) 方程组的增广矩阵为得同解方程组即令得非齐次线性方程组的特解xT=(0，1，0，0)T.又分别取得其导出组的基础解系为 方程组的解为(3) 方程组无解.(4) 方程组的增广矩阵为分别令得其导出组的解为令,得非齐次线性方程组的特解为：xT=(-16,23,0

22、,0,0)T, 方程组的解为其中为任意常数.4. 某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.车间消耗系数车间123出厂产量（万元）总产量（万元）10.10.20.4522x120.20.20.30x230.500.1255.6x3表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.解：根据表中数据列方程组有即 解之 5. 取何值时，方程组(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.【解】方程组的系数矩阵和增

23、广矩阵为|A|=.(1) 当1且-2时，|A|0，R(A)=R(B)=3. 方程组有惟一解（2） 当=-2时，R(A)R(B), 方程组无解.(3) 当=1时R(A)=R(B)3,方程组有无穷解.得同解方程组 得通解为6. 齐次方程组当取何值时，才可能有非零解?并求解.【解】方程组的系数矩阵为|A|=当|A|=0即=4或=-1时，方程组有非零解.(i) 当=4时,得同解方程组(ii) 当=-1时,得 ()T=k(-2,-3,1)T.kR7. 当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.（1） (2) 【解】方程组的增广矩阵为(1) (i) 当b-52时,方程组

24、有惟一解(ii) 当b=-52,a-1时，方程组无解.(iii) 当b=-52，a=-1时，方程组有无穷解.得同解方程组 (*)其导出组的解为非齐次线性方程组（*）的特解为取x4=1, 原方程组的解为 (2) (i) 当a-10时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.(ii) 当a-1=0时,b-1时，方程组R(A)=20,则f为正定二次型.29. 试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的.【证】A,B是正定矩阵，则存在正定二次型= xTAx = xTBx且A=A ， B=B(A+B)=(A+B)=A+B有= xT(A+B)x=xTAx+xTBx0 A+B为正定.30. 试证：如

25、果A是n阶可逆矩阵，则AA是正定矩阵.【证】A可逆 (AA)= A(A)= AA AA = AE A可知AA与E合同AA正定.31. 试证：如果A正定，则A,A，A*都是正定矩阵.【证】A正交，可知A=A 可逆阵C，使得A=CEC.(i) A=CECA=(CEC)A=CE(C)=CEC A与E合同，可知A为正定矩阵.(ii) (A-1)=(A)-1=A-1可知A-1为对称矩阵.由A正交可知，A为点对称矩阵其特征值设为且有0(i=1,2,n)Axi=xixi=A-1xiA-1xi=xi可知A-1的特征值为 ， (i=1,2,n) A-1正定.(iii) 由A*=|A|A-1可知(A)1=|A|(

26、A-1)=|A|A-1=A*由(ii)可知A-1为正定矩阵即存在一个正定二次型= xTA-1x有0 A正交|A|0= xTA*x=xT|A|A-1x=|A|(xTA-1x)即有时，xTA-1x0 |A|0,即有= xTA*x 0 A*为正定矩阵.习题 六1. 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.(1) 2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；(2) 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k；(3) 2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；(4) 与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法.【解】（1）是.

27、由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1-8条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则(A+B)=A+B=-A-B=-(A+B),(kA)=kA=k(-A)=-(kA),所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.（2） 否.因为(k+l),而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.（3） 否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）.（4） 否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）

28、+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合.2. 设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U.【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V.3. 设是n维线性空间Vn的线性无关向量组，证明Vn中存在向量使成为Vn的一个基(对n-r用数学归纳法).【证明】对差n-r作数学归纳法.当n-r=0时，结论显然成立.假定对n-r=k时，结论成立，现在考虑n-r=k+1的情形.因为向量组还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在一个向量不能由线性表出，把添加进去所得向量组,必定还是线性无关的，此时n-(r+1)=(n-r)-

29、1=(k+1)-1=k.由归纳法假设, ,可以扩充为整个空间的一个基.根据归纳法原理，结论普遍成立.4. 在R中求向量(0,0,0,1)在基(1,1,0,1),(2,1,3,1), (1,1,0,0), (0,1,1,1)下的坐标.【解】设向量在基下的坐标为(),则即为解之得()=(1,0,-1,0).5. 在R中，取两个基(1，2，1)，(2，3，3)，(3，7，1)；(3，1，4)，(5，2，1)，(1，1，6)，试求到的过渡矩阵与坐标变换公式.【解】取R中一个基（通常称之为标准基）=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1).于是有所以由基到基的过渡矩阵为坐标变换公式为其中(

30、)与（）为同一向量分别在基与下的坐标.6. 在R4中取两个基(1) 求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；(2) 求向量()在后一个基下的坐标；(3) 求在两个基下有相同坐标的向量.【解】(1) 这里A就是由基到基的过渡矩阵.(2) 设,由于()=()A-1,所以因此向量在基下的坐标为(3) 设向量在这两个基下有相同的坐标,那么 即 也就是解得,其中为任一非零实数.7. 证明3阶对称矩阵的全体S构成线性空间，且S的维数为6.【证明】首先，S是非空的（0S）,并且A,BS,kR,有(A+B)=A+B=A+B(kA)=kA=kA.这表明S对于矩阵的加法和数量乘法是封闭的.其次，这两种矩阵运算满足线性空

31、间定义中的18条性质.故S是线性空间.不难验证，下列6个对称矩阵.构成S的一个基，故S的维数为6.8. 说明平面上变换的几何意义，其中(1)； (2) ；(3) ； (4) .【解】,T把平面上任一点变到它关于y轴对称的点.,T把平面上任一点变到它在y轴的投影点.,T把平面上任一点变到它关于直线x=y对称的点.,T把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90后所对应的点.9. 设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间维数为，给定n阶方阵P，变换T(A)PAP， A称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换.【证明】因为A,BV,kR,有T(A+B)=P(A+B)P=PAP+PBP=T(A)+T(B),T(kA)=P(kA)P=k(PAP)=kT(A).所以T是线性空间V的一个线性变换.10. 函数集合V3(a2x2+a1x+a0)exa2，a1,a0R对于函数的加法与数乘构成3维线性