2017年新课标版高考数学大不等式选讲1绝对值不等式课件理选修4 5

1、选修4-5 不等式选讲 第第11 课时课时 绝对值不等式绝对值不等式 20162016 考纲下载考纲下载 1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式： (1)|a b|a|b|； (2)|a b|ac|cb|. 2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax b|c；|ax b|c；|xa|xb|c. 请注意 1以选择题的形式考查绝对值不等式，同时与不等式的性 质相结合 2以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、 并、补运算 课前自助餐课前自助餐 绝对值三角不等式 定理 1.如果a，b是实数， 那么|a b|a|b|， 当且仅当 ab0 时，等号成立

2、 定理2.如果a， b是实数， 那么|a| |b|ab|， 当且仅当 ab0 时，等号成立 绝对值不等式的解法 (1) 含绝对值的不等式|x|a的解法 不等式 |x|a a0 axa a0 ? aa或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|c?caxbc； |axb|c? axbc或 axbc (3)|x a|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的 解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结 合的思想 方法二： 利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想 方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数 与方程的思想 1若a，b，cR，且满足|

3、a c|c； bca； acb; |a|b|c|. 其中错误的个数( ) A1 B2 C3 D4 答案 A 解析 ? ?acb， ? ?abc， ? ? ?aca ， ，都正确，不正确 又|ac|ca|c|a|， |c|a|c|.正确 2(2015 山东)不等式|x1|x5|2的解集是( ) A(，4) B(，1) C(1 ，4) D(1，5) 答案 A 解析 当 x1 时，不等式可化为 (x1)(x5)2 ，即 42 ，显然成立，所以此时不等式的解集为 (，1)； 当 1x5时，不等式可化为x1(x5)2 ，即 2x62 ， 解得 x5时，不等式可化为(x1)(x5)2 ，即 42 ，显然为

4、 成立，所以此时不等式无解 综上，不等式的解集为 (，4)故选A. 3f(x)|2 x|x1|的最小值为_ 答案 1 解析 |2x|x1|2xx1|1，f(x)min1. 4若关于x 的不等式|xa|1的解集为(1，3)，则实数 a的 值为_ 答案 2 解析 由|xa|1，则1xa1，a1xa1，a 2. 5(2014 安徽)若函数 f(x)|x1| |2xa|的最小值为 3，则 实数 a的值为( ) A5或8 B1或5 C1或4 D4或8 答案 D 解析 利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确 定函数最小值点进而求 a. a (1) 当12，即 a2时， ? 3xa1，x1， ? ?

5、xa 1，1x2，即 a2时， a ? ?3x a1，x2， ? a f(x)? ?xa 1，2x1， ? ?3x a1，x1. aa 易知函数 f(x)在x2处取最小值，即213，故a8.综 上 a4或8. 授人以渔授人以渔 ? 题型一 绝对值三角不等式 例 1 a，bR，求|a b|a|b|成立的充要条件 【解析】 |a b|a|b| ? (ab)(|a| |b|) ? a 2 2abb 2 a 2 2|a|b|b 2 ? ab|a|b| ? ab0， |ab|a|b|成立的充要条件为 ab0. 【答案】 ab0 22 探究 1 每一个公式都有相应成立的条件，如果不注意往往 出现逻辑错误

6、思 考 题 1 (1) |ab|a|b|成 立 的 充 要 条 件 为 _ ； |ab|a|b|成立的充要条件为_； |ab|a|b|成立的充要条件为_ 【答案】 ab0 (2) 已知实数 a(0 ，1)，则关于 x 的不等式|xlogax|x| |log ax|的解集为_ 【解析】 |xlog ax|0 ? logax0，0 x1. 【答案】 (0 ，1) ? 题型二 含绝对值不等式的解法 例 2 解下列绝对值不等式 (1)12x； (3)|x 3|x2|3. 2 【解析】 (1) 原不等式等价于 1x23或3x21， 解得 3x5或1x1. 所以原不等式的解集是x|1x1或 3x5 (2)

7、 原不等式等价于x 2x42x.解得无解，解得 x2. 原不等式的解集为x|xR 且 x2 2 (3) 分别令 x30，x20得零点为3，2. ? ?x3， 原不等式等价于： ? ? 解集为?； ? ?x3 x23 ? ?3 x2， 或? ? 1x2； ? ?x3 x23 ? ?x2， 或? ? x2. ? ?x3 x23 综上，不等式的解集为x|x1 【答案】 (1)x| 1x1或 3a(或0)去绝对值，如(1)题； 零点分段法：利用绝对值定义去绝对值如 (3) 题； 平方法：利用|f(x)|g(x)|? f (x)g(x)去绝对值； 几何法：利用绝对值的几何意义求解 22 思考题 2 (1

8、)(2014 广东)不等式|x1|x2|5的解集 为_ 【解析】 原不等式可化为以下三个不等式组： ? ?x1 ， ?x2， ? ? ?x1 x25；? ?1 x（x2）5； ? ?2x1 ， ? ? ?1 xx25. 解得 x2；解得x3，无解，因此原不等式的解 集为x|x2或 x3 【答案】 x|x2或x3 (2)(2015 江苏)解不等式 x|2x 3|2. 【解析】 原不等式可化为 33 ? ?x ， ?x ， 22 ?或? ? ?x3 2， ? ?3x 32. 1 解得 x5或x . 3 1 综上，原不等式的解集是 x|x5或x3 1 【答案】 x|x5或x3 ? 题型三 绝对值不等

9、式的证明 1ab 例 3 (1) 已知|a|1，|b|1. ab 1ab (2) 求实数 的取值范围，使不等式|1对满足|a|1 ， ab |b|1的一切实数a，b恒成立 【解析】 (1)|1 ab|ab|1 ab ab (a1)(b 1) |a|1，|b|1，a10，b10，|1ab|ab|. 1ab|1 ab| |1. ab|a b| 22 22 222 22222 1ab 22222 (2) | |1 ? |1 ab|ab|(a 1)(b1)0. ab 又b 1，a 10对于任意满足|a|1的 a恒成立 1 当 a0时，a 10 成立；当a0，要使 a2对于任意 222 222 1 满足

10、|a|1， |1.的取值范围是11. 【答案】 (1) 略 (2) 11 探究 3 证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两条：一 是恰当地运用|a|b|a b|a|b|进行放缩， 并注意不等号的传 递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为 不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行 证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法 思考题 3 设函数 f(x)在0 ，1上有意义，f(0)f(1)，对 于任意 x1，x20 ，1，都有|f(x 1)f(x2)|x1x2|.求证：|f(x1) 1 f(x 2)| . 2 【证明】 不妨设 0 x1x21， |f(x 1)f(

11、x2)|f(x1)f(0)f(x2)f(1)| |f(x 1)f(0)|f(x2)f(1)| x11x2， 又|f(x 1)f(x2)|x2x1， 1 2|f(x 1)f(x2)|1，|f(x1)f(x2)|0)，g(x)x2. (1) 当 a1时，求不等式f(x)g(x)的解集； (2) 若 f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围 【思路】 本题主要是对绝对值不等式进行转化时容易出 错，表现在去绝对值时分类讨论不当致误，特别是在不等式中含 有参数时，必须要考虑参数的取值情况 【解析】 (1) 当 a1时， 原不等式等价于|2x 1|2x1|x 2. 1111 ? ?x ， ? x ，?x

12、 ， 22 或? 2 等价于?或? 2 ? 4xx22x2 ?4x x2， 112 解得 x?或0 x0 ，所以 h(x)?xa1， 2 xm的解集为 ?，则f(x)m恒成立 思考题 5 (2016 江西上饶第一次联考 )已知函数f(x) |2x 1|x4|. (1) 解关于 x的不等式f(x)2 ； a7 (2) 若不等式 f(x)ax22恒成立，求实数a的取值范围 ?x5，x4， ? ?3x 3，1x2 ，x3，则 x4； 155 当2x2，x3，则3x2 ，x7，则 x7. 5 所以不等式的解集为(，7)( 3 ，) ?x5，x4， ? ?3x 3， 1 x4， 2(2) 因为 f(x)? ? 1 ?x5，x ， 2 ? a7 画出函数 yf(x)的图像，由于不等式f(x)ax22恒成立，所 a77117 以令 yax ，即y a(x )，过定点( ， )作直线， 222222 要求直线在 f(x)的图像的下方，如图所示，由于函数yf(x)的最 9 小值为 ，根据图像可以看出这样的 a不存在 2 5