浙江专版高中数学课时跟踪检测七函数的最大(小)值与导数新人教A版选修2_2

1、课时跟踪检测(七)函数的最大(小)值与导数层级一学业水平达标1. 设M m分别是函数f(x)在a, b上的最大值和最小值，若M= m则f( x)()A. 等于0B.小于0C.等于1D .不确定解析： 选A因为M= m所以f(x)为常数函数，故f(x) = 0,故选A.2. 函数y= 2x3- 3x2- 12x + 5在2,1上的最大值、最小值分别是 ()A. 12, 8B . 1, 8C. 12, 15D . 5, 162解析：选 A y= 6x 6x 12,由 y = 0? x= 1 或 x= 2(舍去).x= 2 时，y= 1; x = 1 时，y = 12; x = 1 时，y = 8.

2、-ymax= 12 , ymin = 8.古攵选 A.3函数 f(x) = x4 4x(| x|0,5A. e1C.- x= 1时，f (x)最小，最小值为f (1) = 3.In x5. 函数y=的最大值为(B . eD . 10解析：选A令y =In xx In x 1 In x0? x = e.当 xe 时，y v 0;当0v xv e时，y 0,所以y极大值= f(e) = e1，在定义域内只有一个极值，所以一 1ymax= e6. 函数y=Ji x(x0)的最大值为 解析：y =12 ；x1=0 得 x = d/ 0vxv4时，y 0; x4时，yv 0.1答案：47. 函数f(x)

3、 = xe x, x 0,4的最小值为 .解析：f(x) = e x xe x= ex(1 x).令 f(x) = 0,得 x= 1(e x0),1 4f(1) =-0, f(0) = 0, f(4)0,ee所以f(x)的最小值为0.答案：0&若函数f (x) = x3 3x a在区间0,3上的最大值、最小值分别为m n,贝U m- n =0)上单调递减，在(0,+)上单调递增，故 f(x)的最小值为f(0) = 1.x 1 2(2)若 k= 1，则 f (x) = e - jx - x,定义域为 R.xx f (x) = e x 1,令 g( x) = e x 1,x则 g(x) = e 1

4、,由g(x) 0得x0,所以g(x)在0 ,+)上单调递增，由g(x)0得x0.所以f(x)在R上单调递增.10. 已知函数f(x) = x3+ ax2 + bx+ 5，曲线y = f(x)在点P(1 , f(1)处的切线方程为y=3x + 1.(1) 求a, b的值；(2) 求y= f (x)在3,1上的最大值.解：(1)依题意可知点 P(1 , f(1)为切点，代入切线方程y = 3x+ 1可得，f(1) = 3X1+ 1 = 4, f(1) = 1 + a + b+ 5 = 4,即卩 a+ b= 2,又由 f (x) = x + ax + bx+ 5 得， 2又 f (x) = 3x +

5、 2ax+ b,而由切线y = 3x+ 1的斜率可知f (1) = 3, 3+ 2a + b= 3,即 2a + b= 0,a+ b= 2,a= 2,由解得2a+ b= 0.b= 4, a= 2, b= 4.32(2)由(1)知 f(x) = x + 2x 4x + 5,2f (x) = 3x + 4x 4= (3x 2)( x + 2),2 令 f (x) = 0,得 x= 3或 x = 2.当x变化时，f (x) , f (x)的变化情况如下表：x3(3, 2)22-2, 3232 -13, 11f (X)+00+f(x)8极大值极小值4 f(x)的极大值为f ( 2) = 13,极小值为

6、f 2 = 97,又 f( 3) = 8, f(1) = 4, f(x)在3,1上的最大值为13.层级二应试能力达标1. 函数f (x) = x3 3ax a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()A. 0,1)B. (0,1)1C. ( 1,1)D.0, 22 2解析：选 B/ f(x)=3x3a,令 f(x)= 0，可得 a= x ,又t x (0,1) , 0 v av 1，故选B.2. 若函数f(x) = x3 3x2 9x + k在区间4,4上的最大值为10，则其最小值为()A. 10B . 71C. 15D . 222解析：选 B f (x) = 3x 6x 9 = 3(x 3

7、)( x+ 1).由 f (x) = 0,得 x= 3 或 x= 1. 又 f( 4) = k 76, f (3) = k 27, f( 1) = k + 5, f (4) = k 20.由 f (x) max= k + 5= 10,得 k =5 , f ( x) min = k 76 = 71.3. 设直线x = t与函数f(x)= x2,g(x)= ln x的图象分别交于点MN,则当| MN达到最小值时t的值为()1A. 1B.D.解析：选D因为f (x)的图象始终在g(x)的上方，所以| MN = f (x) g(x) = x2 ln x,1 2x2 12x2 112设 h(x) = x

8、2 lnx，贝Uh(x) =2x -=，令h(x)= 0,得x=，所以h(x)在0,三2上单调递减，在 于，+上单调递增，所以当x=时有最小值，故t =亚2 .4. 函数f (x) = x3+ ax 2在区间1 ,+s)上是增函数，则实数 a的取值范围是()A. 3 ,+)B . 3,+)C. ( 3,+)D . ( a, 3)解析：选 B / f (x) = x3 + ax 2 在1 ,+a)上是增函数， f(x) = 3x2 + a0 在1 ,+ )上恒成立，即 a 3x2在1 ,+a )上恒成立，又：在 1 ,+a )上(3x2) max= 3, a一3.5. 已知函数f (x) = a

9、x In x,若f(x) 1在区间(1 , +)内恒成立，实数a的取值范围为.解析：由题意知1 _l in xin xa 在区间(1 ,+)内恒成立.，贝V g(x) 一 p v 0(x 1), z.1 _ in x g(x)=在区间(1 ,+s)内单调递减，x- g( x) v g(1),- g(1) = 1,1 + in xv 1在区间(1 ,+s)内恒成立， a 1.x答案：1 ,+s)156. 已知函数y= x2 2x_ 3在区间a,2上的最大值为 ，则a=.4解析：y= 2x 2,令y= 0，得x = 1, 函数在(8, 1)上单调递增，在(1511,)上单调递减.若a 1,则最大值

10、为 f (a) = a 2a + 3=，解之得 a =- 3 151a= 2舍去；若aw 1，则最大值为f( 1) = 1 + 2+3 = 4工.综上知，a = 答案：-17. 已知 a R,函数 f (x) = x2( x a).(1) 当a= 3时，求f (x)的零点；(2) 求函数y =f(x)在区间1,2上的最小值.解：(1)当 a= 3 时，f (x) = x2(x 3),令 f (x) = 0，解得 x= 0 或 x= 3.(2)设此最小值为m2 2而 f (x) = 3x 2ax= 3x x 3a , x (1,2), 当 aw0 时，在 1 vxv2 时，f (x) 0,则f

11、(x)是区间1,2上的增函数，所以 m= f(1) = 1 a； 当a 0时，2a在 xv0 或 x 时，f(x) 0,32从而f(x)在区间3a,_8 上是增函数；在 0 v xv 弩时，f ( x) v 0,37从而f(x)在区间0, 3a上是减函数.i 当 2a2,即即 a3 时,m= f (2) = 8-4a；94 a327.m= f (1) = 1-a.ii 当 1v 2av 2,即2 av 3时，m= f 罟=2iii 当 0 3a 1,即卩 0 a331 一 a, aw 2,综上所述，所求函数的最小值m=4a3 2,- a 3.a&已知函数f (x) = In x+ x*(1)当

12、a0时，求函数f(x)的单调区间；3 若函数f (x)在1 , e上的最小值是2,求a的值.解：函数f (x) = In x+ 的定义域为(0，+),x a0 ,故函数在其定义域(0,+)上单调递增.(2) x 1 , e时，分如下情况讨论： 当a0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1) = a1，这与函数在1 ,3e上的最小值是相矛盾；3 当a= 1时，函数f (x)在1 , e上单调递增，其最小值为f (1) = 1,同样与最小值是- 相矛盾； 当1ae时，函数f (x)在1 , a)上有f (x)0 , f(x)单调递增，3 厂所以，函数f (x)的最小值为f (a) = In a+1,由In a+ 1 = ，得a=;；：e. 当a= e时，函数f (x)在1 , e上有f (x)e时，显然函数f(x)在1 , e上单调递减，其最小值为f(e) = 1 + ?2,仍与最e3小值是2相矛盾；综上所述，a的值为 e.解析： f (x) = 3x* 1 2 3,当 x 1 或 xv 1 时，f ( x) 0； 当一1v xv 1 时，f (x) v 0. f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增.- f (x) min = f (1) = 1 3 a = 2 a= n.又 f(0) = a, f (3) = 18 a,. f(0)