2.1.1椭圆及其标准方程

1、1 2 如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？物件呢？ 生生 活活 中中 的的 椭椭 圆圆 一一 椭圆的画法椭圆的画法 3 F1F2 4 一、椭圆的定义：一、椭圆的定义： 平面内与两个定点平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数 （大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆， 这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦点椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距. 问题问题1：当常数等于当常数等于|F1F2|时时，点，点M的轨迹的轨迹 是什么？是什么？ 问题问题2：

2、当常数小于当常数小于|F1F2|时时，点，点M的轨迹的轨迹 是什么？是什么？ 线段线段F1F2 轨迹不存在轨迹不存在 5 1、椭圆的定义、椭圆的定义： 平面内到平面内到两两个定点个定点F1、F2的距离之的距离之和和等于等于常常 数数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做）的点的轨迹叫做椭圆椭圆。 这两个定点叫做椭圆的这两个定点叫做椭圆的焦点焦点，两焦点间的距离，两焦点间的距离 叫做椭圆的叫做椭圆的焦距焦距。 1 F 2 F M 几点说明：几点说明： 1、F1、F2是是两个不同的定点两个不同的定点； 2、M是椭圆上任意一点是椭圆上任意一点，且，且|MF|MF1 1| + |MF| + |MF2

3、 2| = | = 常数常数； 3、通常这个通常这个常数常数记为记为2a，焦距焦距记为记为2c，且，且2a2c（？）；（？）； 4、如果如果2a = 2c，则，则M点的点的轨迹是线段轨迹是线段F1F2. 5、如果如果2a 2c)的动点的动点M的轨迹方程。的轨迹方程。 解：以解：以F1F2所在直线为所在直线为X轴轴, F1F2 的中点为原点建立平的中点为原点建立平 面直角坐标系面直角坐标系,则焦点则焦点F1、F2的坐标分别为的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。 (-c,0) (c,0) (x,y) 设设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，为所求轨迹上的任意一点， 则则:|MF1|+ |MF2

4、|=2a aycxycx2)()(: 2222 即 8 O X Y F1F2 M (-c,0) (c,0) (x,y) 两边平方得：两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 因为因为2a2c，即，即ac，所以，所以 a2-c20，令，令a2-c2=b2，其中，其中 b0，代入上式可得：，代入上式可得： 1 2 2 2 2 b y a x 2222 )(2)(ycxaycx所以 2222222 )()(44)( :ycxycxaaycx两边平方得 222 )(:ycxacxa即 b2x2+a2y2=

5、a2b2 两边同时除以两边同时除以a2b2得：得： (ab0) 这个方程叫做这个方程叫做椭圆的标准方程，椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的它所表示的椭圆的焦点在焦点在x 轴上。轴上。 9 a A1 y OF1F2x B2 B1 A2 c b 三、三、椭圆方程的几何意义：椭圆方程的几何意义： x y o 1F2F 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 10 如果椭圆的如果椭圆的焦点在焦点在y轴上轴上， 焦点是焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢？方程是怎样呢？ 椭圆的第二种形式椭圆的第二种形式： 1 o F y x 2 F M 0 1 2 2 2 2 ba b x a y

6、11 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 图图 形形 方方 程程 焦焦 点点F( (c，0)0)在轴上在轴上F(0(0，c) )在轴上在轴上 a,b,c之间的关系之间的关系 c2 2= =a2 2- -b2 2 P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0) 定定 义义 12 y o FF M x 1 o F y x 2 F M 四、两类标准方程的对照表： （2）哪个分母大哪个分母大,焦点就在相应的哪条坐标轴上！焦点就在相应的哪条坐标轴上！ （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和,

7、右边是右边是1 （3）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。 （4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。的值。 注意： 12 1 1625 22 yx 543 (3,0)、(-3,0) 6 定义的简单应用 7 16 填空填空 (1)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则 a=_，b=_，c=_，焦点坐标，焦点坐标 为：为：_焦距等于焦距等于_;曲线上一点曲线上一点 P到左焦点到左焦点F1的距离为的距离为3，则点，则点P到另一个焦点到另一个焦点F2 的距离等于的距离等于_，则，则三角形三角形F1

8、PF2的周长为的周长为 _ F1F2 X Y P o 13 1 54 22 yx (2)已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为： ，则，则 a=_，b=_，c=_，焦点坐，焦点坐 标为：标为：_焦距等于焦距等于_; 若若 CD为过上焦点为过上焦点F2的弦，则的弦，则 F1CD的周长为的周长为 _ 21 (0,-1)、(0,1) 2 5 54 X Y O F2 F1 C D (3)已知椭圆的焦点已知椭圆的焦点 在在 轴上，且轴上，且 过过 的直线的直线 交椭圆于交椭圆于 两点两点,且且 的周长为的周长为16， 则椭圆的标准方程为则椭圆的标准方程为 . 12 ,F Fx2 ,ac l 1 F ,A B

9、2 ABF x 14 例例 写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴上上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；，焦点在坐标轴上； 1 16 2 2 y x 1 16 2 2 y x1 16 2 2 y x 或 、 例例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：、求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两焦点的坐标分别是两焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点椭圆上一点 P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。 (2)两焦点的坐标分别是两焦点的坐标分别是(-2,0)、(2,0),且椭圆经过且椭圆经

10、过 点点P 。) 2 3 , 2 5 ( 15 (1)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、（）、（4，0），椭），椭 圆上一点圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。 解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程轴上，所以可设它的方程 为：为： )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 2a=10，2c=8即 a=5，c=4 故 b2=a2-c2=52-42=9 所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：1 925 22 yx 16 (2)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（）、（2，0），且），且 椭圆经过点椭圆经

11、过点P 。 解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：轴上，所以可设它的方程为： )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 由椭圆的定义可知： 又因又因 c=2， 所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为： 1 1 6 6 y y 1 10 0 x x 2 22 2 ) 2 3 , 2 5 ( 102) 2 3 ()2 2 5 () 2 3 ()2 2 5 (2 2222 a 1 10 0所所以以a a 故故 b2=a2-c2=10-22=6 17 课堂练习1： 1 1625 )1( 22 yx 1 1 )5( 2 2 2 2 m y m x 1 1616 )

12、3( 22 yx 0225259)4( 22 yx 123)2( 22 yx 1 1624 )6( 22 k y k x 1.口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？ 22 ,ba 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？ 并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标. ? 18 1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件 的的m的取值范围：的取值范围： 表示一个圆；表示一个圆； 1 m16 y m25 x 22 2 9 m mm m m 1625 016 025 析：方程表示圆需要满足的条件：析：方程表示圆需要满足的条件： 19 1、方程、方程

13、，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件 的的m的取值范围：的取值范围： 表示一个圆；表示一个圆； 表示一个椭圆表示一个椭圆； 1 m16 y m25 x 22 2 9 )1(m 2 9 2516mm且 mm m m 1625 016 025 析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：析：方程表示一个椭圆需要满足的条件： 20 1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件 的的m的取值范围：的取值范围： 表示一个圆；表示一个圆； 表示一个椭圆；表示一个椭圆； 表示焦点在表示焦点在x轴上的椭圆。轴上的椭圆。 1 m16 y m25 x 22 2 9 )1(m 2 9 251

14、6)2(mm且 2 9 16m 析：表示焦点在析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：轴上的椭圆需要满足的条件： mm m m 1625 016 025 21 _ _,1A 22 轴上的充要条件是表示焦点在 表示椭圆的充要条件是思考：方程 y Byx 0 , 0, 0 BA BABA 解题感悟：解题感悟： 方程表示椭圆时要看清楚限制条件方程表示椭圆时要看清楚限制条件, ,焦点在焦点在 哪个轴上。哪个轴上。 例例3 已知椭圆经过两点已知椭圆经过两点 求椭圆的标准求椭圆的标准 方程。方程。 14 (2,2),( 1,). 2 22 练习练习2：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在表

15、示的曲线是焦点在y轴轴 上的椭圆，求上的椭圆，求k的取值范围。的取值范围。 1 1 4 1 14 22 22 k yx kyx得解：由 方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆 4 1 k 1 解之得：0k4 k的取值范围为0k|BC|, 点点A的轨迹是以的轨迹是以B C为焦点的椭为焦点的椭 圆圆(除去与除去与x轴的交点轴的交点). 且且2a=12,2c=8,及及a2=b2+c2得得 a2=36,b2=20. 故点故点A的轨迹方程是的轨迹方程是 (y0). 22 1 3620 xy 例例4:已知已知ABC的一边的一边BC长为长为8,周长为周长为20,求顶点求顶点A的的 轨迹方程轨迹方程. 解解:以以

16、BC边所在直线为边所在直线为x轴轴,BC中点为原点中点为原点,建立如右图所示建立如右图所示 的直角坐标系的直角坐标系,则则B C两点的坐标分别为两点的坐标分别为(-4,0) (4,0). 定义法定义法 24 练习3：已知A(1,0),B(1,0)，线段CA、AB、 CB的长成等差数列，则点C的轨迹方程是 _. 10)3()3( 2222 yxyx x2/4+y2/3=1 练习练习4：如图，在圆：如图，在圆C:(x+1)2+y2=25内有一内有一 点点A(1,0)，Q为圆为圆C上一点，上一点，AQ的垂直平分的垂直平分 线与线与C,D的连线交于点的连线交于点M,求点求点M的轨迹方程。的轨迹方程。

17、练习练习5：在三角形：在三角形ABC中中,B(0,-3),C(0,3)且且 sinB+sinC=2sinA,求顶点求顶点A的轨迹方程的轨迹方程。 练习练习6 6：化简方程：化简方程 22 1 2521 44 xy 22 1(0) 3627 yx x 1 1625 22 xy 25 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 (2) 26 22 22 +=1 0 xy ab ab 22 22 +=1 0 xy ab ba 分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上 222 =+abc 平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等 于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的

18、轨迹）的点的轨迹 12 - , 0 , 0，FcFc 1 2 0,-0,，FcFc 标准方程标准方程 不不 同同 点点相相 同同 点点 图图 形形 焦点坐标焦点坐标 定定 义义 a、b、c 的关系的关系 焦点位置的判断焦点位置的判断 x y F1 1F2 2 P Ox y F1 1 F2 2 P O 复习旧知 27 例1求焦点在坐标轴上，且经 过两点 的椭圆的标准方程。 ) 1 , 32(),2, 3(BA x2/15+y2/5=1 分析一：当焦点在x轴上时， 设方程x2/a2+y2/b2=1 当焦点在x轴上时， 设方程x2/b2+y2/a2=1 分析二：设方程mx2+ny2=1(m0,n0)

19、 28 (2)求与椭圆求与椭圆x2/5y2/41有公共焦点，且过点有公共焦点，且过点 (3,0)的椭圆的标准方程。的椭圆的标准方程。 x2/9y2/81 (3)已知椭圆已知椭圆x22y2a2(a0)的左焦点到直线的左焦点到直线l： xy20的距离为的距离为 ，求椭圆方程。，求椭圆方程。 x2/8y2/41 22 1 1 2 22 2 2 2 cm y m x y m y cm x x 轴上可以设方程为若知椭圆的焦点在 轴上可以设方程为若知椭圆的焦点在 29 例例2、在圆上任取一点、在圆上任取一点P，过点，过点P作作x轴轴 的垂线段的垂线段PD,D为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动时，线在圆上

20、运动时，线 段段PD的中点的中点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？ 4 22 yx o x y P D 相关点法相关点法(转移法转移法):即利用中间变量求曲线方程即利用中间变量求曲线方程. 30 的轨迹。求点上，并且在点垂线段 轴作向从这个圆上任意一点变式：已知圆 MMPPMPPMPP xPyx , 2, , 9 22 y x o P P M 2 2 1 9 x y 31 P 的最大值）（ 的面积）三角形（ 求若 是两个焦点上的一点，是椭圆：例 21 21 0 21 21 22 2 1 60 ,1 64100 3 PFPF PFF PFF FF yx P 32 100 100) 2

21、 (2 2010)2( 3 364 sin 2 1 3 256 144320 1443)( 144 1260cos2- ) 1 (20 2121 221 212121 21 2121 2121 2 21 2 21 21 2 2 2 1 20 21 2 2 2 1 21 21 的最大值为”成立时“当且仅当 ，又 中由余弦定理知在 ，解：由椭圆定义知 PFPFPFPF PFPF PFPFPFPFPFPF PFPFa PFFPFPFS PFPFPFPF PFPFPFPF PFPFPFPF PFPFPFPF PFF PFPF 2 tan 1 2 21 PFF bPFFS 焦点三角形面积公式： 33 22 1 22 22 1,2 1212 12 141F ABABFABF 2F F1,P 10064 1FPFFPF 6 2PF