整理常微分方程小结

1、常微分方程小结姓名：邱俊铭学号：2010104506姓名：李林学号：2010104404姓名：曾治云学号：2010104509初等积分法：变量分离形式一、一阶微分程：dy/dx二h(x)g(y)，其中函数h(x)在区间(a,b)上 连续，g(y)在区间(c,d)上连续且不等于0.经过分离变量得：dy/g(y)=h(x)dx 两端积分得：G(y)=H(x)+c ,其中 c任意的常数且 G(y)= dy/g(y)，H(x)= h(x) x，所以 Gy)=1/g(y)不为 0, 故G存在逆函数g1，从而得到：y= G 1 (H(x)+c).例 1. dy /dx=2xy解：当y b时，分离变量后得：

2、dy/ y =2xdx ,两边积分得：In|y|=xA2+c1 ， 此外y=0也是方程的解，从而方程的解为y=CeA(x2),g(y)=0,则y= yo是方程的解，其中C为任意的常数。初值问题的解，即y取任意一个数得到的结果，代入通解中，求出具体y值。例 2.y(1+xA2)dy=x(1+yA2)dx,y(0)=1;解：这是变量分离的方程，分离变量后得：y/(1+yA2)dy=x/(1+xA2),两边积分得其通解为：1+yA2=C(1+xA2),其中C为任意常数，代入初值条件得：C=2.o故所给的初值问题的解为y=12 x2、常数变易法一阶非线性方程：dy/dx=a(x)y+f(x). (1)

3、 当f(x)=0时，方程为齐次线性方程，解法和上述的一样，通解为y=C,C为任意的常数。现在求齐次线性方程的通解，常数C换成x的函数c(x),得到：y= c(x),对x求导，然后代入(1)中化简，两端积分,a xx亠 a xx亠 a xxf x exe丄e+ea x x得：y=C例 3. dy/dx-2xy=x.解：dy/dx=2xy+x，这里a(x)=2x,f(x).从而可求出原方程的通解为:Y=exp(2 x：x)(c+ xexp(-2 x：x)涣x)=-1/2+ceA(xA2),即-1/2+ceA(xA2)，其中 c 为任意的常数。三、Bernoulli方程,非线性方程转变为一阶线性方程

4、dy/dx=a(x)y+f(x)yAa (2)当a=0和1时是上述讨论过的线性方程，当 a応和1时(二)方程是非线性方程，令 z=yA(1-a),两边除 yAa，令，由，由：dz/dx=(1-a)yA(-a)dy/dx,得 dz/dx=(1-a)a(x)z+(1-a)f(x).把 z=yA(1-a)代入可得通解为：yA(1-a)二+C，其中C为任意的常数，显然y=0也为方程的解。例 4. dy/dx=6y/x-xyA2.解：当y日时，令z=，原方程变为dz/dx=-6/xz+x,这是个一阶线性微分方程，其通解为：z=1/xA6(C+1/8xA8),从而原方程的通解为xA6/y-xA8/8二C,

5、其中C为任意的常数，此外，显然y=0也是方程的解。恰当方程形式、当 dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, M(x,y)dx+N(x,y)dy=O。( 3)则是恰当方程。判断一个方程是否是恰当方程的充要条件是：M y=Nxyx。则其通解为M x, y xN x0, y y CxoyoxyM x, yo x N x, y y Cxoyo，其中C是任意的常数而且(xo,yo)为区域G内任意取定的一点。例 5. dy/dx二-(6x+y+2) / (x+8y-3);解：将原方程改写为(6x+y+2)dx+ (x+8y-3)dy=0.这里 M(x,y)= 6x+y+2， N(x,y)=

6、x+8y-3，由于:M、y=1二、N x，所以这是一个恰当方程，取xo=o，yo =0，可计算出：xy6 x y 2 x 8 y 3 yU( x,y)= oo=3xA2+xy+2x+4yA2-3y故该方程的通解为3xA2+xy+2x+4yA2-3y=C，其中C为任意的常数。二、积分因子法：M(x,y)dx+N(x,y)dy=o，不是恰当方程，但乘上一个 适当的非零函数U=U (x,y)后，使得U ( x,y)M(x,y)dx+ U(x,y) N(x,y)dy=o，,成为恰当方程。函数U( x,y )是(3)的积分因子， 存在 g=W(x,y),使 dW(x,y)= U(x,y) M(x,y)d

7、x+ U( x,y) N(x,y)dy,W(x,y)是(4)的通解，也是(3)的通解。例 6.2xylnydx+(xA2+yA21 y A2 )dy=o.解；M(x,y)= 2xylny, N(x,y)= 乂八2+八21 y A2，由于：E= M :y- ；N x=2xlny,所以他不是恰当方程。由于-E/M=-1/y与x无关，所以方程只与y的积分因子有关，U(y)n=1/y,因此方程；2xlnxdx+(xA2/y+y 1 y A2 )dy=o,为恰当方程。取，xo=o, yo =1,，可计算出;xy22 xlny x y 1 y2 yU( x,y )= o1= xA2l ny+1/3(1+y

8、A2)A3/2-2/32故该方程的通解为；xA2lny+1/3(1+yA2F3/2-2/32 .=C,其中C为任意的常数。隐式方程一阶隐式方程，其一般式为：F (x,y,dy/dx) =o., (5)即令p=dy/dx,，变成：F(x,y, p) =o，然后用分离变量法来求解。例 7.y=(dy/dxF2-xdy/dx+xA2/2;解：令 p=dy/dx,则原方程变为;y=pA2-xp+xA2/2,两边关于 x 求导，得 p=2pdp/dx-p-xdp/dx+x,即(2p-x) dp/dx=(2p-x),若 2p-x丸， 则dp/dx=1，从而p=x+C,其中C为任意的常数，因而方程的通解为y

9、=xA2+Cx+CA2; 若2p-x=0,原方程的解为；y=xA2/4.初等积分法的一些应用一、奇解一条曲线y=f(x)不属于曲线族y=g(x,c),但在y=f(x)上每一点都有曲线族y=g(x,c) 中的某条曲线与他相切，我们称 y=f(x)是y=g(x,c)的包络，y=f(x)为奇解后特解。 y=g(x,c)是方程的通解。定理：设函数F (x,y, p)连续且对x,y,p连续可微，则方程F (x,y,dy/dx)=0的I奇解 y= x)应满足关系式：F (x,y, p)=0， F p (x,y, p)=0，其中 p=dy/dx，或满足从中消去p而得到的关系式：x,y)=0.例 8.x(dy

10、/dxF2-ydy/dx+ 仁0;解：令p=dy/dx，由方程知pW,因此可以解出：y=xp+1/p,两边对x求导得： P=p+pdp/dx-1/pA2dp/dx,即(x-1/pA2)dp/dx=0.若x-1/pA2=0,则dp/dx=0从而p=C，其中C为任意常数，因而原方程的通解为： y=Cx+1/C;若x-1/pA2=0，则容求原方程的通解为：yA2=4x。积分曲线族y=Cx+1/C的C的判别曲线满足方程：y-Cx+1/C=0,-x+1/CA2=0.从中消去C得yA2=4x，容证它是原方程的奇解。二、高阶微分方程.n. n高阶微分方程，其一般式为：F (x,y,dy/dx，三d y /

11、dx )=0。思路为：可通过变量变换的方法把高阶降阶为一阶来求解。4422例 9.4 d y dx d y dx ;2 2解：令p= d y dx ，则原方程变为：4pA2=p，用pdx乘以两边得：2d(p)A2=pdp,故4(p)A2=pA2+A1,其中A1为任意的常数。从而：2dp/dx=+- pA2 A1。考虑方程：2dp/dx= pA2 A1，分离变量法可得：P+ pA2 A1 =A2eAx/2,A2 为任意的常数。线性方程一、矩阵A(t)= ( aj (t)是连续的(或可微的)，如果其每一个元素aj(t)(其中i,j=1,2, = n)都是实变量t的连续函数(或可微的)，在可微的情况下，dA(t)/dt=(d aij(t).2 t 31 t 22例10.设A= t 4 t ，试计算并比较其导数的行列式和其行列式的导数。解：由 dA(t)/dt=(d aij (t).易知 dA(t)/dt=6 t 2 2 t1 8t ，因此其导数的行列+ 3式为481 -2t.另一方面，可求出；detA=8tA5+4L2-tA3