第2章_数字图像处理的数学基础及

1、2.1 2.1 线性系统线性系统 2.2 2.2 调用信号调用信号 2.3 2.3 卷积和滤波卷积和滤波 2.4 2.4 关联函数关联函数 2.5 2.5 运算类型运算类型 2.6 2.6 二维系统二维系统 2.7 2.7 点运算点运算 2.8 2.8 代数运算代数运算 2.9 2.9 特定区域处理特定区域处理 2.1.1 线性系统分析线性系统分析 2.1.2 移不变系统分析移不变系统分析 2.1.1 线性系统分析线性系统分析 任何一个实际系统，当给定一个输入信任何一个实际系统，当给定一个输入信 号号u u( (t t) )，则产生相应的输出信号，则产生相应的输出信号y y( (t t) )，

2、系统，系统 的输入信号与输出信号之间实质上是一种数的输入信号与输出信号之间实质上是一种数 学运算，可以采用如图学运算，可以采用如图2-12-1所示的模型表示。所示的模型表示。 2.1.2 移不变系统分析移不变系统分析 2.2.1 调谐信号分析调谐信号分析 2.2.2 对调谐信号的响应分析对调谐信号的响应分析 2.2.3 系统传递函数分析系统传递函数分析 2.2.1 调谐信号分析调谐信号分析 2.2.2 对调谐信号的响应分析对调谐信号的响应分析 2.2.3 系统传递函数分析系统传递函数分析 1 1传递函数的形式传递函数的形式 对于线性移不变系统，式（对于线性移不变系统，式（2-152-15）描述

3、）描述 了输入信号与输出信号之间的关系，其中了输入信号与输出信号之间的关系，其中H H( ( ) ) 称为系统的传递函数。称为系统的传递函数。 传递函数传递函数H H( ( ) )包含了所表示系统的全部包含了所表示系统的全部 特征。特征。 2线性移不变系统对余弦信号的输出线性移不变系统对余弦信号的输出 A A( ( ) )为系统的增益因子，代表系统对输为系统的增益因子，代表系统对输 入信号的缩放比例。入信号的缩放比例。 为输出信号的相位，其作用是将调谐输为输出信号的相位，其作用是将调谐输 入信号的时间坐标加以平移。入信号的时间坐标加以平移。 综上所述，线性移不变系统具有以下性综上所述，线性移不

4、变系统具有以下性 质：质： （1 1）调谐输入产生同频率的调谐输出；）调谐输入产生同频率的调谐输出； （2 2）系统的传递函数是一个仅依赖于频）系统的传递函数是一个仅依赖于频 率的复函数，它包含了系统的全部特征信息；率的复函数，它包含了系统的全部特征信息； （3 3）传递函数对调谐输入信号仅产生幅）传递函数对调谐输入信号仅产生幅 值的缩放和相位的平移。值的缩放和相位的平移。 2.3.1 连续卷积分析连续卷积分析 2.3.2 离散卷积分析离散卷积分析 2.3.3 滤波分析滤波分析 2.3.1 连续卷积分析连续卷积分析 2.3.2 离散卷积分析离散卷积分析 2.3.3 滤波分析滤波分析 卷积运算在

5、信号处理和图像处理学科中卷积运算在信号处理和图像处理学科中 通常称为滤波。通常称为滤波。 一个线性移不变系统输入和输出之间的一个线性移不变系统输入和输出之间的 关系，既可以采用传递函数进行描述，也可关系，既可以采用传递函数进行描述，也可 以采用卷积的形式进行描述。以采用卷积的形式进行描述。 也就是说，线性移不变系统的输出可通也就是说，线性移不变系统的输出可通 过输入信号与系统的冲击响应函数过输入信号与系统的冲击响应函数h(th(t) )的卷的卷 积得到，即积得到，即 ( )( ) ()d( ) ()d ( )* ( ) y tuh thu t u th t 2.4.1 关联函数的定义分析关联函

6、数的定义分析 2.4.2 关联与卷积的关系分析关联与卷积的关系分析 2.4.1 关联函数的定义分析关联函数的定义分析 1自关联函数自关联函数 2互关联函数互关联函数 2.4.2 关联与卷积的关系分析关联与卷积的关系分析 具有代表性的图像处理典型算法从功能具有代表性的图像处理典型算法从功能 上包括以下几种：上包括以下几种： （1 1）单幅图像）单幅图像单幅图像单幅图像 （2 2）多幅图像）多幅图像单幅图像单幅图像 （3 3）单幅图像或多幅图像）单幅图像或多幅图像数值数值/ /符号符号 等等 2.6.1 二维线性系统分析二维线性系统分析 2.6.2 二维位置不变线性系统分析二维位置不变线性系统分析

7、 2.6.3 二维系统的梯度算子分析二维系统的梯度算子分析 2.6.1 二维线性系统分析二维线性系统分析 2.6.2 二维位置不变线性系统分析二维位置不变线性系统分析 2.6.3 二维系统的梯度算子分析二维系统的梯度算子分析 1 1连续系统梯度算子连续系统梯度算子 由于无论是由于无论是x x方向还是方向还是y y方向，离散系统方向，离散系统 的坐标值最小增量为的坐标值最小增量为1 1，因而以相邻点之差近，因而以相邻点之差近 似表示梯度分量。似表示梯度分量。 2离散系统梯度算子离散系统梯度算子 2.7.1 线性点运算分析线性点运算分析 2.7.2 非线性点运算分析非线性点运算分析 2.7.3 直

8、方图修正分析直方图修正分析 对于一幅输入图像，若输出图像的每个对于一幅输入图像，若输出图像的每个 像素点的灰度值由输入像素来决定，则这样像素点的灰度值由输入像素来决定，则这样 的图像变换称为图像的点运算（的图像变换称为图像的点运算（point point operationoperation），即该点像素灰度的输出值仅是），即该点像素灰度的输出值仅是 本身灰度的单一函数。本身灰度的单一函数。 点运算的结果由灰度变换函数（点运算的结果由灰度变换函数（gray-gray- scale transformation,GSTscale transformation,GST）确定，即：）确定，即： B

9、B( (x x, ,y y)=A()=A(x x, ,y y) 式中，式中，A A（x x, ,y y）是运算前的图像像素值，）是运算前的图像像素值， B B( (x x, ,y y) )是点运算后的图像值，是点运算后的图像值， 是对是对A A( (x x, ,y y) )的的 一种映射函数，即一种映射函数，即GSTGST函数。函数。 2.7.1 线性点运算分析线性点运算分析 当灰度变换当灰度变换GSTGST函数为线性时，即函数为线性时，即 B B=(=(A A)=)=AA+ +，此时的变换称为线性点运算。，此时的变换称为线性点运算。 显然，当显然，当= 1= 1，=0=0时，原图像不发生变时

10、，原图像不发生变 化；当化；当=1=1， 0 0时，图像灰度值增加时，图像灰度值增加 或降低；当或降低；当11时，输出图像对比度增大；时，输出图像对比度增大； 当当0011时，输出图像对比度减小；当时，输出图像对比度减小；当00 时，图像亮区域变暗，暗区域变亮，即图像时，图像亮区域变暗，暗区域变亮，即图像 求补。求补。 当图像的曝光不足或过度时，图像灰度当图像的曝光不足或过度时，图像灰度 值就会限制在一个较小的范围内，这时在显值就会限制在一个较小的范围内，这时在显 示器上看到的将是一个模糊的图像。示器上看到的将是一个模糊的图像。 利用线性点运算对图像进行处理，就能利用线性点运算对图像进行处理，

11、就能 增强图像的灰度层次，改善图像的视觉效果。增强图像的灰度层次，改善图像的视觉效果。 2.7.2 非线性点运算分析非线性点运算分析 2.7.3 直方图修正分析直方图修正分析 1点运算对直方图的影响 点运算对直方图的影响 下面通过一个示例来说明点运算对直方下面通过一个示例来说明点运算对直方 图的影响。图的影响。 【例【例2-32-3】cameramancameraman图像图像f (x)=1.25x + f (x)=1.25x + 4545的直方图变化情况。的直方图变化情况。 直方图均衡化又称为直方图平坦化。直方图均衡化又称为直方图平坦化。 直方图均衡化的基本思想是将原始图像的直方图均衡化的基

12、本思想是将原始图像的 不均衡的直方图变化为均匀分布的形式。不均衡的直方图变化为均匀分布的形式。 即将输入图像转换为在每一灰度级上都有即将输入图像转换为在每一灰度级上都有 相同的像素点数（即输出的直方图是平坦的，相同的像素点数（即输出的直方图是平坦的， 其分布为均匀分布）。其分布为均匀分布）。 直方图均衡化的结果扩展了像元取值的动直方图均衡化的结果扩展了像元取值的动 态范围，从而达到增强图像整体对比度的效态范围，从而达到增强图像整体对比度的效 果。果。 直方图均衡化参考以下示例。直方图均衡化参考以下示例。 2直方图均衡化直方图均衡化 2.8.1 代数运算的意义代数运算的意义 2.8.2 加法运算

13、加法运算 2.8.3 减法运算减法运算 2.8.4 乘法运算乘法运算 2.8.5 除法运算除法运算 2.8.1 代数运算的意义代数运算的意义 在数字图像处理技术中，代数运算具有在数字图像处理技术中，代数运算具有 非常广泛的应用和重要的意义。非常广泛的应用和重要的意义。 图像相加也可用于将一幅图像的内容叠图像相加也可用于将一幅图像的内容叠 加到另一幅图像上，从而实现二次曝光加到另一幅图像上，从而实现二次曝光 （double-exposuredouble-exposure）。）。 图像相减运算可用于消除一幅图像中所图像相减运算可用于消除一幅图像中所 不需要的加性图案，加性图案可能是缓慢变不需要的加

14、性图案，加性图案可能是缓慢变 化的背景阴影、周期性噪声，或在图像上每化的背景阴影、周期性噪声，或在图像上每 一像素点均已知的附加污染等。一像素点均已知的附加污染等。 减法运算还可用于检测同一场景的两幅减法运算还可用于检测同一场景的两幅 图像之间的变化。图像之间的变化。 在数字图像处理中，虽然乘、除运算应在数字图像处理中，虽然乘、除运算应 用得相对少一些，但它们也具有很重要的应用得相对少一些，但它们也具有很重要的应 用。用。 例如，在获取数字化图像过程中，图像例如，在获取数字化图像过程中，图像 数字化设备对一幅图像各点的敏感程度不可数字化设备对一幅图像各点的敏感程度不可 能完全相同，乘、除运算可

15、用于纠正这方面能完全相同，乘、除运算可用于纠正这方面 的不利影响。的不利影响。 此外，乘法运算在获取图像的局部图案此外，乘法运算在获取图像的局部图案 时发挥作用，用一幅掩膜图像（时发挥作用，用一幅掩膜图像（mask imagemask image） 乘以某一图像可遮住该图像中的某些部分，乘以某一图像可遮住该图像中的某些部分， 使其仅保留图像中感兴趣的部分，而除法运使其仅保留图像中感兴趣的部分，而除法运 算还可以产生对颜色和多光谱图像分析十分算还可以产生对颜色和多光谱图像分析十分 重要的比率图像。重要的比率图像。 2.8.2 加法运算加法运算 加法运算通常用于平均值降噪等多种场加法运算通常用于平

16、均值降噪等多种场 合。图像相加一般用于对同一场景的多幅图合。图像相加一般用于对同一场景的多幅图 像求平均，以便有效地降低加性噪声。像求平均，以便有效地降低加性噪声。 若有一静止场景的图像被加性随机噪声若有一静止场景的图像被加性随机噪声 污染，且已获得由幅该静止场景图像组成的污染，且已获得由幅该静止场景图像组成的 图像集合，则图像可表示为图像集合，则图像可表示为 ( , )( , )( , ) ii D x yS x yN x y S S( (x x, ,y y) )为静止场景的理想图像，为静止场景的理想图像，N Ni i( (x x, ,y y) ) 表示由于胶片的颗粒或数字化系统中的电子表示

17、由于胶片的颗粒或数字化系统中的电子 噪声所引起的噪声图像。噪声所引起的噪声图像。 集合中的每幅图像被不同的噪声图像所集合中的每幅图像被不同的噪声图像所 污染。污染。 设设P P( (x x, ,y y) )表示功率信噪比，对于图像中表示功率信噪比，对于图像中 的任意像素点，则的任意像素点，则P P( (x x, ,y y) )可定义为可定义为 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) Sx y P x y E Nx y 同时在同时在MATLABMATLAB中提供函数中提供函数imaddimadd实现图像实现图像 的加法运算，其语法格式为：的加法运算，其语法格式为： z=imadd(Az=im

18、add(A, B), B) 其中其中A A为图像，若为图像，若B B是一幅图像，则是一幅图像，则z z为两为两 个图像的求和，此时要求个图像的求和，此时要求B B的大小必须和的大小必须和A A相相 等；若等；若B B是一个标量（双精度），则是一个标量（双精度），则z z表示对表示对 图像图像A A整体加上某个值，即图像的亮度调整。整体加上某个值，即图像的亮度调整。 2.8.3 减法运算减法运算 图像相减常用于检测变化及运动的物体，图像相减常用于检测变化及运动的物体， 图像相减运算又称为图像差分运算。图像相减运算又称为图像差分运算。 差分方法可以分为可控制环境下的简单差分方法可以分为可控制环境下

19、的简单 差分方法和基于背景模型的差分方法。差分方法和基于背景模型的差分方法。 在在MATLABMATLAB中，图像的减法用中，图像的减法用imsubtractimsubtract 和和imabsdiffimabsdiff函数可以完成，其语法格式为：函数可以完成，其语法格式为： z=imsubtract(az=imsubtract(a, b);, b); % %差值结果小于差值结果小于0 0的赋值为的赋值为0 0；a a、b b大小相等。大小相等。 z=imabsdiff(az=imabsdiff(a, b) %, b) %差值结果取绝对值差值结果取绝对值 1消除背景影响消除背景影响 所谓差影法

20、，实际上就是图像的减法运算所谓差影法，实际上就是图像的减法运算 （又称减影技术），是指将同一景物在不同（又称减影技术），是指将同一景物在不同 时间拍摄的图像或同一景物在不同波段的图时间拍摄的图像或同一景物在不同波段的图 像相减。像相减。 差值图像提供了图像间的差异信息，能用差值图像提供了图像间的差异信息，能用 于指导动态监测、运动目标的检测和跟踪、于指导动态监测、运动目标的检测和跟踪、 图像背景的消除及目标识别等。图像背景的消除及目标识别等。 2差影法差影法 3求梯度幅度求梯度幅度 2.8.4 乘法运算乘法运算 乘法运算可用来遮住图像的某些部分，乘法运算可用来遮住图像的某些部分， 其典型运用是

21、用于获得掩膜图像。其典型运用是用于获得掩膜图像。 对于需要保留下来的区域，掩膜图像的对于需要保留下来的区域，掩膜图像的 值置为值置为1 1，而在需要被抑制掉的区域，掩膜图，而在需要被抑制掉的区域，掩膜图 像的值置为像的值置为0 0，原图像乘上掩膜图像，可抹去，原图像乘上掩膜图像，可抹去 图像的某些部分，即使该部分为图像的某些部分，即使该部分为0 0。 然后可利用一个互补的掩膜来抹去第二然后可利用一个互补的掩膜来抹去第二 幅图像中的另一些区域，而这些区域在第一幅图像中的另一些区域，而这些区域在第一 幅图像中被完整地保留了下来。幅图像中被完整地保留了下来。 一般情况下，利用计算机图像处理软件一般情

22、况下，利用计算机图像处理软件 生成掩膜图像的步骤如下：生成掩膜图像的步骤如下： （1 1）新建一个与原始图像大小相同的图）新建一个与原始图像大小相同的图 层，图层文件一般保存为二值图像文件；层，图层文件一般保存为二值图像文件； （2 2）用户在新建图层上人工勾绘出所需）用户在新建图层上人工勾绘出所需 要保留的区域，区域的确定也可以由其他二要保留的区域，区域的确定也可以由其他二 值图像文件导入或由计算机图形文件（矢量）值图像文件导入或由计算机图形文件（矢量） 经转换生成；经转换生成； （3 3）确定局部区域后，将整个图层保存）确定局部区域后，将整个图层保存 为二值图像，选定区域内的像素点值为为二

23、值图像，选定区域内的像素点值为1 1，非，非 选定区域像素点值为选定区域像素点值为0 0； （4 4）将原始图像与（）将原始图像与（3 3）形成的二值图）形成的二值图 像进行乘法运算，即可将原始图像选定区域像进行乘法运算，即可将原始图像选定区域 外像素点的灰度值置外像素点的灰度值置0 0，而选定区域内像素的，而选定区域内像素的 灰度值保持不变，得到与原始图像分离的局灰度值保持不变，得到与原始图像分离的局 部图像，即掩膜图像。部图像，即掩膜图像。 2.8.5 除法运算除法运算 图像除法运算可以用来校正由于照明或传图像除法运算可以用来校正由于照明或传 感器的非均匀性造成的图像灰度阴影，除法感器的非

24、均匀性造成的图像灰度阴影，除法 运算还被用于产生比率图像，这对于多光谱运算还被用于产生比率图像，这对于多光谱 图像的分析是十分有用的。图像的分析是十分有用的。 利用不同时间段图像的除法得到的比率图利用不同时间段图像的除法得到的比率图 像常常可以用来对图像进行变化检测。像常常可以用来对图像进行变化检测。 2.9.1 指定感兴趣区域指定感兴趣区域 2.9.2 特定区域滤波特定区域滤波 2.9.3 特定区域填充特定区域填充 2.9.1 指定感兴趣区域指定感兴趣区域 MATLAB MATLAB中对特定区域的处理是通过二值中对特定区域的处理是通过二值 掩模来实现的。掩模来实现的。 MATLABMATLA

25、B图像处理工具箱提供了图像处理工具箱提供了3 3个函数用个函数用 于生成二值掩模，从而选择特定区域，下面于生成二值掩模，从而选择特定区域，下面 分别介绍。分别介绍。 roipoly roipoly函数用于选择图像中的多边形区函数用于选择图像中的多边形区 域。域。roipolyroipoly函数返回二值图像函数返回二值图像BWBW，选中区域，选中区域 的像素值为的像素值为1 1，其余部分的值为，其余部分的值为0 0。 这个二值图像可以作为掩模，通过与原这个二值图像可以作为掩模，通过与原 图的运算选择目标或背景。图的运算选择目标或背景。 其语法格式如下：其语法格式如下： BW= roipoly(I

26、BW= roipoly(I, c, r), c, r) BW= roipoly(IBW= roipoly(I) ) BW= roipoly(x, y, I, xi, yiBW= roipoly(x, y, I, xi, yi) ) BW, xi, yi= roipolyBW, xi, yi= roipoly(.)(.) x, y, BW, xi, yi= roipolyx, y, BW, xi, yi= roipoly(.)(.) MATLAB MATLAB图像处理工具箱提供了图像处理工具箱提供了roicolorroicolor 函数可以对函数可以对RGBRGB图像和灰度图像实现按灰度或图像和

27、灰度图像实现按灰度或 亮度选择区域，其语法格式为：亮度选择区域，其语法格式为： BW= roicolor(ABW= roicolor(A, low, high), low, high) BW= roicolor(ABW= roicolor(A, v), v) 其中其中BW= roicolor(ABW= roicolor(A, low, high), low, high)表示表示 按指定的灰度范围分割图像，返回二值掩模按指定的灰度范围分割图像，返回二值掩模 BWBW，low highlow high为所要选择区域的灰度范围。为所要选择区域的灰度范围。 如果如果lowlow大于大于highhigh

28、，则返回为空矩阵；，则返回为空矩阵； BW= roicolor(ABW= roicolor(A, v), v)是按向量是按向量v v中指定的灰度中指定的灰度 值为选择区域。值为选择区域。 该函数可以转化指定的多边形区域为二该函数可以转化指定的多边形区域为二 值掩模。值掩模。 其语法格式为：其语法格式为： BW=poly2mask(x, y, m, n)BW=poly2mask(x, y, m, n) x x和和y y表示两个向量，指定一个多边形区表示两个向量，指定一个多边形区 域，域，BWBW的大小为的大小为mmn n，在，在BWBW中指定区域内中指定区域内 的像素为的像素为1 1，指定区域外

29、的像素为，指定区域外的像素为0 0。 如果如果x x和和y y指定的区域不封闭，则指定的区域不封闭，则 poly2maskpoly2mask自动封闭这个多边形。自动封闭这个多边形。 2.9.2 特定区域滤波特定区域滤波 MATLAB MATLAB图像处理工具箱中提供了一个区图像处理工具箱中提供了一个区 域滤波函数域滤波函数roifilt2roifilt2，其语法格式为：，其语法格式为： J= roifilt2(h, I, BW)J= roifilt2(h, I, BW) J= roifilt2(h, I, BW, fun)J= roifilt2(h, I, BW, fun) J= roifil

30、t2(h, I, BW, fun, P1, P2, .)J= roifilt2(h, I, BW, fun, P1, P2, .) 其中其中J= roifilt2(h, I, BW)J= roifilt2(h, I, BW)为使用滤波为使用滤波 器器h h对图像对图像I I中用二值掩模中用二值掩模BWBW选中的区域进行选中的区域进行 滤波；滤波；J= roifilt2(h, I, BW, fun)J= roifilt2(h, I, BW, fun)和和J= J= roifilt2(h, I, BW, fun, P1, P2, .)roifilt2(h, I, BW, fun, P1, P2, .)对对 图像图像I I中用二值掩模中用二值掩模BWBW选中的区域作函数运算选中的区域作函数运算 funfun，其中，其中funfun是描述函数运算的字符串，参是描述函数运算的字符串，参 数数P1P1、P2P2、返回图像返回图像J J在选中区域的像素为在选中区域的像素为 图像图像I I经经funfun运算的结果，其余部分的像素值运算的结果，其余部分的像素值 为为I I的原始值。的原始值。 2.9.3 特定区域填充特定区域填充 MATLAB MATLAB图像处理工具箱中提供了函