第一章 信号及其描述

1、学习本课程应达到的目的 1、 掌握信号的时域和频域的描述方法，建立明确的信 号频谱结构的概念；掌握频谱分析和相关分析的基 本原理和方法，掌握数字信号分析中的一些基本概 念。 2、 掌握测试装置基本特性的评价方法和不失真测试条 件，并能正确地运用于测试装置的分析和选择。掌 握一阶、二阶线性系统动态特性及其测定方法。 3、 了解常用传感器、常用信号调理电路和记录仪器的 工作原理和性能，并能较合理地选用。 4、 对动态测试工作的基本问题有一个比较完整的概 念，并能初步运用于机械工程中某些参量的测试。 第一节 信号的分类 与描述 第二节 周期信号与离 散频谱 第三节 非周期信号 与连续频谱瞬变 第四节

2、 随机信号 第一章 信号及其描述 第一节、信号的分类与描述第一节、信号的分类与描述 一、信号的分类 二、信号的描述 第一节、信号的分类与描述第一节、信号的分类与描述 n周期信号周期信号 是按一定时间间隔周而复始出现，无是按一定时间间隔周而复始出现，无 始无终的信号。始无终的信号。 式中T 0周期 弹簧振子弹簧振子 n非周期信号非周期信号 是确定性信号中不具有周期重复性是确定性信号中不具有周期重复性 的信号。的信号。 弹簧振子弹簧振子 n随机信号随机信号 是不能准确预测其未来瞬时值，无法是不能准确预测其未来瞬时值，无法 用数学关系式描述的信号。用数学关系式描述的信号。 第一节、信号的分类与描述第

3、一节、信号的分类与描述 一、信号的分类 （1） 目 录 第一节、信号的分类与描述第一节、信号的分类与描述 （2） 目 录 n连续信号连续信号 是其数学表示式中的独立变量取是其数学表示式中的独立变量取 值是连续的信号。若独立变量和幅值取连续的值是连续的信号。若独立变量和幅值取连续的 称为模拟信号。称为模拟信号。 n离散信号离散信号 是其数学表示式中的独立变量取是其数学表示式中的独立变量取 值是离散的信号。若离散信号的幅值也是离散值是离散的信号。若离散信号的幅值也是离散 的称为数字信号。的称为数字信号。 n能量有限信号能量有限信号（能量信号）（能量信号） 当 满足 时，则认为信号 的能量是有限的。

4、例如有限时间段内 的矩形脉冲信号、衰减指数函数等。 弹簧振子弹簧振子 n功率有限信号功率有限信号（功率信号（功率信号）信号在区间 (-,+ )的能量是无限的，但在有限 区间的平均功率是有限的，即 第一节、信号的分类与描述第一节、信号的分类与描述 （3） 目 录 弹簧振子弹簧振子 m k A x(t) 周期信号 功率信号 非周期信号 能量信号 目 录 m A x(t ) ck n时域描述时域描述 以时间t为独立变量的， 直接观测或记录到的信号。信号时域 描述直观地出信号瞬时值随时间变化 的情况。 n频域描述频域描述 信号以频率 f 为独立变 量，称为信号的频域描述。反映信号 的频率组成及其幅值、

5、相角之大小。 第一节、信号的分类与描述第一节、信号的分类与描述 二、信号的描述二、信号的描述 实际，两种描述方法可以相互转换，虽然是从不同的实际，两种描述方法可以相互转换，虽然是从不同的 角度来描述信号，但都反映了信号的本质特征，包含角度来描述信号，但都反映了信号的本质特征，包含 同样的信息。同样的信息。 目 录 周期方波的时域、频域描述 由上图可以看到，时域周期方波经过一定的方法进行变换之后，由上图可以看到，时域周期方波经过一定的方法进行变换之后， 可以得到其频域描述可以得到其频域描述幅频谱图和相频谱图。幅频谱图和相频谱图。 一、傅立叶级数的三角函数展开式 二、傅立叶级数的复指数函数展开式

6、三、周期信号的强度表述 第二节、周期信号与离散频谱第二节、周期信号与离散频谱 第二节、周期信号与离散频谱第二节、周期信号与离散频谱 周期信号分解的条件：周期信号分解的条件： 狄里赫利条件：狄里赫利条件： 一周期信号若能分解为谐波分量，代表这一周期信号一周期信号若能分解为谐波分量，代表这一周期信号 的函数的函数f(t)应当满足下列条件：应当满足下列条件： u在一周期内，函数是绝对可积的，即在一周期内，函数是绝对可积的，即 应为有限值；应为有限值； u在一周期内，函数的极值数目为有限；在一周期内，函数的极值数目为有限； u在一周期内，函数在一周期内，函数f(t)或者为连续的，或者具有有或者为连续的

7、，或者具有有 限限 个第一类的间断点，即当个第一类的间断点，即当t从较大的时间值和较小从较大的时间值和较小 的时间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的的时间值分别趋向间断点时，函数具有两个不同的 有限的函数值。有限的函数值。 一、周期信号的傅立叶级数的三角函数展开式 在有限的区间上，凡满足狄里赫利条件的周期函 数（信号）可以展开成傅立叶级数。 例题例题进入复指数进入复指数 第二节、周期信号与离散频谱第二节、周期信号与离散频谱 常值分量 余弦分量的幅值 正弦分量的幅值 周期 圆频率， 展开式 求右图周期性三角波的傅立叶级数 解：在x(t)的一个周期中可表示为 常值分量 返 回 小 结 余弦分量

8、的幅值 正弦分量的幅值 返回说明 结果： 周期频谱特点 对于例1-1的小结 周期性三角波频谱，其幅频谱只包周期性三角波频谱，其幅频谱只包 含常值分量、基波、和奇次谐波的频含常值分量、基波、和奇次谐波的频 率率 分量，谐波的幅值以分量，谐波的幅值以1/n2的规律收的规律收 敛。在其相频谱中基波和各次谐波的敛。在其相频谱中基波和各次谐波的 初相位为均为零。初相位为均为零。 返 回 第二节、周期信号与离散频谱第二节、周期信号与离散频谱 傅立叶级数的物理意义 对任一以T为周期的波信号f(t)都可分解为一系列的简 谐波Xn(t)Ancos(n0t+n)之和。其中n1时的谐波称为基基 波波，其角频率0称为

9、基频基频。一般，n次谐波次谐波的角频率是基 频的n倍，振幅振幅An反映了角频率为n0的n次谐波在f(t)中所 占的比重;而n表示n次谐波沿时间轴移动的大小，称为相相 位位。 在工程技术上，一般把振幅An称为周期函数f(t)的频谱频谱， 振幅An与角频率n0的关系图称为频谱图频谱图。频谱图完全刻 画了波信号f(t)的频率特性，在工程技术中有广泛应用。若 把振幅An与角频率n0的关系记为An F(n 0)，由于n 1,2 所以频谱图是不连续的，称为离散频谱离散频谱。也就是 说，对周期函数周期函数有离散频谱离散频谱。另外把Cn的辐角主值n arg Cn称为离散相位频谱离散相位频谱。 n根据欧拉公式：

10、 有 傅立叶级数的三角函数展开式可改写为： 二、傅立叶级数傅立叶级数的复指数函数展开式 令 则 或 返 回 一般情况下cn 是复数 目录 依据欧拉公式： 一些分析 周期函数展开为傅立叶级数的复指数函数形式后，可分 别以幅值或相位与频率的关系作幅频谱图或相频谱图，幅频谱图或相频谱图，也可分 别以的实部或虚部与频率的关系作幅频图幅频图，并分别称为实频谱实频谱 图图和虚频谱图虚频谱图。 总结： 第二节、周期信号与离散频谱第二节、周期信号与离散频谱 把周期函数X（t）展开为傅立叶级数的复指数函数形 式后，可分别以和作幅频谱图和相频谱图；也可以的实部 或虚部与频率的关系作幅频图，分别称为实频谱图和虚频

11、谱图 例题1-2 画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。 解 ：根据式子 故余弦函数只有实频谱图，与纵轴偶对称 小结 正弦、余弦函数实、虚部频谱图正弦、余弦函数实、虚部频谱图 时域函数图形 正、余弦函数的傅氏变换 返 回 周期信号频谱的三大特点周期信号频谱的三大特点 q1）离散性离散性周期信号的频谱是离散的。 q2）谐波性谐波性每条谱线只出现在基波频率的整数倍 上，基波频率是诸分量频率的公约数。 q3）收敛性收敛性各频率分量的谱线高度表示该谐波的 幅值(或相位角)。工程中常见的周期信号常见的周期信号， 其谐波幅值的总趋势是随谐波次数的增高而 降低的。因此，在频谱分析中没必要考虑较 高阶次谐波成分

12、。 返 回 （参见No.15）举工程实例说明傅氏变换应用 三、周期信号的强度表述 周期信号的强度表述方式主要有四种： 1）峰值 峰值 是信号可能出现的最大瞬时值，即 峰-峰值 是一个周期中最大瞬时值和最小瞬时值之差 (测试系统) 2）绝对均值 （全波整流后的均值） 3）有效值（均方根值） 4）平均功率(有效值的平方) 第三节、瞬变非周期信号与连续频谱第三节、瞬变非周期信号与连续频谱 周期信号、非周期信号及其频谱的有关说明周期信号、非周期信号及其频谱的有关说明 n周期信号均可以展开成多项简谐信号之和，各分量频率之间存 在公约数，即基频，其信号分量即成为基波。因此其频谱是离 散的（参见周期性三角波

13、的频谱图）。 n反过来，简谐信号的叠加不一定就是周期信号，也就是说具有 离散频谱的信号不一定是周期信号。 1、各简谐信号频率比是有理数，则为周期信号周期信号 2、各简谐信号频率比不是有理数，虽不是周期信号，但如果 有离散频谱 如： 称为准周期信号准周期信号 3、各简谐信号频率比不是有理数，也没有离散频谱（具有连 续频谱），则为非周期信号非周期信号。我们所说的非周期信号通常 指瞬变非周期信号。 常见非周期信号示例常见非周期信号示例 X(t) t0 X(t) t 0 t X(t) 0 X(t) t 0 指数衰减信号矩形脉冲信号 衰减振荡信号单一脉冲信号 一、傅立叶变换 对于非周期信号的理解 周期信

14、号频谱谱线的频率间隔 ，当 周期T0 趋于无穷时，其频率间隔 趋于无穷小，谱线 无限靠近。频率变量连续取值以至离散谱线的顶点最后 变成一条连续曲线。所以非周期信号的频谱是连续非周期信号的频谱是连续 的的。 公式分析例 题 设有一个周期信号x(t)在区间 以傅立叶级数表示为 式中 将上边右式代入左式则得： 当 T0 趋于无穷时，频率间隔 成为 ，离散谱 中相邻的谱线紧靠在一起， 成为连续变量 ，求 和符号 就变为积分符号 ，则 d n 这就是傅立叶积分 我们由此也可以看到由具有离散频谱的周期信 号的傅立叶级数在周期T0趋向于无穷大时，而转变 成傅立叶积分。 其中上边的公式称为 x (t)的傅立叶

15、变换，而下式称为 X() 的傅立叶逆变换，两者称为傅立叶变换对，可记为 由 =2f ，则傅氏变换及其逆变换变为 关系是 一般X(f) 是实变量f 的复函数，可以写成 式中 为信号 的连续幅值谱, 为信 号 的连续相位谱。 公式简化后有 返 回 例题1-3 求矩形窗函数的频谱 常称为矩形窗函数，其频谱为 由 做简单变换以 代 替 ， 代入上边的W（f）则可以得到： 式中T称为窗宽，在工程应用中常用作激励信号 频 谱 sinc 矩形窗函数及其频谱矩形窗函数及其频谱 典型信号 熟悉傅立叶变换的性质的重要意义熟悉傅立叶变换的性质的重要意义 傅立叶变换将一个信号的时域描述转换为频域描述，傅立叶变换将一个

16、信号的时域描述转换为频域描述， 同时根据傅立叶变换对，又可以得到时域描述，因同时根据傅立叶变换对，又可以得到时域描述，因 此两种描述相互包含同样的信息量，存在一一对应此两种描述相互包含同样的信息量，存在一一对应 关系。因此我们了解了傅立叶变换的一些主要性质，关系。因此我们了解了傅立叶变换的一些主要性质， 对于简化我们的分析计算工作有重要意义。对于简化我们的分析计算工作有重要意义。 （一）、奇偶虚实性 一般X（f）是实变量 f 的复变函数. 余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数。若X（t）为实 偶函数或者为实奇函数，则 X（f）将会怎样？了解其 性质，减少不必要的计算！ （二）、对称性 若 则 证

17、明 以 t 代替 t 得 将 t 与 f 互换，即得X（t）的傅立叶变换为 所以 （三）、时间尺度改变特性 窗函数 特性举例 若 则 证明 （四）、时移与频移特性 若 则，时域: 频域: （五）、卷积特性 若 则 定义：两个函数 与 的卷积： 记为： （六）、微分和积分特性 若 可得 n矩形窗函数的频谱 n 函数及其频谱 n正、余弦函数 的频谱密度函数 n周期单位脉冲序列的频谱 三、几种典型信号的频谱分析 一、矩形窗函数及其频谱 公式： 频谱： 频谱 一、定义 二、 函数及其频谱 在时间内激发一个矩形脉冲 ，其面积为1。 当趋于0时， 的极限就称为函数，记做(t)。 函数称为单位脉冲函数。 (

18、t)的特点有： 从面积的角度来看,也称为函数的强度 二、 函数的采样性质 函数应用 三、 函数与其他函数的卷积特性 由此可见：x(t)函数和函数的卷积的结果，就 是在发生函数的坐标位置上简单地将x(t)重新 构图。 函数与函数x(t)的卷积 若函数有个时移，变为(tt0)时，其卷积为： 四、 函数的频谱 所有频段上等强度 “均匀谱” 又称为“白色谱”或“白噪声” 五、五、函数的相关傅立叶变换对函数的相关傅立叶变换对 (t)单位瞬时脉冲 1均匀频谱密度函数 1均匀频谱密度函数 (f)在f0处有脉冲谱线 (tt0)函数时移t0 e-j2ft0各频率成分分别 相移2ft0角角 e j2f0t 复指数函数 (ff0)将(f)频移到 f0 三、正、余弦函数的频谱密度函数 一、定义 正余弦函数的傅立叶变换如下： 频谱 一、定义 等间隔的周期单位脉冲序列常称为梳状函数梳状函数，并用 权且把它看做周期信号，则其傅立叶级数的复指数形式为： 四、周期单位脉冲序