混合中值 线性FIR滤波器

1、 XXXXX 2015.6.10 7.5 混合中值/线性 有限冲激响应滤波 Ll 和Ljl滤波的不足 Ll 和Ljl滤波利用了数据的排序特性和时序特性，但是有以下两点不足： 1、Ll 和Ljl滤波需要大量的滤波权重 2、Ll 和Ljl滤波的复杂度会随着观察窗尺寸N和参数j的变大而迅速 增加，这限制了实际滤波中所能实现的最小样本尺寸。 在考虑数据排序特性和时序特性的前提下，我们讨论其他滤波的实现 方法。 Median and FIR Affinity Trimming 这种方法结合了线性FIR滤波和L滤波的属性，通过更改截尾样本 利用了数据的排序特性和时序特性。 当离群值不存在时，截尾均值的效率

2、会大大降低。为此，Lee 和 Kassam在1985年引入了修正截尾均值（MTM）的概念，其基本思 想是先将与样本中值相差较大的样本舍弃，然后再取平均。 MTM位置估计： N i i N i ii q a Xa 1 1 (7.73) 其中 其它 ）（如果 0 1 1 qXMEDIANX a N jji i 这里的q是一个决定截尾程度的自定义参数。 和截尾均值一样，修正截尾均值是稳定估计，其可以用作相继平滑器。 (7.73)式有多种变形，双窗修正截尾均值（DW MTM）是其中的一种， 其采用两个有重叠的平滑窗。在这种情况下，最小平滑窗内的样本中值 被当作参考点。 (7.74) 另外一类(7.73

3、)式形式的平滑器不采用样本中值，而选用平滑窗内的中 间样本作为截尾参考点。 K最近邻平滑和sigma平滑就采用了上述截尾结构，它们的系数i： 其中，Xc 是观察窗内的中间样本，q是一个决定截尾程度的自定义参数。 这种结构能够很好地保留细节信息，但是对离群值和冲击噪声非常脆弱。 在有了修正截尾均值和K最近邻估计的概念之后，我们可以很自然地拓 展出这种样本既被截尾平均又被时间加权的滤波结构。在这种结构中， 数据的排序特性和时序特性均得到了利用。 (7.75) 其它 如果 0 1qXX a ci i Weighted Median Affine Filters Flaig等人在1998年提出Weig

4、hted Median Affine Filters的概念， 其基本思想是将加权中值作为截尾的参考点，样本依据他们的时间 顺序被加权平均。 定义7.6 在一个观测窗中给出含有N个观测值的集合X1 , X2 ,. . ., Xn ，含有N个实值相似度权重的集合C1 , C2 , . . . , Cn，含有N个 滤波权重的集合W1 , W2 , . . . , Wn，定义截尾参考值(n)为加权 中值： nnn XCCXCCMEDIANn)sgn(,.,)sgn()( 111 (7.76) 归一化的WM affine FIR filter被定义为： N i ii i XW nX gnKnY 1 )(

5、 )()( (7.77) 这里K(n)是归一化常数 函数g(.)衡量了第i个观测样本与加权中值(n)的相似度，其分布参数 是自定义的。 在(7.77)式的滤波结构中，每个观测量都被双重加权：第一，根据其可 靠性，通过g(.)加权；第二，根据其自然顺序，通过Wis加权。 1 1 )( )( N i i i nX gWnK WM affine estimates是基于可靠而有效的观测值的，考虑到它们的自然 顺序，这些观测值是可靠而有效的。那些不符合上述标准的观测值，对 估计结果产生的影响很小。 图7.7 相似度函数与样本Xi的位置以及分布 参数(n)、(n)的关系 相似度函数可以有多种形式，其中指

6、数距离是常用的一种： 2 2 )( exp )( nXnX g ii (7.78) 相似度函数衡量了样本偏离参考值(n)的程度。在不引起歧义的情况下， WM affine FIR filters简称为WM affine filters。 注意，总权重会随着观测值的变化而变化。因此，需要归一化常数K(n) 保证位置估计或低通滤波的无偏性。 相似度函数为滤波提供了灵活性。大的值强调了滤波的线性性质，而 小的值强调其顺序统计特性。 值得注意的是两种极限情况： 1、当趋于无穷时，相似度函数在整个区间内是常数，所有观测值仅 依据其自然顺序加权，WM affine estimate退化为归一化的线性FIR

7、 滤波。 2、当趋于0时，相似度函数是(n)处的脉冲，因此，权重Wi被舍弃 并且估计值等于加权中值(n)，这样： N i i N i ii W XW nY 1 1 )(lim (7.79) )()(lim 0 nnY (7.80) 若假设参考值等于样本中值，WM affine filter具有一个特别简单的形式， 其有效性已经在MTM滤波得到了证明。此时，这个估计被称为median affine filter。 图7.8 median affine filter的结构 中值化的线性FIR滤波 为了应用median affine filter，我们需要设计程序确定分布参数 和权重值Ci 、Wi。

8、 文献73中提出了一种梯度优化算法，这种自适应算法需要一个 理想的训练信号，在结构和复杂度上同最小均方算法类似。这种 算法在假定观测值固定的前提下，根据最小均方误差准测设计滤 波权重。 表7.3 Median Affine的自适应优化算法总结 由于时，median affine filter的性质类似于线性FIR滤波，因 此我们可以将的初始值设置得很大，以便利用线性滤波器设计方法 寻找median affine filter的系数Wis。 如果保持Wis恒定，一般情况下可以通过逐渐减小值提高滤波的稳 定性。 实际滤波过程中一般为固定值，由于这一过程强调了滤波的中值性 质而弱化了FIR滤波权重的

9、影响，这种设计方法称为线性FIR滤波的 中值化。 FIR affine L filter (7.74)式中的截尾相似度函数可以被用于L滤波框架。在这种情况 下，相似度函数可以衡量顺序统计量到那个被定义为FIR估计参考 点的距离。 定义7.7 考虑观测值X1, X2, . . . , XN和其相应的顺序统计量X(1), X(2) , . . . , X(N)。给定一个含有N个契合度权重C1 , C2, . . . , CN的 集合，含有N个滤波权重W1 , W2 , . . . , WN的集合，截尾参考值 (n)是FIR滤波器的输出(n)= 。归一化的FIR affine L filter 定义

10、为： N i ii i XW nX gnKnY 1 )( )( )( )()( (7.81) N i 1 iiX C 这里K(n)是归一化常数 函数g(.)衡量了第i个顺序统计量X(i)与FIR的输出参考值(n)的相似度， 其分布参数是自定义的。 在不引起歧义的情况下，FIR affine L filter简称为FIR affine filter。 FIR affine filter给顺序统计量加权时首先考虑它们与(n)的相似度，其 次考虑它们的排序特性。这种估计主要基于那些既和(n)相近又由于 排序特性而有效的顺序统计量。 1 1 )( )( )( N i i i nX gWnK 和WM a

11、ffine filter类似，FIR affine filter在取极限的情况下也有简化 形式，即 和 因此，在0时，FIR affine filter退化为系数为Ci的FIR滤波；在 时，FIR affine filter退化为系数为Wi的归一化L滤波。 N i i N i ii W XW nY 1 1 )( )(lim i N i iX CnY 1 0 )(lim (7.84) (7.83) 当系数Ci 取合适的值，使得顺序统计量和中间的观测样本相关时，FIR affine filter会出现一种特殊形式，我们称之为center affine filter。 实例7.4：DWD干扰项的消除

12、 魏格纳分布 (WD)： detxtxftDW fj x 2* 22 , 两个信号之和的魏格纳分布 ： ftDWftDWftDWftDW yyxxyx , , Re2, , , 交叉（干扰）项定义为 ： - 2* , 22 , detytxftDW fj yx 干扰项会引起高频振荡。用一个平滑器可以抑制这种振荡，但通常 会产生下列三种效果： 1、干扰项被部分抑制，这是我们希望的； 2、信号发生展宽，这是我们不想要的； 3、失去WD的某些数学性质，有些时候这是我们不希望的。 所谓DWD就是离散魏格纳分布。对于DWD，我们应该选择一个滤波既 能实现效果1，又能避免效果2（有要求时还能避免效果3）的

13、滤波结构。 考虑刚才所提到的center affine filter，具体要求就是：当观测窗在干扰 项区域时，输出等于0；当观测窗在平方项区域时，输出等于中间样本。 为了达到这个要求，上述滤波结构应该做到： 1、利用高斯相似度函数计算样本的相似度； 2、用样本的实际值代替绝对值，参考值选作中间样本的绝对值。 3、参数与局部方差成比例。 由于干扰项区域内样本可正可负，平方项区域内样本恒为正值，所以在 干扰项区域内的值较大，在平方项区域内的值较小。 2100 )27( 40,15 )0048. 0154. 0(2 1281 2 2 )()( njn nnj n eenrenrX ， 考虑一个长度为

14、128，由高斯脉冲和抛物线型调制 信号组合而成的试验信号Xn： 其中，ra,b是一个门函数： 其他 ， , 0 1 , bna r ba 左图中，(a)是这个DWD信号的原型；(b)是经过 13点高斯时域平滑和31点高斯频域平滑后的DWD 信号，信号在时域和频域上得到了平滑，但是信 号定位上变得模糊；(c)是Choi-Williams在1989年 提出的分布，他给定信号的核宽度=1，这种方法 在去除了干扰项的同时还减小了信号定位的误差。 我们还有一个目标就是如何使信号在时域和频域 中变得更突出。 左图中，(a)是 Baraniuk和Jones在1993年给出的 利用径向高斯核设计的分布，这种方

15、法不能平滑 抛物线型信号；(b)是Baraniuk和Jones在1995年 给出的利用自适应径向高斯核设计的分布，这种 方法能够平滑抛物线型信号，但是损失了一些位 置信息；(c)是center affine filter给出的结果，可 以看出center affine filter既消除了干扰项又没有 损失位置信息。 实例7.5：ISAR图像的去噪 为了加深对center affine filter的理解，我们考虑ISAR的图像。 ISAR图像是目标的反射率函数在距离多普勒平面上的映射，由 于杂波噪声很强，从雷达回波中识别出目标一般来说很困难。因此， 我们希望从雷达回波中去除那些非高斯的冲击噪声。 下面用一幅雷达图像，比较了center