课题25　矩形、菱形

1、栏目索引 课题课题2525矩形、菱形矩形、菱形 栏目索引总纲目录 基础基础知识梳理知识梳理 考点一 矩形的性质与判定 考点二 菱形的性质与判定 栏目索引总纲目录 中考题型突破中考题型突破 题型一 考查矩形的性质与判定 题型二 考查菱形的性质与判定 题型三 综合运用矩形、菱形的性质与判定 栏目索引总纲目录 易错一 对矩形的判定定理没有充分理解 易错二 不能灵活运用菱形的判定定理 易错三 对问题考虑不全面导致漏解 易混易错突破易混易错突破 栏目索引河北考情探究 考点年份题号分值考查方式 1.矩形的性质与判定20182410以解答题的形式,以一次函数的综合性 问题为载体,考查矩形的性质 201718

2、3以填空题的形式,与尺规作图等知识相 结合考查矩形的性质 201663以选择题的形式,与平行四边形相结合 考查矩形的判定 2.菱形的性质与判定201793以选择题的形式,与平行四边形相结合 考查菱形的性质 201663以选择题的形式,与平行四边形相结合 考查菱形的判定 3.正方形的性质与判定2018122以选择题的形式,与代数式的知识相结 合,考查正方形的知识 2017112以选择题的形式,与三角形相结合考查 正方形的性质 2017162以选择题的形式,与正六边形相结合考 查正方形的内角和 201663以选择题的形式,与平行四边形相结合 考查正方形的判定 河北考情探究 栏目索引河北考情探究 备

3、考策略:1.纵观近几年河北省中考试题,对矩形、菱形的考查,选择题、填空题、解答题都有出现,以选择题居多,在解答题中多与其他知识(锐角三角函数、圆、函数等)综合考查,涉及面广,所以要熟练 掌握矩形、菱形的性质与判定,理解矩形、菱形之间的关系,培养学生分析问题、解决问题的能力. 2.预计2019年河北中考试题与矩形、菱形内容相关的题型比较灵活,综合性较强,比如结合其他几何图形、函数等知识,解决一些开放性的问题,侧重对解题能力的考查. 栏目索引基础知识梳理 考点一矩形的性质与判定考点一矩形的性质与判定 基础知识梳理 1.矩形的性质:因为矩形是特殊的平行四边形,所以矩形具有平行四边形的所 有性质,另外

4、矩形还具有下列性质: (1)边:矩形的对边平行且相等,邻边互相垂直. (2)角:矩形的四个角都是直角. (3)对角线:矩形的对角线互相平分且相等. (4)对称性:矩形既是轴对称图形又是中心对称图形. (5)面积计算:S=ab(a、b分别表示矩形的长和宽). 栏目索引基础知识梳理 2.矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形. (2)有三个角是直角的四边形是矩形. (3)对角线相等的平行四边形是矩形. 温馨提示矩形的前两个判定条件都是根据角的特征判定,但这两个判定 条件面对的对象不同,其中(1)是平行四边形,(2)是四边形,在应用时要注意区 分. 栏目索引基础知识梳理 1.菱形的性质:

5、因为菱形是特殊的平行四边形,所以菱形具有平行四边形的所 有性质,另外菱形还具有下列性质: (1)边:菱形的对边平行,四条边都相等. (2)角:菱形的对角相等. (3)对角线:菱形的对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角. (4)对称性:菱形既是轴对称图形又是中心对称图形. (5)面积计算:S=l1l2(l1、l2分别表示菱形两对角线的长),S=ah(a、h分别表 示菱形的一边长和这条边上的高). 1 2 考点二菱形的性质与判定考点二菱形的性质与判定 栏目索引基础知识梳理 2.菱形的判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)四条边都相等的四边形是菱形. (3)对角线互相垂直的平行

6、四边形是菱形. 栏目索引中考题型突破 题型一考查矩形的性质与判定题型一考查矩形的性质与判定 该题型主要考查矩形的性质与判定,主要内容包括利用矩形的性质进行计算 或推理,根据已知条件判定某个四边形是矩形,利用矩形的性质解决实际问题 等. 中考题型突破 栏目索引中考题型突破 典例典例1 (2018广西玉林中考)如图, ABCD中,DCAD,四个角的平分线AE, DE,BF,CF的交点分别是E,F,过点E,F分别作DC与AB间的垂线MM与NN, 在DC与AB上的垂足分别是M,N与M,N,连接EF. (1)求证:四边形EFNM是矩形; (2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF的长. 栏目索引中

7、考题型突破 答案答案(1)证明:过点E,F分别作AD,BC的垂线,垂足分别是G,H,如图所示. 3=4,1=2,EGAD,EMCD,EMAB, EG=EM,EG=EM. EG=EM=EM=MM. 同理可证:FH=FN=FN=NN. 1 2 1 2 栏目索引中考题型突破 CDAB,MMCD,NNCD, MM=NN, EM=FN=EG=FH. 又MMNN,MMCD, 四边形EFNM是矩形. (2)DCAB,ADC+DAB=180. 3=ADC,2=DAB, 3+2=90,AED=90. 1 2 1 2 栏目索引中考题型突破 在RtDEA中,AE=4,DE=3, AD=5. 四边形ABCD是平行四边

8、形, DAB=DCB. 又2=DAB,5=DCB,2=5. 由(1)知,GE=NF. 在GEA和NFC中, 22 AEED 22 34 1 2 1 2 栏目索引中考题型突破 GEA NFC(AAS), AG=CN. 在RtDME和RtDGE中, RtDME RtDGE(HL). DM=DG. 25, EGANFC90 , GENF, DEDE, MEGE, 栏目索引中考题型突破 DM+CN=DG+AG=AD=5, MN=CD-DM-CN=9-5=4. 四边形EFNM是矩形, EF=MN=4. 栏目索引中考题型突破 名师点拨名师点拨本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定、角平分线的性 质、勾股定

9、理及三角形全等的判定.题目综合性较强,需认真分析.如在(1)中, 要说明四边形EFNM是矩形,已经有MECD,FNCD的条件,还缺ME=FN. 过点E,F分别作AD,BC的垂线,垂足分别是G,H.利用角平分线上的点到角两 边的距离相等可得结论. 栏目索引中考题型突破 变式训练变式训练1 (2018石家庄模拟)在 ABCD中,BECD于点E,点F在AB上,且 AF=CE,连接DF. (1)求证:四边形BEDF是矩形; (2)连接CF,若CF平分BCD,且CE=3,BE=4,求矩形BEDF的面积. 栏目索引中考题型突破 答案答案(1)证明:四边形ABCD是平行四边形, AB=CD,ABCD. AF

10、=CE,AB-AF=CD-CE, 即BF=DE, 四边形BEDF是平行四边形. 又BECD,BED=90, 平行四边形BEDF是矩形. 栏目索引中考题型突破 (2)CF平分BCD, BCF=DCF. ABCD, BFC=DCF. BCF=BFC, BC=BF. 在RtBCE中,BC=5, BC=BF=5. S矩形BEDF=BFBE=54=20. 22 BEEC 22 34 栏目索引中考题型突破 题型二考查菱形的性质与判定题型二考查菱形的性质与判定 该题型主要考查菱形的性质与判定,主要内容包括利用菱形的性质进行计算 或推理,根据已知条件判定某个四边形是菱形,利用菱形的性质解决实际问题 等. 栏目

11、索引中考题型突破 典例典例2如图, ABCD中,AB=2,AD=1,ADC=60,将 ABCD沿过点A的直 线l折叠,使点D落到AB边上的点D处,折痕交CD边于点E. (1)求证:四边形BCED是菱形; (2)若点P是直线l上的一个动点,请计算PD+PB的最小值. 栏目索引中考题型突破 答案答案(1)证明:根据折叠的性质,得DAE=DAE,DEA=DEA, D=ADE. DEAD,DEA=DAE. DAE=DAE=DEA=DEA, DAD=DED, 四边形DADE是平行四边形,DE=AD. 四边形ABCD是平行四边形, AB=DC,ABDC, CE=DB,CEDB, 栏目索引中考题型突破 四边

12、形BCED是平行四边形. AB=2,AD=1. AD=BD=1, 又BC=AD=1, BC=BD. 四边形BCED是菱形. (2)易知四边形DADE是菱形,点D与点D关于直线AE对称,连接BD交AE于点 P,则BD的长即为PD+PB的最小值. 过点D作DGBA,交BA的延长线于点G. 栏目索引中考题型突破 CDAB, DAG=CDA=60. 在RtAGD中, AD=1,AG=ADcosDAG=,DG=ADsinDAG=, BG=AB+AG=. BD= =. 1 2 3 2 5 2 22 DGBG 2 2 35 22 7 栏目索引中考题型突破 PD+PB的最小值为. 7 栏目索引中考题型突破 名

13、师点拨名师点拨 (1)判定特殊平行四边形的一般方法,即欲证某个四边形是菱形, 先证明该四边形是平行四边形,再根据已知条件与菱形的判定方法证明其是 菱形,思路:利用折叠的特点与平行线的性质得出DAE=DAE=DEA= DEA,进而利用平行四边形的判定方法得出四边形DADE是平行四边形,进 而得出四边形BCED是平行四边形,然后根据一组邻边相等得到结论;(2)的切 入点是先确定当点P在何位置时,PD+PB的值最小,根据对称性与“两点之间 线段最短”可知,当点B,D,P在同一条直线上时,PD+PB的值最小,然后利用勾 股定理求线段BD的长,即可求出最小值. 栏目索引中考题型突破 变式训练变式训练2(

14、2018广西柳州中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相 交于点O,且AB=2. (1)求菱形ABCD的周长; (2)若AC=2,求BD的长. 栏目索引中考题型突破 答案答案(1)四边形ABCD是菱形,AB=2, 菱形ABCD的周长=24=8. (2)四边形ABCD是菱形,AC=2,AB=2, ACBD,AO=1, BO=. BD=2. 22 ABOA 22 213 3 栏目索引中考题型突破 题型三综合运用矩形、菱形的性质与判定题型三综合运用矩形、菱形的性质与判定 该题型综合运用矩形、菱形的性质与判定,或以矩形为已知条件考查菱形的 判定,或以菱形为已知条件考查矩形的判定,题目的综合

15、性较强,难度较大. 栏目索引中考题型突破 典例典例3如图,AC是矩形ABCD的对角线,过AC的中点O作EFAC,交BC于点 E,交AD于点F,连接AE,CF. (1)求证:四边形AECF是菱形; (2)若AB=,DCF=30,求四边形AECF的面积.(结果保留根号) 3 栏目索引中考题型突破 答案答案(1)证明:O是AC的中点,且EFAC, AF=CF,AE=CE,OA=OC. 四边形ABCD是矩形,ADBC,AFO=CEO. 在AOF和COE中, AOF COE(AAS), AF=CE,AF=CF=CE=AE, 四边形AECF是菱形. AFOCEO, AOFCOE, OAOC, 栏目索引中考

16、题型突破 (2)四边形ABCD是矩形, CD=AB=. 在RtCDF中,CF=2. 四边形AECF是菱形, CE=CF=2, 四边形AECF的面积为CEAB=2. 3 CD DCFcos 3 30cos 3 栏目索引中考题型突破 名师点拨名师点拨(1)因为EFAC且交点O为AC中点,所以根据线段垂直平分线的 性质,可得AF=CF,AE=CE,然后由四边形ABCD是矩形,证得AOF COE, 可得AF=CE,进而根据“四条边相等的四边形是菱形”即可证得结论;(2)由 四边形ABCD是矩形,求得CD的长,然后结合三角函数求得CF的长,进而求得 四边形的面积. 栏目索引中考题型突破 变式训练变式训练

17、3(2017保定徐水模拟)如图,已知E、F、G、H分别为菱形ABCD 四条边上的中点,AB=6cm,ABC=60,则四边形EFGH的面积为9cm2. 3 解析解析连接AC,BD,AC与BD相交于点O,如图所示. E、F、G、H分别是菱形四条边上的中点, EH=BD=FG,EHBDFG,EF=AC,EFAC, 1 2 1 2 栏目索引中考题型突破 四边形EHGF是平行四边形. 四边形ABCD是菱形,ACBD, EFFG, 四边形EFGH是矩形. 四边形ABCD是菱形,ABC=60, ABO=30. ACBD,AOB=90, OA=AB=3cm,AC=6cm. 1 2 栏目索引中考题型突破 在Rt

18、AOB中,由勾股定理得OB=3(cm), BD=6cm. EH=BD,EF=AC, EH=3cm,EF=3cm, 矩形EFGH的面积=EFEH=9cm2. 22 ABAO 22 633 3 1 2 1 2 3 3 栏目索引易混易错突破 易错一对矩形的判定定理没有充分理解易错一对矩形的判定定理没有充分理解 易混易错突破 典例典例1 (2017上海中考)已知平行四边形ABCD,AC,BD是它的两条对角线,那 么下列条件中,能判定这个平行四边形为矩形的是(C) A.BAC=DCAB.BAC=DAC C.BAC=ABDD.BAC=ADB 栏目索引易混易错突破 易错警示易错警示 本题的易错之处是推理方向

19、不明确,从而导致推理混乱,实际上, 由于本题已知四边形ABCD是平行四边形,并且各选项都给出两角相等的条 件,因此推理的方向是设法说明平行四边形ABCD的一组邻边垂直或两条对 角线相等,明确了这个方向,推理时即可有的放矢. 栏目索引易混易错突破 解析解析如图,设AC与BD交于点O. 四边形ABCD为平行四边形, OA=OC,OB=OD. 当BAC=ABD时,OA=OB, AC=BD, ABCD为矩形.故选C. 答案答案 C 栏目索引易混易错突破 易错二不能灵活运用菱形的判定定理易错二不能灵活运用菱形的判定定理 典例典例2下列结论:对角线互相垂直的四边形是菱形;对角线互相垂直且 平分的四边形是菱

20、形;一条对角线垂直且平分另一条对角线的四边形是菱 形;对角线垂直且相等的四边形是菱形;一组邻边相等的四边形是菱形; 一组邻边相等且两组对边互相平行的四边形是菱形.其中,正确的有(B) A.1个B.2个C.3个D.4个 易错警示此类问题容易出现的错误是不能结合平行四边形的判定定理灵 活运用菱形的判定定理. 栏目索引易混易错突破 解析解析本题可利用举反例的方法进行判断,如根据图甲、乙、丙、丁可分别 知错误;根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”与“两条 对角线互相垂直的平行四边形是菱形”,可知正确;根据“两组对边互相平 行的四边形是平行四边形”与菱形的定义,可知正确. 答案答案 B 栏目索引易

21、混易错突破 易错三对问题考虑不全面导致漏解易错三对问题考虑不全面导致漏解 典例典例3菱形ABCD的一条对角线的长为6,边AB的长是方程x2-7x+12=0的一 个根,则菱形ABCD的周长为(A) A.16B.12 C.12或16D.无法确定 栏目索引易混易错突破 易错警示易错警示本题容易出现两类错误,一是盲目进行分类讨论,误认为菱形的边 长有两种情况,由此误选C;二是不会根据组成三角形的条件对解方程所得的 解进行正确的取舍,由此出现误选B的错误. 解析解析解方程x2-7x+12=0,得x1=3,x2=4. 当x=3时,因为对角线6和菱形的两边3,3不能组成三角形,所以不符合题意,舍 去; 当x

22、=4时,由菱形的一条对角线6和菱形的两边4,4能组成三角形,符合题意,此 时,菱形的周长为44=16. 答案答案 A 栏目索引随堂巩固检测 1.如图,在矩形ABCD中,ABBC,AC,BD相交于点O,则图中等腰三角形的个数 是(C) A.8B.6C.4D.2 随堂巩固检测 栏目索引随堂巩固检测 2.下列命题中的真命题是(C) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 栏目索引随堂巩固检测 3.如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点,要 使四边形EFGH是菱形,则四边形ABCD只需要满足一个条件,这个条件是 (D) A.四边形ABCD是梯形B.四边形ABCD是菱形 C.AC=BDD.AD=BC 栏目索引随堂巩固检测 4.如图,在矩形ABCD中,边AB的长为3,点E,F分别在AD,BC上,连接BE,DF,EF,