微分几何习题解答

1、第一章 曲线论 2 向量函数5.向量函数r(t)具有固定方向的充要条件是r(t) X r(t)= 0。分析：一个向量函数r (t) 一般可以写成r (t)= (t) e(t)的形式，其中e(t)为单位向 量函数， 为数量函数，那么r(t)具有固定方向的充要条件是e(t)具有固定方向， 即e(t)为常向量，(因为e(t)的长度固定)。证 对于向量函数r (t)，设e(t)为其单位向量，则r(t) = (t) e(t)，若r(t)具有固 定方向，则e(t)为常向量，那么r(t)= (t) e ，所以r x r= ( e x e) =0。反之，若 r x r = 0，对 r(t)= (t) e(t)

2、求微商得 r= e + e，于是 r xr = 2 ( e x e) =0，则有 =o 或e x e =0。当(t) = 0 时，r (t) = 0可与任意方 向平行；当 o 时，有e x e=0，而(e x e )2=e2e2-( e e )2 = e2，(因为 e 具有固定长，e e= 0)，所以e = 0，即e为常向量。所以，r(t)具有固定方向。6.向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是(r rr) =0。分析：向量函数r(t)平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量n(t)，使r (t) n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n及n与r，r的关系。证若r(t)平行于一固定平面n,

3、设n是平面n的一个单位法向量，则n为常向 量，且r (t) n = 0 两次求微商得r n = 0，r n = 0，即向量r， r， r 垂直于同一非零向量n，因而共面，即(r rr) =0。反之,若(r r r) =0，则有r x r = 0或r x r0。若r x r = 0，由上题知r(t)具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r X r 0，则存在数量函数(t)、(t)，使 r= r + r令n = r x r，则n o，且r(t)丄n(t)。对n=r x r求微商并将式代入得n = r x r=(r x r) = n ,于是n x n = 0 ,由上题知n有固定方向，而r (t)丄n

4、 ,即r (t)平行于固定平面 3曲线的概念1 .求圆柱螺线x =cost , y=sint , z = t在(1,0,0 )的切线和法平面。解 令 cost =1, si nt=O, t =0 得 t =0, r (0)= - si nt , cost, 1| t 0 =0,1,1, 曲线在(0,1,1)的切线为 ZJ y z ，法平面为y + z = 0。0 1 12 .求三次曲线r at, bt2, ct3在点t的切线和法平面。r(t)a,2bt,3ct2，切线为x at0ay bt22bt。3z Ct。2 ，3ct。法平面为a(x at) 2bt(y bt；) 3ct：(z ct；)

5、0。3.证明圆柱螺线r = a cos ,a sin , b ()的切线和z轴作固定角。证明 r= -a sin ,a cos , b ,设切线与 z轴夹角为，则cosrk为常数，故 为定角(其中k为z轴的单位向量)。|r |e|a2 b24.求悬链线 r = t ， a cosh |(-t)从t =0起计算的弧长。解r =1 ， sinh| ， | r1 =.1 sinh2 a = cosh* ，cosh adta sinh |oa9 求曲线x3 3a2y,2xz a2在平面y 3 与y = 9a之间的弧长。32解 曲线的向量表示为r = x,-，,曲面与两平面y 3与y = 9a的交3a

6、2x2214422点分别为 x=a 与 x=3a , r = ，丹，I r=1 ：4 ：4 =話 却，3a x2 a2所求弧长为s (笃 一 )dx 9aa a 2x10.将圆柱螺线r =a cost , asint , bt化为自然参数表示。tI qq解 r = - asi nt, acost, b , s = |r|dt .a2 b2t，所以 t 0va2 b2代入原万程得r =a cos a/，aa2/，爲2邑b2 11.求用极坐标方程（）给出的曲线的弧长表达式。解 由 x ( ) cos , y ( )sin 知 r =( ) cos -( )sin()sin + ( )cos , |

7、 r | = ., 2( )2 ()，从。到 的曲线的弧长是s=、2 (一)2 ( ) d 。0 4空间曲线1. 求圆柱螺线x=acost , y=asint , z = bt在任意点的密切平面的方程。解 r = - asint , acost, b, r=- acost，- asint , 0 所以曲线在任意点的密切平面的方程为x a cost y asin t z bta sin ta costa costa sin t=0 ，即(bsint )x-( b cost )y+ az- abt=0 .2. 求曲线r = t sint,tcost,tet 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、

8、主法线、副法线。解 原点对应 t=0 , r(0)= sin t+t cost, cost - t s in t , et+t ett 0 =0,1,1,r(0) 2 cost+ t cost, cost - t sint, 2et +t et t 0 = 2,0,2,所以切线方程是xy-，法面方程是y + z - 0011xy z密切平面方程是01 1=0，即 x+y-z=0 ,20 2主法线的方程是xyz 0 即x y z -y z0 2 1 1从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1十二i3. 证明圆柱螺线x =acost， y =asint， z = bt的主法线和z轴垂直相交。

9、 证 r = - as in t , acost, b, r=- acost，- asi nt , 0 ,由 r丄 r知 r为主法线的方向向量，而r k 0所以主法线与z轴垂直；主法线方程是x acost y asint z btcostsi nt0与z轴有公共点(o,o,bt)。故圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交。sin t , z = tsin的副法线的正向取单4. 在曲线 x = cos cost ,y = cos 位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。解 r = - cossint,cos cost, sinr= -coscost,- cos sint ,r r|r r|sinsin t

10、，- sincost , cos 新曲线的方程为r = cos cos cost + sinsint , cos sint- sincost , tsin +sin = sin(-t), cos(-t), sin,r= -cos( -t), sin(-t),0其密切平面的万程是x cos a costy cos a si ntz t sin asin(a t)cos(at)sin a0cos(a t)sin (at)0即 sinsi n(t-)x sincos(t-)y+ ztsin cos=0 .5 证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点。证方法一：设一曲线为一球面曲线，取

11、球心为坐标原点，则曲线的向径r(t)具有固定长，所以r r = 0，即曲线每一点的切线与其向径垂直，因此曲线在每一点的法平 面通过这点的向径，也就通过其始点球心。若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则r r = 0，r(t)具有固定长，对应的曲线是球面曲线。方法二：r r(t)是球面曲线存在定点ro (是球面中心的径矢)和常数 R (是球面的半径)使(r ro )2 R22(r r0) r 0，即(；0) ； 0(*)r rr r r而过曲线r r(t)上任一点的法平面方程为(r) r 0。可知法平面过球面 中心 (*)成立。所以，曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有

12、法平面通过一定点。6. 证明过原点平行于圆柱螺线r =a cost，asint，bt的副法线的直线轨迹 是锥面 a2 (x2 y2) bz2.证 r = - a si nt , a cost , r =- a cost，- a si nt , 0 ， r xr= a bsint,bcost, a为副法线的方向向量，过原点平行于副法线的直线的方程 是一X- Z，消去参数t得a2(x2 y2) bz2。bsi ntbcost a7. 求以下曲面的曲率和挠率 r a cosh t, asinht,at, r a(3t t),3at2,a(3t t)(a0)。解 r as in ht,acosht,a

13、 , r acosht,as in h t,0 , r asi nh t,cosht,0,r r a sinh t, cosht, 1，所以 k|r r|r|3一 2a2 cosht(、2a cosht)312a cosh21(r,r,r)a2242(r r) 2a cosh t122a cosh t r 3a1 t2,2t,1t2,r 6at,1,t, r 6a1,0,1r x r=18a2t2 1, 2t,t2|r r|18a2 . 2(t2|r|327a22 2(t2 1)1)313a (t21)2(r,r,r)(r r)218 6a322182a42(t21)213a(t21)2。曲率

14、和挠率;8 .已知曲线r cos31, sin3t,cos2t，求基本向量验证伏雷内公式。分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本 向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。解 r 3 cos21 si n t,3si n 21 cost, 2 si n 2t si n t cos t 3cost,3si nt, 4,ds|r(t) dt(| 5sin tcost,(设 sintcost0 ),贝Ur3, 3,cost, sint,|r|552,? ddt133? si nt, cost,0,? sint,cost,0 ,dtds 5 sin t cost 55| |

15、 cost, si nt, ,55534? k |, si nt, cost,0，由于 与 方25s in t cost25s in t cost向相反，所以I I 25sint cost4显然以上所得,k ,满足 k ,1 cost, sin t,05 sin t cost也满足伏雷内公式。9. 证明如果曲线的所有切线都经过一的定点，贝吐匕曲线是直线。证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r = r(t)，则曲线在任意点的切线方程是r(t) r(t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t) r(t)，可见r / r，所以r具有固定方向，故r = r(t)是直线。方法二：取定点为坐

16、标原点建坐标系，曲线的方程设为1 = r(t)，则曲线在任意点的 切线方程是r(t) r(t)，由条件切线都过坐标原点，所以r(t) r(t)，于是r=r，从而r x r = 0，所以由曲率的计算公式知曲率k =0,所以曲线为直线。 方法二：设定点为L，曲线的方程为r = r(s)，则曲线在任意点的切线方程是r r(s)r(s)，由条件切线都过定点，所以ro r(s) (s)，两端求导得：rrrrr rr r(s)(s)，即(1) (s)0，而(s), (s)无关，所以 10，可知 0,(s)0,因此曲线是直线。10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点，则此曲线是平面曲线。证 方法一：

17、取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r = r(t)，则曲线在任意点的密切平面的方程是(r(t) (r(t) r(t)0，由条件r(t) (r(t) r(t)0，即(r r r) =0,所以 r 平行于一固定平面，即 r = r (t)是平面曲线。方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r = r(s)，贝U曲线在任意点的密切平面方程是(r(s)0，由条件r(s) 0,两边微分并用伏雷内?r公式得 r(s) 0。若r(s) 0,又由r(s) 0可知r(s) / r(s),所以r = r(s)平行于固定方向，这时r = r(s)表示直线,结论成立。否则 0,从而知曲线是 平面曲线。方

18、法三：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为r = r(t),则曲线在任意点的密切平面方程是(r(t) (r(t) r(t)0 ,由条件 r(t) (r(t) r(t)0 ,即(r rr) =0,所以r , r , r共面，若r / r，则r = r(t)是直线，否则可设 r r r, r r r，所以F,八,八共面，所以0，从而知曲线是平面曲线。11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e ,那么曲线是直线或平面曲线。?证方法一：根据已知e 0，若 是常向量，则k=| |=0，这时曲线是直线。?否则在 e 0两边微分得 e = 0,即k e = o ,所以 e = o,又因 e 0 ,

19、?所以/ e，而 为单位向量，所以可知为常向量，于是| | | | 0，即 0,此曲线为平面曲线。方法二：曲线的方程设为r = r(t),由条件r e = 0,两边微分得r e = 0, r e = 0,所以r,r, r共面，所以(rrr )=0。由挠率的计算公式可知 0,故曲线为平面曲线。当r x r = 0时是直线。方法三：曲线的方程设为r = r (t),由条件r e = 0,两边积分得(p是常数)。因r e p是平面的方程，说明曲线r = r(t)在平面上，即曲线是平面曲线， 当r有固定方向时为直线。12. 证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线。证明 设曲线(C

20、)： r = r(s)的曲率k为常数,其曲率中心的轨迹(C )的方程)kk13.证明曲线,（为曲线（C）的主法向量），对于曲线（C）两边微分得, 分别为曲线（C）的单位切向量，副法IIIk3_己，曲线（C）的曲率为为常数。x=1+3t+2t2,y=2-2t+5 t2,z=1-t2为平面曲线，并求出它所在的平面方程。证 r=3+4t,-2 +10t,-2t,r=4 , 10, - 2 ,r =o, 0, 0曲线的挠率是册J 0，所以曲线为平面曲线。曲线所在平面是曲线在任点的密切平面。对于t =0 , r = i , 2 , 1, r =3, - 2 , 0 ,r=4 , 10, - 2 ,x 1

21、r = 0, 0,0。所以曲线的密切平面，即曲线所在平面是34y 2 z 12 0 010 2即 2x+3y+19z 27=0.14设在两条曲线r、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的切线平行，证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行。证 设曲线r： r =r（s）与一 ：F p（s）点S与s 对应，且对应点的切线平行，则（s）=（S）,两端对s求微商得-dsds即 k (s)dsk (s)ds ,(这里 kds若k=|=0,则 无定义），所以/，即主法线平行，那么两曲线的副法线也平行。15.设在两条曲线r、的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应点的主法线平行，证明它们在对应点的

22、切线作固定角0,证设，分别为曲线r、一的切向量,分别为曲线r、一的主法向量，则由已知 (s)(s)，而(_)dsk 一 k (S)dS 将式代入 k ()竺 0。所以dsds量曲线的切线作固定角。-ds =ds=常数，故16.若曲线r的主法线是曲线的副法线r的曲率、挠率分别为。求证k= o( 2+ 2),其中为常数证设r的向量表示为r =r(s)，则可表示为=r(s) + (s) (s)，的切向量+(-k +)与垂直，即_ 0,所以为常数，设为0，则_(1-0 k)+ 0。再求微商有0 k + (1 0 k) k +_(10 k) k 00,所以有 k= 0( 2+ 2)。17.曲线 r =a

23、(t-sint),a(1-cost),4acos-在那点的曲率半径最大。2解 r = a1-cost,sint,-2sinr = as in t,cost,-cos,2吧,2sin2|cos|,4a2仇亡佃咱吨1,| r x r1=2a2sin2t.2, k V2|r|31t,R 8a | sin | , t128a|sin |2所以在t=(2k+1)k为整数处曲率半径最大。18.已知曲线(C) C3 : r r (s)上一点r (s0)的邻近一点r(s0s),求|r| 2、2|sin才I，2 fr x r =a r(s0s)点到r(s0)点的密切平面、法平面、从切平面的距离(设点r(s0)的

24、曲率、挠率分别为0, 0)解r(ss)r (s)二 r(s0)s ；r(s)213s2r(S0) s3 二23!10 s 0230 s+ 6( k；0 k00 0 0 0)s3，设102030 ，其中lims 00。贝U r (ss)-r(s0)=s 7(201) s3 07 0s( 02) s3 013(0 03) s3 06 2 6 6上式中的三个系数的绝对值分别是点r(so s)到r(s。)的法平面、从切平面、 密切平面的距离。 5 一般螺线5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线，那么它是平面直线.证法一：当曲线的密切平面垂直于某固定直线时，曲线的副法向量 是常向量.即=0。曲线的挠率

25、的绝对值等于|为零，所以曲线为平面曲线。证法二：设n是固定直线一向量，则r n=0 ,积分得r n = p ,说明曲线在 以n为法向量的一个平面上，因而为平面直线。证法三：设n是固定直线一向量，则r n=0，再微分得r n=0 , r n=0。所以r、r、r三向量共面，于是(rrr) = 0 ,由挠率的计算公式知 =0, 因此曲线为平面曲线。7如果两曲线在对应点有公共的副法线，则它们是平面曲线。证设一曲线为r： r = r(s)，则另一曲线 的表达式为：r (s)(s) (s)，(s)为曲线r在点s的主法向量，也应为在对应点的副法线的方向向量。=+ 与正交，即 =0,于是 =o,为常数。=,=k ( k +)也与正交，即= -2=0,而 0,所以有 =0,曲线r为平面曲线。同理曲线为平面曲线。8. 如果曲线r： r = r(s)为一般螺线,r、为r的切向量和主法向量，R为r的曲率半径。证明：=Rr ds也是一般螺线。证 因为r为一般螺线，所以存在一非零常向量e使r与e成固定角，对于曲线,其切向量=R RR与r共线,因此也与非零常向量e成固定角,所以也为一般螺线9证明曲线r = r(s)为一般螺线的充要条件为(r,r,r) 032,r 3()(2)(r,r,r)3(2k) 3 33()5 =5(),其中 k 0