西安交大复变函数课件5-1孤立奇点教学资料

1、 4 孤立奇点的分类孤立奇点的分类 依据依据)(zf在其孤立奇点在其孤立奇点 0 z的去心邻域的去心邻域 0 0zz内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类: 1可去奇点可去奇点 1可去奇点可去奇点; 2极点极点; 3本性奇点本性奇点. 如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项, 0 zz 0 z)(zf那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点. 1) 定义定义 5 其和函数其和函数)(zF为在为在 0 z 解析的函数解析的函数. 00 0 , , )( )( zzc zzzF zf 说明说明: (1),)( 0 的的孤孤立立奇奇点点若若是是zfz .

2、)()()( 0010 n n zzczzcczf )0( 0 zz )(lim)( 0 0 zfzf zz ,)( 00 czf (2) 无论无论在在是否有定义是否有定义, )(zf 0 z补充定义补充定义 则函数则函数在在 0 z解析解析.)(zf 6 2) 可去奇点的判定可去奇点的判定 (1) 由定义判断由定义判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负 0 z)(zf在在如果如果 幂项则幂项则 0 z为为)(zf 的可去奇点的可去奇点. (2) 判断极限判断极限 :)(lim 0 zf zz 若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值, 则则 0 z为为)(zf的可去奇点的可去奇点. 7 如果补充

3、定义如果补充定义: 0 z时时, 1 sin z z 那末那末 z zsin 在在0 z解析解析. 例例3 42 ! 5 1 ! 3 1 1 sin zz z z 中不含负幂项中不含负幂项, 0 z是是 z zsin 的可去奇点的可去奇点 . 8 例例4 说明说明0 z 为为 z e z 1 的可去奇点的可去奇点. 解解 z e z 1 , ! 1 ! 2 1 1 1 n z n z z0 所以所以0 z为为 的可去奇点的可去奇点. z e z 1 无负幂项无负幂项 另解另解 z z z z e z e 00 lim 1 lim 因为因为 0 z所以所以的可去奇点的可去奇点. 为为 z e z

4、 1 )1 ! 1 ! 2 1 1( 1 2 n z n zz z , 1 9 2. 极点极点 1 01 2 020 )()()()( zzczzczzczf m m )0, 1( m cm )( 010 zzcc , )( )( 1 )( 0 zg zz zf m 1 0) ( zz,)( 0 m zz 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为 即即 级极点级极点. 0 z)(zfm那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的 或写成或写成 1) 定义定义 0 zz 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的 负幂项负幂项, 0 0 1 ( )( ), ( )()0 ()m f z

5、g zg zg z zz 0 在z 处解析,且 10 说明说明: 2 0201 )()()(zzczzcczg mmm 1.内内是是解解析析函函数数在在 0 zz 2.0)( 0 zg 特点特点: (1) (2)的极点的极点 , 则则 0 z)(zf为函数为函数 如果如果 .)(lim 0 zf zz 例例5 有理分式函数有理分式函数 , )2( 23 )( 2 zz z zf 是二级极点是二级极点, 0 z2 z是一级极点是一级极点. 11 2)极点的判定方法极点的判定方法 )(zf的负幂项为有的负幂项为有 0 zz 的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项. 在点在点 的某去心邻域内的

6、某去心邻域内 0 z m zz zg zf )( )( )( 0 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析, 且且 )(zg 0 z. 0)( 0 zg (1) 由定义判别由定义判别 (2) 由定义的等价形式判别由定义的等价形式判别 (3) 利用极限利用极限 )(lim 0 zf zz 判断判断 . 12 课堂练习课堂练习 求求 1 1 23 zzz 的奇点的奇点, 如果是极点如果是极点, 指出它的指出它的级数级数. 答案答案 1 1 23 zzz 由于由于 ,1:是是函函数数的的一一级级极极点点所所以以 z .1是是函函数数的的二二级级极极点点 z , )1)(1( 1 2 zz 13 本性

7、奇点本性奇点3. 如果洛朗级数中如果洛朗级数中含有无穷多个含有无穷多个 0 zz 那末孤立奇点那末孤立奇点 0 z称为称为)(zf的本性奇点的本性奇点. 的负幂项的负幂项, 例如，例如，, ! 1 ! 2 1 1 21 1 n z z n zze )0( z含有无穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点: 在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内)(lim 0 zf zz 不存在且不不存在且不 为为. 为为本本性性奇奇点点，所所以以0 z 同时同时 z z e 1 0 lim 不存在不存在. 14 综上所述综上所述: 孤立奇点孤立奇点 可去奇点可去奇点 m级极点级极点 本性奇点本性奇点 洛朗

8、级数特点洛朗级数特点 )(lim 0 zf zz 存在且为存在且为 有限值有限值 不存在不存在 且不为且不为 无负幂项无负幂项 含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项 含有限个负幂项含有限个负幂项 1 0) ( zz m zz )( 0 关于关于的最高幂的最高幂 为为 15 二、函数的零点与极点的关系二、函数的零点与极点的关系 1.零点的定义零点的定义不恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数)(zf如果如果 能表示成能表示成),()()( 0 zzzzf m )(z 0 z其中其中在在 , 0)( 0 z 解析且解析且m为某一正整数为某一正整数, 那末那末 0 z 称为称为 )(zf 的的 m 级零

9、点级零点. 例例6的一级零点，的一级零点，是函数是函数 3 )1()(0 zzzfz 注意注意: : 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的不恒等于零的解析函数的零点是孤立的. .)1()(1 3 的的三三级级零零点点是是函函数数 zzzfz 16 2.零点的判定零点的判定 零点的充要条件是零点的充要条件是 证证 (必要性必要性) 由定义由定义:)()()( 0 zzzzf m 设设 0 )(zz 在在 的泰勒展开式为的泰勒展开式为: ,)()()( 2 02010 zzczzccz 0 zm 0 z如果如果在在 解析解析, 那末那末为为的的 级级)(zf)(zf m 0 z如果如果为为的的级零点

10、级零点)(zf ; )1, 2 , 1 , 0( , 0)( 0 )( mnzf n . 0)( 0 )( zf m 17 的的泰泰勒勒展展开开式式为为在在从从而而 0 )(zzf 1 0100 )()()( mm zzczzczf 2 02 )( m zzc 其中其中,0)( 00 zc 展开式的前展开式的前m项系数都为零项系数都为零 ,由泰勒级数的系数由泰勒级数的系数 公式知公式知: );1, 2 , 1 , 0( , 0)( 0 )( mnzf n 并且并且 . 0 ! )( 0 0 )( c m zf m 充分性证明略充分性证明略 . 18 (1)由于由于 1 2 3)1( z zf

11、知知1 z是是)(zf的一级零点的一级零点 . 课堂练习课堂练习 0 z是五级零点是五级零点, iz 是二级零点是二级零点. 知知是是)(zf的一级零点的一级零点.0 z 解解 (2)由于由于 0 cos)0( z zf 答案答案 例例7 求以下函数的零点及级数求以下函数的零点及级数: , 1)( 3 zzf(1)(2).sin)(zzf , 03 , 01 225 )1()( zzzf的零点及级数的零点及级数 .求求 19 3.零点与极点的关系零点与极点的关系 证证 0 00 定 理 ： 如 z 是 f(x)的 m级 零 点 ， 是 g(x)的 n级 零 点 ， f(x） 则 当 mn时 ，

12、 z 是的 可 去 极 点 ,当 mn时 ， z g(x) f(x） 是的 (n-m)级 极 点 g(x) 0 ( )()( ), m f zzzz 00 ( )()0zzz在 处解析且 00 ( )()0zzz在 处解析且 0 ( )()( ), n g zzzz 20 0 0 ( ) (), ( ) ( ) , 1( )( ) , ()( ) m n n m x zzmn z f x xg z mn zzz 故定理成立。 21 说明说明 此定理为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为 简便的方法简便的方法. . 例例8 函数函数 zsin 1 有些什么奇点有些什么

13、奇点, 如果是极点如果是极点, 指出指出 它的级它的级. 解解 函数的奇点是使函数的奇点是使0sin z的点的点, 这些奇点是这些奇点是. )2,1,0( kkz 是孤立奇点是孤立奇点. kz kz zzcos)(sin因因为为 的的一一级级零零点点，是是所所以以zkzsin , 0)1( k zsin 1 的一级极点的一级极点.即即 22 ),( 1 ! 3! 2 11 z z z z 解解 0 22 1 ! 11 n nz n z zz e 解析且解析且0)0( 所以所以0 z不是二级极点不是二级极点, 而是一级极点而是一级极点. 0 z是是 3 sinh z z 的几级极点的几级极点?思

14、考思考 例例9 问问0 z是是 2 1 z e z 的二级极点吗的二级极点吗? 注意注意: 不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论 . 23 三、函数在无穷远点的性态三、函数在无穷远点的性态 1. 定义定义 如果函数如果函数 )(zf 在无穷远点在无穷远点 z的去心的去心 邻域邻域 zR内解析内解析, 则称点则称点 为 为)(zf的孤的孤 立奇点立奇点. R x y o 24 令变换令变换: 1 z t 规定此变换将规定此变换将: t fzf 1 )(则则 映射为映射为 z, 0 t 扩充扩充 z 平面平面扩充扩充 t 平面平面 映射为映射为 )( nn zz)0( 1 n

15、n n t z t 映射为映射为 zR R t 1 0 映射为映射为 ),(t 25 结论结论: 在去心邻域在去心邻域 zR内对函数内对函数 )(zf 的研究的研究 在去心邻域在去心邻域 R t 1 0 内对函数内对函数)(t 的研究的研究 R t 1 0 因为因为 )(t 在去心邻域在去心邻域内是解析的内是解析的, 所以所以0 t是是)(t 的孤立奇点的孤立奇点. 规定规定: m级奇点或本性奇点级奇点或本性奇点 . )(t 的可去奇点、的可去奇点、m级奇点或级奇点或 本性奇点本性奇点, 如果如果 t=0 是是 z是是)(zf的可去奇点、的可去奇点、 那末就称点那末就称点 26 1)不含正幂项

16、不含正幂项; 2)含有有限多的正幂项且含有有限多的正幂项且 m z为最高正幂为最高正幂; 3)含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项; 那末那末 z是是)(zf的的 1)可去奇点 可去奇点 ; 2) m 级极点级极点; 3)本性奇点本性奇点 . 判别法判别法1 (利用洛朗级数的特点利用洛朗级数的特点)2.判别方法判别方法: )(zf zR在在内的洛朗级数中内的洛朗级数中: 如果如果 27 例例10 (1)函数函数 1 )( z z zf在圆环域在圆环域 z1 内的洛朗展开式为内的洛朗展开式为: n n zzz z zf 1 )1( 11 1 1 1 1 )( 2 不含正幂项不含正幂项 所以所以

17、z是是)(zf 的可去奇点的可去奇点 . (2)函数函数 z zzf 1 )( 含有正幂项且含有正幂项且 z 为最高正为最高正 幂项幂项,所以所以 z是是 )(zf 的的 m级极点级极点. 28 (3)函数函数zsin的展开式的展开式: )!12(! 5! 3 sin 1253 n zzz zz n 含有无穷多的正幂项含有无穷多的正幂项 所以所以 z是是)(zf的本性奇点的本性奇点. 课堂练习课堂练习 .0,是是本本性性奇奇点点是是一一级级极极点点 zz z ezzf 1 )( 的奇点及其的奇点及其类型类型.说出函数说出函数 答案答案 29 判别法判别法2 : (利用极限特点利用极限特点) 如

18、果极限如果极限 )(limzf n 1)存在且为有限值存在且为有限值 ; 2)无穷大无穷大; 3)不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大 ; 那末那末 z是是)(zf 的的1)可去奇点可去奇点 ; 2)m级极点级极点 ; 3)本性奇点本性奇点 . 30 例例11 函数函数 3 32 )(sin )2)(1( )( z zz zf 在扩充复平面内在扩充复平面内 有些什么类型的奇点有些什么类型的奇点? 如果是极点如果是极点, 指出它的级指出它的级. 解解 函数函数 )(zf除点除点2,1,0 z外外, ., 2,1,0cos)(sin处处均均不不为为零零在在因因 zzz 所以这些点都是所以这些点都是z sin的一级零点的一级零点, 故这些点中除故这些点中