压缩感知理论简介

1、 北京化工大学1 Introduction to Compressive Sensing 压缩感知概述 2 目目录录 2021-7-20 一、背景现状 4 采样 发的 采样数据 压缩 数据传输 解压缩 恢复图像 通过显示器 显示图像 传统图像处理过程：传统图像处理过程： 1.1理理论产论产生背景生背景 数据传输 5 采采样样方法方法数据压缩 传统时频分析方法以传统时频分析方法以 Nyquist采样定理为采样定理为 支撑支撑 无损压缩：无损压缩： 有损压缩：有损压缩： 无损与有损压缩相结无损与有损压缩相结 合合 离不开离不开Nyquist定理指定理指 导下的采样框架体系，导下的采样框架体系， 这

2、种高速采样再压缩的这种高速采样再压缩的 过程造成大量采样资源过程造成大量采样资源 的浪费。的浪费。 采样率采样率高，硬件实现高，硬件实现 成本大。成本大。 1.1理理论产论产生背景生背景 6 1.1理理论产论产生背景生背景 *传统NyquistNyquist采样定理： Nyquist 采样定 理要求必须以信号带宽 2倍的速率进行 采样。 *思考？：大部分冗余信息在采集后被 丢弃采样时造成很大的资源浪费能否直 接采集不被丢弃的信息？ 7 1.1理理论产论产生背景生背景 被感知对象重建信号 压缩感知 名词解释：压缩感知直接感知压缩后的信息 压缩感知(压缩传感，Compressive Sensing

3、)理论是近年来信号处理领域 诞生的一种新的信号处理理论，由D. Donoho(美国科学院院士)、E. Candes(Ridgelet, Curvelet创始人)及华裔科学家T. Tao(2006年菲尔兹奖获得者)等人 提出，自诞生之日起便极大地吸引了相关研究人员的关注。 基本方法：信号在某一个正交空间具有稀疏性（即可压 缩性），就能以较低的频率（远低于奈奎斯特采样频率） 采样该信号，并可能以高概率重建该信号。 1.1 理论产生背景理论产生背景 8 2006Robust Uncertainty Principles： Exact Signal Reconstruction from Highly

4、 Incomplete Frequency Information Terence Tao、Emmanuel Cands 2006Compressed SensingDavid Donoho 2007Compressive SensingRichard Baraniuk 上述文章奠定了压缩感知的理论基础。国内也将 其翻译成压缩传感或压缩采样。 9 1.1研研究究现状现状 传统方法传统方法 压缩感知压缩感知 1.2 研究现状研究现状 理论一经提出，就在信息论、信号处理、图像处 理等领域受到高度关注。 在美国、英国、德国、法国、瑞士、以色列等许 多国家的知名大学(如麻省理工学院、斯坦福大学、 普林

5、斯顿大学、莱斯大学、杜克大学、慕尼黑工 业大学、爱丁堡大学等等)成立了专门的课题组对 CS进行研究。 莱斯大学还建立了专门的CompressiveSensing 网站，及时报道和更新该方向的最新研究成果。 10 1.2 研究现状研究现状 u西安电子科技大学石光明教授，发表综述文章 u燕山大学练秋生教授课题组，针对压缩感知的稀 疏重建算法进行研究 u中科院电子所的方广有研究员等，探索了压缩感 知理论在探地雷达三维成像中的应用。 u除此之外，还有很多国内学者在压缩感知方面做 了重要的工作，如清华大学、天津大学、国防科 技大学、厦门大学、湖南大学、西南交通大学、 南京邮电大学、华南理工大学、北京理工

6、大学、 北京交通大学、北京化工大学等等单位。 11 2021-7-20 二、压缩感知描述 13 2.1基本理基本理论论依据依据 长度为N的 信号X在某个正交基 上是K-稀疏的， 如果能找到一个与不 相关（不相干）的观测 基 ， 用观测基观测原信号 得到M个观测值， KMN ，得到观测 值Y， 那么可以利用最优化方 法从观测值中高概率重 构X。 14 2.2 找到某个正 交基 ，信 号在该基上 稀疏 找到一个与 不相关， 且满足一定 条件的观测 基 对Y采用最 优化重构， 均是其 约束。 以观测真 实信号，得 到观测值Y 2.3 稀疏表示稀疏表示 如果一个信号中只有少数元素是非零的， 则该信号是

7、稀疏的。通常时域内的信号是 非稀疏的，但是在某个变换域可能是稀疏 的。 15 2.3 稀疏表示稀疏表示 如果长度为N的信号X，在变换域K个系数 不为零（或者明显不大于其他系数），且 KN ，那么可以认为信号X在域中是稀 疏的并可记为K-稀疏。 16 2.3 稀疏表示稀疏表示 17 2.3 稀疏表示稀疏表示 18 2.3 稀疏表示稀疏表示 研究现状： 1.多种变换域分析方法为稀疏表示提供了可 能。 2.许多信号，诸如自然图像，本身就存在着 变换域稀疏性。 3.信号在冗余字典下的稀疏表示 19 2.4 测量矩阵测量矩阵 20 2.4 测量矩阵测量矩阵 21 观测基的意义： 保证能够从观测值准确重构

8、信号，其需要满足一定 的限制： 1、观测基矩阵与稀疏基矩阵的乘积满足RIP性质 （有限等距性质）这个性质保证了观测矩阵不会把 两个不同的K稀疏信号映射到同一个集合中。 2、约束等距性条件的等价条件是测量矩阵和稀疏 表示基不相关 一般用随机高斯矩阵作为观测矩阵。 2.5 重构算法重构算法 22 重构是基于如下严格的数学最优化（Optimization）问题： 信号重构过程一般转换为一个最小L0 范数的优化问题 求解方法主要有最小L1 范数法、匹配追踪系列算法、最小 全变分方法、迭代阈值算法等。 2021-7-20 三、应用展望 24 3.1应应用用领领域域 硬件实现应用范围 信息论 信号/图像处

9、理 光学/雷达成像 医疗超声成像 地质勘探 模式识别 无线通信 *压缩感知应用于光学成像的首个实际系统是Rice大学的“单像 素相机”。 *由于该相机直接获取的是 M次随机线性测量值，而不是获取原 始信号的 N( MN) 个像素值，因此为低像素相机拍摄高质量 图像提供了可能。 如下图：利用小波多尺度变换对 Pepper 图像进行处理，利用标准高斯 随机矩阵作为测量矩阵 ，对稀疏化后的数据进行随机测量，使用改 进的 OMP 算法对测量后的数据进行图像重建。 采样率为1% 采样率为5% 采样率为10% 采样率为45% 采样率为15% Pepper 图像经过多尺度小波变换后只要保留 5%的系数， 即可较好地重建图像，证明了压缩感知算法的有效性。 基于小波基的CS图像重建示例图 29 管道泄漏检测： 测量矩阵：构造的结构化测量矩阵 稀疏表示：sym8小波基 重构算法：正交匹配追踪算法( OMP) ，部分 重构，获得稀疏向量中一些显著分量 30 管道泄漏检测 3.2 展望展望 31 目前，压缩感知理论仍处于发展阶段，有很多关键问题尚待 解决，如: （1）探索测量矩阵的必要条件，构造确定性矩阵； （2）如何硬件实现压缩感知的过程； （3）提高现有重建算法恢复质量、速度，论证算法理论基 础，保证其收敛，增强鲁棒性； （4）设计不同环境下的重建算法； （5）设计移动压缩传感器等。 2021-