(精编资料推荐)圆锥曲线中的最值问题.doc

1、圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质x2y21.(文)已知 F 是椭圆 259 1 的一个焦点， AB 为过其中心的一条弦，则ABF 的面积最大值为 ()A 6B 15C 20D1211答案 D解析 S2|OF | |y1 y2 | 2|OF | 2b12.2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为 ()A 1B. 2C 2D2 2x2y2解析：设椭圆 a2 b2 1(ab0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短222b c轴端点， S 12cb bc 1a.a2 2.a 2.长轴长 2a 2 2，故选 D.222x2y222223

2、、( 文)(2011 山东省临沂市质检 )设 P 是椭圆 259 1 上一点， M、 N 分别是两圆： (x 4)y 1 和 (x 4)y1上的点，则 |PM | |PN|的最小值、最大值分别为()A 9,12B 8,11C 8,12D 10,12解析： 由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF 1| |PF 2|10，(|PM|PN|)min 1028， (|PM| |PN|)max10 212，故选 C.点评： 圆外一点 P 到圆上所有点中距离的最大值为|PC|r ，最小值为 |PC|r，其中 C 为圆心， r 为半径，故只要连接椭圆上的点 P 与两圆心 M、 N，直线 PM

3、 、 PN 与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM| |PN|两圆半径和，最小值为|PM | |PN |两圆半径和4、(2010 福州市质检 )已知 P 为抛物线 y 2 4x 上一个动点， Q 为圆 x2(y 4)21上一个动点，那么点P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是()A 5B 8C. 17 1D. 52答案 C解析 抛物线 y24x的焦点为 F(1,0) ，圆 x 2(y 4)21 的圆心为 C(0,4)，设点 P 到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d|PF|，|PQ| d|PQ|PF| (|PC| 1) |PF| |CF|1 17 1.x2y2

4、5、已知点 F 是双曲线 4 12 1 的左焦点， 定点 A 的坐标为 (1,4)，P 是双曲线右支上的动点， 则|PF| |PA|的最小值为 _解析 如图所示，根据双曲线定义|PF| |PF | 4，即 |PF| 4 |PF |.又 |PA|PF |AF | 5，将 |PF| 4|PF |代入，得 |PA|PF| 4 5，即 |PA|PF| 9，等号当且仅当 A，P，F 三点共线，即 P 为图中的点 P0 时成立，故 |PF |PA|的最小值为9.故填 9.答案96、已知直线 l1 : 4x 3y60 和直线 l2 : x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距

5、离之和的最小值是（）A.2B.31137C.D.516【解析 1】直线 l2 : x1为抛物线 y24x 的准线， 由抛物线的定义知， P到 l 2 的距离等于 P1到抛物线的焦点F (1,0)的距离，故本题化为在抛物线y24x上找一个点P 使得 P 到点 F (1,0) 和直线 l2 的距离之和最小，最小值为 F (1,0) 到直线 l1 : 4x3 y6| 40 6 |2 ，故选择 A。0 的距离，即 dmin5【解析 2】如图，由题意可知| 3106 |【答案】Ad32422二、目标函数法x2 y21 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为 m，则当 m 取最大值时， 点 P 的坐标1、椭

6、圆 925是 _解析： 设椭圆上点 P 到两焦点的距离分别为u、 v，则 uv10，uvm；设F 1PF 2 ，由余弦定理可知 cosu2 v2 2c 218，显然，当 P 与 A 或 B重合2uv，即 u2v 22uvcos64? m1 cos时， m 最大 答案： (3,0) 或(3,0)x222、设 F1、 F2 分别是椭圆4y 1 的左、右焦点 (1)若 P 是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值；解析 (1)由已知得： F1(3，0)， F2( 3， 0)，x2 x 2322222设点 P(x ， y)，则 4 y1，且 2x2.所以 PF1PF2x 3y x 31 4

7、 4x 2， 当 x 0，即 P(0， 1)时， (PF1PF2)min 2；当 x 2，即 P(2,0) 时， (PF 1PF2) max1.23(2011 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线 x2 y 1 的左顶点为 A 1，右焦点为 F2，3 P 为双曲线右支上一点，则 PA1PF2的最小值为 ()81A2B 16C1D0 答案 A 解析 由已知得A 1(1,0) ，F2(2,0)设 P(x， y)(x 1)，则 PA1PF2 ( 1x ， y) (2x， y) 4x2x 5.令 f(x) 4x2x5，则 f(x)在 x1上单调递增，所以当x1 时，函数 f

8、(x) 取最小值，即1PF2取最小值，最小值为 2.PAx 2 y 21长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆上，且位于 x4(2011 安徽模拟 )点 A、 B 分别为椭圆 3620轴上方， PA PF.(1)求点 P 的坐标；(2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点， M 到直线 AP 的距离等于 |MB| ，求椭圆上的点到点M 的距离 d 的最小值解析 (1)由已知可得点A( 6,0)， F(4,0) ，设点 P 的坐标是 (x ， y) ，则 AP (x 6， y) ， FP (x 4 ， y) 由已知得2x2 y2 13620x6 x4 y2 023消去 y 得，2x

9、 9x 180，x 2或 x 6353353由于 y0 ，只能 x2，于是 y 2，所以点 P 的坐标是 (2， 2)(2)直线 AP 的方程是 x 3y 6 0设点 M 的坐标是 (m,0)，则 M 到直线 AP 的距离是|m6|m 6|m 6|，2，于是2又 6m6，解得： m 2椭圆上的点 (x， y)到点 M 的距离是 d，2(x 2)2y2252492d x 4x 4209x 9(x2) 15，9由于 6 x 6，所以当 x 2时 d 取最小值15. 5( 文)已知点 A(2,0) 、 B(4,0) ，动点 P 在抛物线 y2 4x上运动，则 AP BP取得最小值时的点P 的坐标是

10、_y2y2y2 y 2y2答案 (0,0)解析 设 P4 ， y，则 AP ( 4 2， y)，BP( 4 4，y )，AP BP ( 4 2)( 4 4)452y2y 16 2y8 8，当且仅当 y 0 时取等号，此时点P 的坐标为 (0,0)6、 如图，已知抛物线 E : y2x 与圆 M : ( x4)2y2r 2 ( r0)相交于 A、B、C、 D 四个点。（）求 r 的取值范围（）当四边形 ABCD 的面积最大时， 求对角线 AC 、BD 的交点 P的坐标。解：（）将抛物线 E : y2x 代入圆 M : (x4)2y2r 2 (r0) 的方程，消去 y2，整理得 x27x16r 2

11、0抛物线 E : y2x与圆 M : (x4)2y2r 2 (r0)相交于 A 、 B 、 C 、 D 四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根494(16r 2 )0r5 或r5515x1x2704r (即22。解这个方程组得r,4).x1 x216 r 204 r 422（ II ）设四个交点的坐标分别为A( x1 ,x1 ) 、 B( x1 ,x1 ) 、 C (x2 ,x2 ) 、 D( x2 ,x2 ) 。则由（ I）根据韦达定理有x1x27, x1x216r 2， r(15 ,4)23则 S1 2 | x2x1 | ( x1x2 ) | x2x1 | ( x1x2 )2S2

12、( x1x2 )24x1 x2 ( x1x22 x1x2 )(7216r 2 )(4 r 215)令 16r 2t ，则 S2(72t )2 (72t)下面求 S2的最大值。方法 2：设四个交点的坐标分别为A(x1,x1 ) 、 B( x1 ,x1 ) 、 C(x2 ,x2 ) 、 D (x2 ,x2 )则直线 AC 、 BD 的方程分别为 yx1x 2x1x1( xx1 ), yx1x2x1 ( x x1 )x2x2x1解得点 P 的坐标为 (x1 x2 ,0) 。设 tx1 x2，由 t16r 2及（）得 t(0,1)4由于四边形 ABCD 为等腰梯形，因而其面积S1 (2x12x2 )

13、| x1x 2|2则 S 2( x12x1 x2x2 )( x1x2 )24x1 x 2 将 x1x27 ，x1 x2t 代入上式，并令 f ( t)S 2，等f ( t)(72t) 2 (72t)8t328t 298t343(0t7) ，2f(t)24t256982( 27)(67)，令f ( t )0得t7t7，或（舍去）62当 0t7时， f ( t)0 ；当 t7f (t)7t7f (t)06时0 ；当时，662故当且仅当 t7时， f ( t) 有最大值，即四边形ABCD76的面积最大，故所求的点P 的坐标为 ( ,0) 。67 、 已 知 直 线 x2 y20经 过 椭 圆 C :

14、 x2y21(ab0)a2b2的左顶点 A 和上顶点D，椭圆 C 的右顶点为B ，点 S 和椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点，直线，AS, BS 与直线 l : x分别交于 M , N 两点。103（ I）求椭圆 C 的方程；（）求线段MN 的长度的最小值；（解方法一 （I）由已知得，椭圆C 的左顶点为 A(2, 0),上顶点 为D (0,1),a2,b1 故椭圆 C 的方程为 x2y2144（）直线 AS 的斜率 k 显然存在，且 k0 ，故可设直线AS 的方程为 yk( x 2) ，从而 M (10 , 16k )33yk (x2)22222由xy2得 (14k)x16k x16k4 0

15、14设 S( x1, y1 ), 则 ( 2), x116k24得 x128k 2，从而 y114k14k 214k 24k 2即 S(28k24k2 ,12 ), 又 B(2,0)，由14k4ky1( x 2)104kx101得3N (101,)x33k3y3k故 | MN | 16 k1又 k0, |MN |16k12 16k1833k ，33k33k3当且仅当 16k1，即 k1时等号成立k1时，线段 MN 的长度取最小值833k44358、已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为x，离心率 e5 5（）求该双曲线的方程；（）如题（20）图，点 A 的坐标为 (5,0) ， B 是圆

16、 x2( y5) 21 上的点，点 M 在双曲线右支上，求MAMB 的最小值，并求此时M 点的坐标；解（ ）由 题意 可知 ，双曲线的 焦点在 x 轴上，故可设双曲线的方程为x2y21 (a 0, b 0) ，设 ca2b2 ， 由 准线 方程 为 x5 得a2b25a255c5解得 a1, c5 从而 b2 ，c，由 e得该双5a曲线的方程为x2 y21.4（）设点 D 的坐标为 (5,0) ，则点 A 、D 为双曲线的焦点， | MA |MD |2a 2所以|MA|MB |2|MB |MD | 2|BD |，B 是圆 x2( y5) 21上的点， 其圆心为 C(0,5) ，半径为 1，故

17、| BD |CD |1101 从而|MA|MB|2|BD| 101当 M , B 在线段 CD 上时取等号，此时 | MA | MB |的最小值为101直线 CD 的方程为 yx5 ，因点 M 在双曲线右支上，故x054x2y2454 2 , y4542由方程组yx解得 x533所以 M点的坐标为 (5 42,45 42 ) .339、如图所示，抛物线y2=4x 的顶点为 O，点 A 的坐标为 (5， 0)，倾斜角为的直线 l 与线段 OA 相交 ( 不经过点 O 或点 A)且交4抛物线于 M 、N 两点，求 AMN 面积最大时直线l 的方程和 AMN 的最大面积解法一由题意，可设 l 的方程

18、为 y=x+m,其中 5m 0yyx mN直线 l 与由方程组y 2,消去 y, 得 x2+(2m4)x+m2=04 xoBA x抛物线有两个不同交点 M 、N，方程的判别式=(2 m4) 2 4m2=16(1 m) 0,解得 m 1,又 5m0,m 的范围为 ( 5，0)M设 M(x1,y1),N(x2 ,y2 )则 x1+x2=4 2m，x1x2=m2, |MN |=42(1m)点 A 到直线 l 的距离为 d= 5m22 2m 5m 5m2 S =2(5+ m) 1m ,从而 S24 1m 5m 22 22m 5m 5m 21283S 82, 当且仅当 即m=1时取等号故直线 l 的方程

19、为 y=x1， AMN 的最大面积为 822 2m=5+m,10、设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)， B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与椭圆相交于E，F 两点，求四边形AEBF 面积的最大值2解依题设得椭圆的方程为x4 y2 1.直线 AB， EF 的方程分别为 x2y2， ykx(k0)设 E(x1， kx1)，F(x2， kx2) ，其中 x1 x2，且 x1， x2 满足方程 (1 4k2)x24，故 x2 x122.1 4k根据点到直线的距离公式和式，得点E， F 到 AB 的距离分别为h1|x1 2kx12|2 1 2k 14k2， h2|x2 2kx22| 2 12

20、k1 4k2，55 1 4k255 14k2又 |AB| 22 15，所以四边形 AEBF 的面积为S1|AB|(h1 h2)1 54 12k2 1 2k 22 4k2，14k2 2225 1 4k21 4k214k当 2k1，即 k1时，取等号所以四边形AEBF 面积的最大值为 22.2三、切线法2【例 2】 ?求椭圆 x2 y2 1 上的点到直线y x23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标解设椭圆的切线方程为y x b，代入椭圆方程，得3x2 4bx2b2 20.由(4b)2 43 (2b22) 0，得 b 3.当 b3时，直线 y x3与 y x23的距离 d1 26，

21、将 b3代入方程 3x2 4bx2b2 20，6解得 x 23，此时 y3，即椭圆上的点23，3到直线 y x 23的距离最小，最小值是6；33332当 b3时，直线 yx3到直线 yx 23的距离 d23 6，将 b3代入方程 3x2 4bx2b22 0，223323336解得 x3，此时 y3，即椭圆上的点3，3到直线 y x 23的距离最大，最大值是2 .7圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质22xy 1 的一个焦点， AB 为过其中心的一条弦，则ABF 的面积最大值为 ()1.(文)已知 F 是椭圆 259A 6B 15C 20D 122、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面

22、积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A 1B. 2C 2D2 2223、(文)(2011 山东省临沂市质检)设 P 是椭圆x y 1 上一点， M、N 分别是259两圆： (x 4)2 y2 1 和(x4) 2 y2 1 上的点，则 |PM | |PN |的最小值、最大值分别为()A 9,12B 8,11C 8,12D 10,124、(2010福州市质检 )已知 P 为抛物线 y2 4x 上一个动点， Q 为圆 x2 (y4) 2 1 上一个动点， 那么点 P到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值是()A 5B 8C. 17 1D. 5222x y 1 的左焦点，定点A

23、 的坐标为 (1,4)， P 是双曲线右支上的动点，则|PF | |PA|5、已知点 F 是双曲线 412的最小值为 _6、已知直线 l1 : 4x 3y60 和直线 l 2 : x1，抛物线 y24x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是（）A.2B.311D.37C.165二、目标函数法x2y21、椭圆 9 25 1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为m，则当 m 取最大值时，点 P 的坐标是 _2、设 F1、 F2 分别是椭圆x22的左、右焦点y 14 (1)若 P 是该椭圆上的一个动点，求PF1PF2的最大值和最小值；3 (2011 安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模长)已知双曲线 x2y2 1 的左顶点为 A 1，右焦点为 F2， P 为双曲线右支上一点，则 PA1PF2的最小值为 ()3A 2B 81C1D 016x2y24 (2011 安徽模拟 )点 A 、B 分别为椭圆3620 1 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方， PA PF.(1) 求点 P 的坐标；8(2) 设 M 是椭圆长轴AB